金 毅

(內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市第二中學(xué) 010000)

布洛卡點(diǎn)是一類重要的幾何模型，在很多與幾何有關(guān)的問題中有重要應(yīng)用.我們從布洛卡點(diǎn)的定義出發(fā)展開思考.

1 對(duì)布洛卡點(diǎn)定義與存在性的思考

命題1(布洛卡點(diǎn)定義)如圖1，已知△ABC中，P是內(nèi)部一點(diǎn)，當(dāng)∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ時(shí)，點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn).角θ為布洛卡角.

圖1

思考在此定義中，我們有兩點(diǎn)疑問.一是對(duì)任意的三角形，是否一定有布洛卡點(diǎn)？二是如果存在，如何找到布洛卡點(diǎn)？我們將通過以下命題來進(jìn)行探究.

命題2(布洛卡點(diǎn)的存在性)如圖2，在銳角△ABC中，過點(diǎn)A作垂直于AB的直線l，過點(diǎn)B作垂直于BC的直線m，過點(diǎn)C作垂直于AC的直線n，其中，l∩m=D,m∩n=E,n∩l=F，作△ABD,△BCE,△ACF的外接圓，證明：三圓共點(diǎn)于P，且∠PAB=∠PBC=∠PCA.

圖2

故∠APC+∠APB=2π-∠AFC+∠ADB.

即∠AFC+∠ADB=2π-∠APC+∠APB=∠BPC.

同時(shí)∠AFC+∠ADB=π-∠BEC.

所以∠BPC=π-∠BEC.

故B,E,C,P四點(diǎn)共圓，則這三圓共點(diǎn)于P.

接下來證明角相等.

在圓APBD中，可得

根據(jù)BD⊥BC，可得

所以∠PAB=∠PBC.

同理，可以證得∠PAB=∠PCA.

綜上，∠PAB=∠PBC=∠PCA.

圖3

所以B,P,C,E四點(diǎn)共圓.則三圓共點(diǎn)于P.

所以∠PAB=∠PBC.

由此，我們得到，布洛卡點(diǎn)的存在性與三角形形狀無關(guān)，也即對(duì)任意形狀的三角形均存在布洛卡點(diǎn)，這是非常重要的.同時(shí)，通過對(duì)命題2的研究，我們也得到了在任意三角形內(nèi)尋找布洛卡點(diǎn)的方法.

2 對(duì)布洛卡點(diǎn)性質(zhì)的思考

從定義出發(fā)，我們進(jìn)一步思考，提出若干命題，對(duì)布洛卡點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行拓展延伸.

命題3如圖1，已知△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，P是布洛卡點(diǎn)，則有等式cotA+cotB+cotC=cotθ成立.

證明如圖1，根據(jù)命題1，可得

∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ.

設(shè)△ABC的面積為S，且AP=x,BP=y,CP=z，

對(duì)以上cotθ三式使用合比定理,得

命題4已知△ABC中，P為布洛卡點(diǎn)，當(dāng)A=2θ時(shí)，則有a2=bc.

所以a2=bc成立.

圖4

證明根據(jù)命題3，有

綜上，△ABC為等邊三角形.

命題6在△ABC中，∠PBA=∠PBC=∠PCA=θ，則有θ≤30°

思考本例說明三角形中布洛卡角的取值范圍不會(huì)超過30°.并且根據(jù)命題5，當(dāng)布洛卡角恰好取到30°時(shí)，此時(shí)△ABC為等邊三角形.

命題7 在銳角△ABC中，∠PBA=∠PBC=∠PCA=θ，有不等式tanA+tanB+tanC>cotθ成立.

同理，可得cotC

以上相加，可得

cotA+cotB+cotC

根據(jù)命題3，即tanA+tanB+tanC>cotθ成立.

根據(jù)命題3，a2+b2+c2=4Scotθ.

命題9 在△ABC中，∠PBA=∠PBC=∠PCA=θ，有不等式2cotθ≥cscA+cscB+cscC成立.

證明根據(jù)a2+b2+c2≥ab+ac+bc，可得b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2≥ab+ac+bc，2bccosA+2accosB+2abcosC≥ab+ac+bc.

根據(jù)正弦定理，可得

2sinBsinCcosA+sinAsinCcosB+sinAsinBcosC

≥sinAsinB+sinAsinC+sinBsinC.

不等式兩邊同除sinAsinBsinC，可得

2cotA+cotB+cotC≥cscA+cscB+cscC.

根據(jù)命題3，可得2cotθ≥cscA+cscB+cscC成立.

3 對(duì)布洛卡點(diǎn)模型應(yīng)用的思考

圖5

分析當(dāng)∠APB=150°時(shí)，∠APC=120°，可知∠PCA+∠PAC=∠PCA+∠PCB=60°.

所以∠PAC=∠PCB.

同理可得∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠PAC=30°.

所以∠PBA=∠PAC.

設(shè)∠PAC=∠PBA=∠PCB=θ，可知點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn).

根據(jù)命題2，可得cotA+cotB+cotC=cotθ.

思考本例首先通過證明∠PAC=∠PBA=∠PCB，說明點(diǎn)P是△ABC的布洛卡點(diǎn)，之后使用相關(guān)結(jié)論迅速解決∠PBA的正切值.當(dāng)然，在這樣的問題中，除了布洛卡點(diǎn)的性質(zhì)之外，我們還可以使用“角元塞瓦定理”，也即

這說明布洛卡點(diǎn)的模型也可用塞瓦定理處理.

布洛卡點(diǎn)是平面幾何中非常重要的幾何模型，總結(jié)本文，有幾點(diǎn)需要重點(diǎn)關(guān)注.

(1)布洛卡點(diǎn)對(duì)任意三角形均存在，是三角形內(nèi)的等角點(diǎn)，因而可能得到角相等或者相似的結(jié)論.

(2)布洛卡角和三角形的三個(gè)內(nèi)角有密切聯(lián)系，它們的三角函數(shù)值存在著很多相等與不等關(guān)系，這里有很多命題值得挖掘；布洛卡點(diǎn)的問題可以借助別的定理解決(如塞瓦定理等)，在思考時(shí)要充分對(duì)數(shù)與形的關(guān)系進(jìn)行結(jié)合.數(shù)與形是數(shù)學(xué)中永恒不變的主題，良好的結(jié)合會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)思維有極大地提升，這也是思考數(shù)學(xué)問題的樂趣所在.