盧敏鋒， 丁南宏

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730070)

1 引 言

受地形條件和交通的限制，橫向變寬度橋梁運(yùn)用越來(lái)越廣泛，但變寬度箱梁的理論研究還較少。剪力滯是由于箱梁翼緣板的剪切變形不均勻，造成彎曲正應(yīng)力沿梁寬方向不均勻分布的現(xiàn)象。文獻(xiàn)[1]應(yīng)用變分法分析了等截面箱梁的剪力滯效應(yīng)，提出了分析簡(jiǎn)支箱梁及連續(xù)箱梁剪力滯效應(yīng)的方法。文獻(xiàn)[2,3]運(yùn)用能量變分原理對(duì)多箱室等截面箱梁建立了相應(yīng)的控制微分方程和邊界條件。文獻(xiàn)[4-7]應(yīng)用能量變分法，分析了波形鋼腹板組合箱梁的剪力滯效應(yīng)，給出了計(jì)算組合箱梁剪力滯系數(shù)的解析方法。文獻(xiàn)[8-12]分別考慮了梗腋、翼板厚度變化、懸臂板寬度以及腹板剪切變形等因素對(duì)箱形梁剪力滯的影響，運(yùn)用能量變分原理導(dǎo)出了計(jì)算箱梁剪力滯效應(yīng)的公式。文獻(xiàn)[13]應(yīng)用能量變分原理,對(duì)變高度梯形截面箱梁的剪力滯及剪切變形效應(yīng)進(jìn)行了分析，導(dǎo)出了箱梁在橫向荷載作用下的剪力滯控制微分方程和邊界條件，獲得相應(yīng)的閉合解。文獻(xiàn)[14]用能量變分法分析了變寬截面波形鋼腹板組合箱梁剪力滯，推導(dǎo)出了簡(jiǎn)支箱梁在均布荷載和集中荷載作用下剪力滯系數(shù)的計(jì)算公式。文獻(xiàn)[14]為四箱單室箱梁，縱向位移函數(shù)為二次函數(shù)，未考慮頂板寬度變化對(duì)箱梁正應(yīng)力的影響。文獻(xiàn)[15]以等截面箱梁控制方程為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出變高度波形鋼腹板箱梁的控制微分方程，應(yīng)用差分法得到變高度箱梁的剪力滯系數(shù)計(jì)算公式。

上述文獻(xiàn)主要針對(duì)等截面箱梁及變高度箱梁的剪力滯效應(yīng)進(jìn)行了研究。目前，對(duì)于變寬度箱梁剪力滯效應(yīng)的研究較少，研究方法主要是有限元分析，且箱梁的結(jié)構(gòu)形式和截面參數(shù)變化情況也不相同。本文以三次拋物線作為箱梁縱向翹曲位移的分布函數(shù)，應(yīng)用能量變分原理，建立控制微分方程?？紤]到頂板寬度沿梁的線性變化時(shí)截面參數(shù)I(x)和h(x)的變化以及對(duì)箱梁正應(yīng)力的影響，采用差分法計(jì)算箱梁在集中荷載和均布荷載作用下的正應(yīng)力，總結(jié)頂板變寬箱梁的剪力滯效應(yīng)分布規(guī)律。

2 基本假定

(1) 中和軸仍位于按初等梁理論計(jì)算的位置。

(2) 腹板變形符合平截面假定，只考慮縱向彎曲變形勢(shì)能，忽略橫向彎曲變形勢(shì)能。

(3) 翼緣板的豎向無(wú)擠壓即εz=0，板平面外剪切變形γx z與γy z以及橫向變形εy均忽略不計(jì)。

(4) 箱梁在豎向?qū)ΨQ荷載作用下，翼板的縱向位移假設(shè)為

(1)

(2)

(3)

頂板寬度沿梁長(zhǎng)的變化函數(shù)為

(4)

圖1 變寬箱梁平面圖

圖2 箱梁橫截面

3 變寬度箱梁控制微分方程及其解答

3.1 總勢(shì)能表達(dá)式

當(dāng)箱形梁彎曲時(shí)，外力勢(shì)能

(5)

組成箱梁各板的應(yīng)變能為

(6)

(7)

將式(1～3)分別代入式(6，7)得

底板應(yīng)變能為

(8)

頂板應(yīng)變能為

(9)

懸臂板應(yīng)變能為

(10)

腹板應(yīng)變能為

(11)

體系總勢(shì)能為

(12)

3.2 控制微分方程的建立

根據(jù)最小勢(shì)能原理，在外力作用下結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)時(shí)，當(dāng)有任何虛位移時(shí)，體系總勢(shì)能的變分為零[1]。

(13)

將總勢(shì)能變分，整理得控制微分方程為

(14)

(15)

邊界條件為

(16)

當(dāng)b1=b2=b3=b時(shí)，為等截面箱梁，即α=0，此時(shí)的剪力滯效應(yīng)控制微分方程和邊界條件退化為

與文獻(xiàn)[1]一樣，說(shuō)明本文方法具有一般性。

3.3 控制微分方程的求解

對(duì)式(14)兩邊求導(dǎo)，代入式(15)，移項(xiàng)整理得到關(guān)于剪切轉(zhuǎn)角U(x)的方程為

(17)

將式(14)代入式(16)，可得邊界條件

(18)

將式(17)中U″(x)的系數(shù)化為1，整理簡(jiǎn)化后為

(19)

底板正應(yīng)力為

(20)

頂板正應(yīng)力為

(21)

懸臂板正應(yīng)力為

(22)

由于直接求解U(x)比較復(fù)雜，因此采用差分法來(lái)求解U(x)，沿梁長(zhǎng)度方向劃分網(wǎng)格，步長(zhǎng)為λ，則點(diǎn)i縱向位移差函數(shù)U(x)的差分形式由文獻(xiàn)[15,16]可知

(dU/dx)i=(Ui +1-Ui -1)/2λ

(d2U/dx2)i=(Ui +1-2Ui+Ui -1)/λ2

(23)

將式(23)代入式(19)整理后得

Ui -1(2-miλ)+Ui(-4+2λ2ki)+

Ui +1(2+miλ)=2λ2fi

(24)

式中fi=-ai[M/(EI)]′-di[M/(EI)]

邊界條件的差分形式為

網(wǎng)格內(nèi)的每一點(diǎn)利用式(24)列出方程，在邊界點(diǎn)采用相應(yīng)的邊界條件，得到差分方程組，求解方程組得到變寬截面箱梁剪力滯效應(yīng)縱向位移差函數(shù)U(x)，然后根據(jù)式(20～22)求出箱梁截面正應(yīng)力。

4 算 例

已知簡(jiǎn)支鋼箱梁的跨長(zhǎng)L=30 m，其L/4位置和L/2位置截面尺寸如圖3所示，材料特性為E=2.06×105MPa，G=0.79×105MPa，泊松比μ=0.31。(1) 在沿跨長(zhǎng)腹板頂面，對(duì)稱地作用均勻線荷載q=50 kN/m； (2) 在跨中腹板的頂面上對(duì)稱地作用一對(duì)集中力2P=2×50 kN。計(jì)算在兩種荷載作用下的箱梁截面應(yīng)力。

圖3 箱梁L /4和L /2位置橫截面(單位：mm)

利用有限元軟件建立薄壁鋼箱梁板殼單元模型，單元采用SHELL181單元。根據(jù)文獻(xiàn)[16,17]可知，網(wǎng)格會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響。因此需要對(duì)不規(guī)則的網(wǎng)格進(jìn)行單獨(dú)劃分，以免影響結(jié)果的準(zhǔn)確性。根據(jù)ANSYS模型得到應(yīng)力結(jié)果列入表1和表2。

表1 均布荷載作用下簡(jiǎn)支箱梁截面應(yīng)力(單位：MPa)

按變分法與有限元法計(jì)算在集中荷載和均布荷載作用下箱梁L/4和L/2位置截面應(yīng)力，計(jì)算結(jié)果列入表1和表2，沿跨長(zhǎng)腹板頂面應(yīng)力如 圖4 和圖5所示?？梢钥闯?，變分法結(jié)果與有限元結(jié)果相吻合，表明本文的方法是可行的。但由于有限元法考慮的因素較多，網(wǎng)格劃分以及差分法求解時(shí)，步長(zhǎng)的選取也會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果的精度產(chǎn)生影響，因此變分法的結(jié)果與有限元結(jié)果存在一定誤差。

圖4 均布荷載作用下變分解與有限元解

圖5 集中荷載作用下變分解與有限元解

對(duì)變寬箱梁和等截面箱梁的跨中截面頂板進(jìn)行比較，分析變寬箱梁和等截面箱梁的剪力滯分布差異。等截面梁的尺寸如圖3(1/2橫截面)所示，在相同荷載條件下等截面梁和變寬截面梁的跨中截面頂板應(yīng)力分布如圖6和圖7所示，等截面簡(jiǎn)支箱梁的應(yīng)力計(jì)算方法根據(jù)文獻(xiàn)[1]得到。

圖6 均布荷載下跨中截面頂板應(yīng)力(單位：MPa)

圖7 集中荷載下跨中截面頂板應(yīng)力(單位：MPa)

從圖6可以看出，均布荷載作用下變寬度梁和等截面梁的跨中截面應(yīng)力為正剪力滯分布；變寬箱梁與等截面腹板頂面應(yīng)力相差約7.86%；變寬箱梁跨中截面的頂板應(yīng)力分布變化較大，最大和最小應(yīng)力相差14.25%。等截面梁最大和最小應(yīng)力相差4.32%。由此可知，在均布荷載作用下，變寬截面的頂板應(yīng)力變化幅度大，峰值更高，頂板的寬度變化對(duì)剪力滯效應(yīng)影響比較大。

從圖7可以看出，集中荷載作用下變寬度梁和等截面梁的跨中截面應(yīng)力為正剪力滯分布。變寬箱梁與等截面腹板頂面應(yīng)力相差0.099%，頂板中心應(yīng)力相差2.69%，二者應(yīng)力分布曲線擬合較好。由此可見(jiàn)，在集中荷載作用下，變寬度梁與等截面梁的頂板應(yīng)力分布相似，在懸臂板端部和頂板中心略有差異，頂板的寬度變化對(duì)剪力滯效應(yīng)影響較小。

5 結(jié) 論

(1) 當(dāng)箱梁頂板、底板和懸臂板寬度沿跨長(zhǎng)相等時(shí)，推導(dǎo)的剪力滯效應(yīng)控制微分方程退化為等截面箱梁剪力滯效應(yīng)控制微分方程，說(shuō)明本文的方法具有一般性。應(yīng)用能量法與有限元法計(jì)算結(jié)果相吻合，二者應(yīng)力分布曲線擬合較好。

(2) 在均布荷載作用下，變寬箱梁和等截面箱梁跨中截面應(yīng)力為正剪力滯分布，與等截面梁相比，變寬截面梁應(yīng)力變化幅度更大，腹板頂面應(yīng)力峰值也更高，寬度的變化對(duì)剪力滯影響較大。

(3) 在集中荷載作用下，變寬箱梁和等截面箱梁跨中截面應(yīng)力為正剪力滯分布。二者應(yīng)力分布曲線相似，在懸臂板端部和頂板中心略有差異，故箱梁寬度的變化對(duì)剪力滯的影響較小。