孫進平，代貝寧，張玉濤

（1. 北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京 100191；2. 中國船舶集團有限公司 第八研究院，江蘇，南京 211153）

隨著飛行器隱身技術(shù)的不斷發(fā)展，對隱身目標(biāo)的檢測概率較低而使得雷達系統(tǒng)難以準(zhǔn)確估計監(jiān)測區(qū)域內(nèi)目標(biāo)狀態(tài)的問題日益突出[1?2]. 雷達組網(wǎng)技術(shù)作為一種有效的反隱身措施，受到越來越多的關(guān)注與研究[3?4]. 多傳感器多目標(biāo)跟蹤技術(shù)是雷達組網(wǎng)系統(tǒng)的核心技術(shù)之一，其本質(zhì)即為根據(jù)多個傳感器獲得的目標(biāo)信息來估計目標(biāo)的狀態(tài)，包括目標(biāo)的起始，消亡，衍生，機動以及監(jiān)測區(qū)域內(nèi)的目標(biāo)個數(shù)等[5].

傳統(tǒng)的多目標(biāo)跟蹤是將量測同目標(biāo)相關(guān)聯(lián)，將多目標(biāo)跟蹤問題分解成單目標(biāo)跟蹤問題，但當(dāng)觀測場景中的目標(biāo)數(shù)目較多或雜波較多時，數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法極易出現(xiàn)組合爆炸的問題，會消耗大量的計算資源. Mahler 在多目標(biāo)跟蹤理論的基礎(chǔ)上引入了隨機有限集(RFS)理論，有效解決了傳統(tǒng)算法會出現(xiàn)的組合爆炸問題[5]. 該類方法將多目標(biāo)狀態(tài)和多目標(biāo)觀測建模為RFS，通過貝葉斯濾波框架對多目標(biāo)運動狀態(tài)的后驗密度進行近似估計. 其中概率假設(shè)密度(PHD)濾波器[6]、勢概率假設(shè)密度(CPHD)濾波器[7]、多目標(biāo)多伯努利(MeMBer)濾波器[8]、廣義標(biāo)簽多伯努利(GLMB)濾波器[9]和標(biāo)簽多伯努利(LMB)濾波器[10]已成功應(yīng)用于許多跟蹤場景[11].

隨著目標(biāo)及實際監(jiān)測場景的日益復(fù)雜，使得單部雷達的觀測數(shù)據(jù)已經(jīng)不能滿足日益提高的目標(biāo)跟蹤要求，需要采用多雷達獲取目標(biāo)的信息. 為此，國內(nèi)外眾多學(xué)者將單傳感器的RFS 濾波器推廣到多傳感器場景. 目前典型的多傳感器RFS 跟蹤方法有迭代校正式概率假設(shè)密度(IC-PHD)濾波器[12]，多傳感器CPHD(MS-CPHD)濾波器[13]，多傳感器多目標(biāo)多伯努利(MS-MeMBer)濾波器[14]，多傳感器廣義標(biāo)簽多伯努(MS-GLMB)濾波器[15]和多傳感器標(biāo)簽多伯努利(MS-LMB)濾波器[16]. IC-PHD 濾波器以迭代的方式依次對每個傳感器上的量測數(shù)據(jù)進行單傳感器PHD 濾波，該方法易于實現(xiàn)，但濾波性能會受到傳感器順序的影響. MS-CPHD 濾波器是一種多傳感器近似濾波器，在更新過程中由于需要所有的量測劃分結(jié)果而難以得到精確解，于是NANNURU[13]提出了一種兩步貪婪劃分機制，只求得有限個權(quán)重較高的量測劃分假設(shè)，并通過高斯混合模型得到了其近似解. 之后，SAUCAN[14]提出一種精確的MS-MeMBer濾波器，并利用兩步貪婪劃分機制得到其近似解. 與MS-CPHD 濾波器相比，MS-MeMBer 濾波器直接用多伯努利分布來近似多目標(biāo)后驗密度，具有更高的濾波精度. 上述濾波器并未提供目標(biāo)航跡，需要額外的航跡維持處理，文獻[15]提出的MS-GLMB 濾波器使用標(biāo)簽RFS，并采用吉布斯采樣得到量測劃分結(jié)果，可高效輸出目標(biāo)的連續(xù)航跡，提高了實用性.VO 等[10]給出了LMB 濾波來近似GLMB 濾波，顯著減小了計算量，且已推廣至多傳感器形式[16].

目前MS-GLMB 濾波器和MS-LMB 濾波器一般均采用吉布斯采樣[15](GSM)來解決量測劃分問題，本文將采用吉布斯采樣的MS-LMB 濾波器記作MSLMB-GSM 濾波器. 在隱身目標(biāo)的跟蹤中，由于雷達對目標(biāo)的檢測概率比較低，若仍采用吉布斯采樣，當(dāng)雷達網(wǎng)中的多數(shù)雷達由于檢測概率很低而都處于漏檢狀態(tài)時，量測分配的似然權(quán)值計算會受到影響，繼而目標(biāo)的狀態(tài)估計和監(jiān)視區(qū)域內(nèi)目標(biāo)數(shù)估計會出現(xiàn)錯誤. 為解決這一問題，本文采用貪婪量測劃分(GPM)來解決MS-LMB 濾波器中的量測劃分問題，將采用貪婪量測劃分的MS-LMB 濾波器記作MSLMB-GPM 濾波器. 貪婪量測劃分在按傳感器順序求取每一個目標(biāo)的最優(yōu)量測集時，由于保留了包含漏檢項的量測集，因此可在多數(shù)雷達處于漏檢狀態(tài)時也能得到符合實際的量測劃分結(jié)果，繼而得到正確的多目標(biāo)狀態(tài)估計結(jié)果. 仿真實驗表明，在隱身目標(biāo)的跟蹤中，MS-LMB-GPM 濾波器的濾波性能明顯優(yōu)于MS-LMB-GSM 濾波器.

1 LMB 隨機有限集

本文分別采用如下函數(shù)表示集合中的廣義 δ函數(shù)及包含函數(shù)[5]

多目標(biāo)狀態(tài)采用標(biāo)簽隨機集X表示，定義X={x1,···,xi,···,x|X|}，xi=(xi,?i)為 標(biāo)簽單目標(biāo)狀態(tài)， |X|表示集合X的勢.

若X服從標(biāo)簽多伯努利分布，則密度函數(shù)可表示為[10]

其中 ?(X)=δ|X|[|L(X)|]為離散標(biāo)簽指示函數(shù)，可保證目標(biāo)的狀態(tài)集合和標(biāo)簽集合具有相同的勢， L(?)表示目標(biāo)的狀態(tài)空間到標(biāo)簽空間的映射，具體形式為L(X)={L(x):x∈X}；pX=∏x∈X p(x,?)為 集積分，p(x,?)為目標(biāo)x的概率密度函數(shù). 權(quán)值函數(shù)w(L(X))可表示為

其中r(?)表 示標(biāo)簽為 ?的目標(biāo)存在的概率.

為方便表述，本文采用標(biāo)簽多伯努利分布密度函數(shù)的等效參數(shù)形式[10]，即為

標(biāo)簽多伯努利分布的擴展形式為廣義標(biāo)簽多伯努利分布，它的密度函數(shù)可表示為

其中 C是一個離散的索引集，權(quán)重w(c)(L(X))及概率分布p[(])滿足歸一化條件

2 MS-LMB-GPM 濾波器

2.1 預(yù)測過程

MS-LMB-GPM 濾波器的預(yù)測過程與單傳感器LMB 濾波器的預(yù)測過程相同. 假設(shè)k?1時刻的標(biāo)簽多伯努利后驗密度為

若k時刻的新生目標(biāo)滿足標(biāo)簽多伯努利分布，則可表示為

則預(yù)測概率密度仍為標(biāo)簽多伯努利形式，即有

式中：fk?1(·|x,?)表 示目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)；(·)為目標(biāo)的存活概率.

預(yù)測密度函數(shù)仍為標(biāo)簽多伯努利形式[14]，表示為

其中總標(biāo)簽集 L+=L∪B， 權(quán)重wk|k?1L(Xk|k?1)和概率密度函數(shù)pk|k?1(x,?)分別為

2.2 貪婪量測劃分

假設(shè)在k時刻，有M個 標(biāo)簽多伯努利項，并且S部雷達產(chǎn)生的量測集為={}，若雷達s有v個量測，則={} ， 其中表示雷達處于漏檢狀態(tài). 將標(biāo)簽多伯努利項與量測劃分結(jié)果的映射關(guān)系記為

其中 θ(m,s)代 表雷達s劃 分給第m個標(biāo)簽多伯努利項的量測在雷達s所 有量測中的索引.

求出所有的量測劃分假設(shè)的計算量很大，因此可求取有限個權(quán)重較高的量測劃分假設(shè)作為量測劃分結(jié)果，從而得到MS-LMB 濾波器的近似解.

文獻[11,15]中均采用吉布斯采樣來得到權(quán)重較大的量測劃分假設(shè). 假設(shè)有3 個標(biāo)簽伯努利項，3 部雷達(為方便展示，每部雷達僅畫出3 個量測)，吉布斯采樣的主要過程如圖1 所示. 其中豎置立方體內(nèi)為雷達3 所有量測，橫置立方體內(nèi)為求取第2 個標(biāo)簽伯努利項量測劃分結(jié)果的主要過程. 吉布斯采樣首先需要根據(jù)所有雷達量測的代價函數(shù)和分類分布判斷該目標(biāo)是否漏檢，若為漏檢則不再進行量測劃分，否則再按照雷達順序，根據(jù)代價函數(shù)和分類分布依次將各雷達量測劃分給不同的標(biāo)簽伯努利項，且同一個量測最多只能劃分給一個標(biāo)簽伯努利項.

圖1 吉布斯采樣Fig.1 Gibbs sampling method

在隱身目標(biāo)跟蹤中，雷達對目標(biāo)的檢測概率很低，容易處于漏檢狀態(tài)，導(dǎo)致計算出的似然權(quán)值偏小，因此采用吉布斯采樣很難準(zhǔn)確獲取目標(biāo)的量測. 并且在多目標(biāo)跟蹤中，若其中一個隱身目標(biāo)只能被較少雷達探測到，則該目標(biāo)相對于其他目標(biāo)來說計算得到的似然權(quán)值更小. 導(dǎo)致難以對該隱身目標(biāo)進行跟蹤. 為解決此類問題，本文采用貪婪量測劃分的方法解決MS-LMB 濾波器中的量測劃分問題. 并且為保證多部雷達在處于漏檢狀態(tài)時也能得到正確的量測劃分結(jié)果，在依次求取每個目標(biāo)權(quán)重最大的幾個量測集時，保留包含漏檢項的量測集.

圖2 和圖3 為貪婪量測劃分方法的具體過程. 假設(shè)接收到4 部雷達的量測數(shù)據(jù)，并且共有4 個預(yù)測的標(biāo)簽伯努利項. 第一步劃分需要對每個標(biāo)簽伯努利項分別求其局部最優(yōu)解，也就是求得部分權(quán)重較大的量測集. 求解過程按照雷達順序依次進行，如圖2所示，進行至最后一部雷達時，根據(jù)上一部雷達的量測劃分子集分別求取所有可能的量測劃分子集的權(quán)重，然后選取Wmax個權(quán)重較大的量測集作為該標(biāo)簽伯努利項的量測劃分子集. 為保證在多部雷達處于漏檢狀態(tài)下，也可得到符合實際的量測劃分結(jié)果，在按雷達順序依次求取權(quán)重較大的Wmax量測集時，要額外保留包含漏檢項的量測集. 將第m個標(biāo)簽伯努利項的Wmax個量測劃分子集記作

圖2 第一步劃分Fig.2 The first partitioning step

圖3 為貪婪量測劃分的第二步，將每個標(biāo)簽伯努利項的量測集組合成量測劃分假設(shè). 因為單個量測最多僅能劃分給同一目標(biāo)，因此在對不同的標(biāo)簽伯努利項的量測集進行組合時，要避免將一個量測重復(fù)劃分給不同目標(biāo)的情況. 為此需要把第一步得到的所有標(biāo)簽伯努利項的量測集中不相交的量測集挑選出來，將挑選后第m個標(biāo)簽伯努利項的量測集記作

給定任意的量測劃分假設(shè)θ，其權(quán)重計算式為

第二步劃分的求解過程按照標(biāo)簽伯努利項的順序依次進行. 如圖3 所示，進行至最后一個標(biāo)簽伯努利項時，首先根據(jù)前一步(第3 個標(biāo)簽伯努利項)求取的Tmax個權(quán)重較大的量測劃分假設(shè)分別計算下一步(第4 個標(biāo)簽伯努利項)所有量測劃分假設(shè)的權(quán)重，然后取Tmax個權(quán)重較大的量測劃分假設(shè)作為最終的量測劃分結(jié)果.

圖3 第二步劃分Fig.3 The second partitioning step

2.3 更新過程

預(yù)測后的多目標(biāo)概率密度具有式(15)所示的形式，則采用量測劃分的結(jié)果進行更新后的多目標(biāo)概率密度函數(shù)服從GLMB 分布[12]，可表示為

其中F(L+)為 標(biāo)簽集 L+形 成的空間； ΘI+=為量測劃分結(jié)果；I+={?1,?2···,?|I+|}表示一種假設(shè)的標(biāo)簽集；權(quán)重(Z) 和 概率密度函數(shù)(x,?)分別為

其中 〈·,·〉表示函數(shù)的內(nèi)積.

為保證可進行連續(xù)更新，采用LMB 分布來近似GLMB 分布，則更新后的多目標(biāo)后驗密度可近似為

其中

2.4 高斯混合實現(xiàn)

在高斯混合模型下，目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和量測似然函數(shù)均滿足高斯分布

式中：Fk?1為 目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Qk?1為過程噪聲協(xié)方差矩陣；Hk為 單雷達的量測矩陣；Rk為單雷達的量測噪聲協(xié)方差矩陣.

濾波處理時設(shè)各雷達檢測概率為

假設(shè)k?1時刻每個標(biāo)簽多伯努利項概率密度具有如下高斯混合的形式

其中下標(biāo)j是為了區(qū)分同一標(biāo)簽伯努利項中的不同高斯混合項.

存活目標(biāo)的標(biāo)簽多伯努利項概率密度仍為高斯混合的形式

其中

假設(shè)新生目標(biāo)的標(biāo)簽多伯努利項概率密度具有如下高斯混合的形式

則經(jīng)過預(yù)測，目標(biāo)的預(yù)測標(biāo)簽多伯努利項概率密度即為如下高斯混合形式

根據(jù)預(yù)測結(jié)果進行量測劃分，采用量測劃分的結(jié)果進行更新，更新后多目標(biāo)的標(biāo)簽多伯努利項概率密度即為如下高斯混合形式

各高斯混合分量的權(quán)重為

各高斯混合分量的均值和方差更新式分別為

3 仿真實驗與分析

3.1 隱身目標(biāo)仿真

本文仿真場景中所采用的隱身目標(biāo)RCS 曲線如圖4 所示，該曲線來自參考文獻[17]中對F-22 飛機縮比模型在微波暗室的實際測量結(jié)果.

圖4 隱身目標(biāo)RCS 曲線圖Fig.4 RCS curve of stealthy target

雷達對目標(biāo)檢測概率的計算十分復(fù)雜，所涉及的因素眾多，本文采用文獻[18]中給出的計算檢測概率的近似表達式

式中：Ar為雷達自身的性能參數(shù)，Ar=σr/， σr為參考RCS 值，Rr為 檢測概率為0.5，給定目標(biāo)RCS 為σr時雷達的最大探測距離；R為目標(biāo)與雷達的距離；σ為目標(biāo)的RCS.

3.2 算法仿真

仿真場景如圖5 所示，主要研究二維觀測區(qū)域下運動模型為CT 模型的隱身目標(biāo). 目標(biāo)的狀態(tài)變量為[]T,包括目標(biāo)的位置，速度及轉(zhuǎn)彎速率. 設(shè) ω0=π/180(rad·s?1)，目標(biāo)的具體運動情況如表1 所示.

圖5 目標(biāo)真實運動軌跡Fig.5 True movement trajectories of target

表1 目標(biāo)真實運動情況Tab.1 True movement of targets

觀測過程共持續(xù)100 幀，采樣間隔為 ?t=2 s. 觀測共采用6 部雷達，性能參數(shù)均相同(目標(biāo)RCS 為1 m2時，最大探測距離為Rr=400 km)，雷達的具體位置如表2 所示，雜波強度 λ=10. 量測仿真時各雷達的檢測概率根據(jù)式(52)計算得到，濾波處理時各雷達檢測概率為pD=0.8. 根據(jù)目標(biāo)初始狀態(tài)設(shè)置新生目標(biāo)模型，目標(biāo)存活概率為pS=0.99. 目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Fk、 過程噪聲協(xié)方差矩陣Qk、 量測矩陣Hk、量測噪聲協(xié)方差矩陣Rk分別為

表2 雷達位置Tab.2 Radar location

其中，過程噪聲標(biāo)準(zhǔn)差 σv=1 km/s ，量測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σε=10 m.

在仿真中，為了防止跟蹤目標(biāo)的標(biāo)簽伯努利項數(shù)目及高斯混合分量無限增長，設(shè)置跟蹤目標(biāo)的標(biāo)簽多伯努利項的上限為Mmax=100，高斯混合分量的上限為Jmax=100，高斯混合分量的剪枝門限及合并門限分別為Gc=10?2，Gm=1. 量測分割假設(shè)集 Θ中最多有8 個量測分割假設(shè)θ，每個標(biāo)簽伯努利項對應(yīng)的量測集上限Wmax=8. 本節(jié)進行50 次蒙特卡羅實驗取平均結(jié)果，且濾波性能使用式(57)所示的OSPA 距離作為衡量標(biāo)準(zhǔn)[5].

式中，階數(shù)p=1， 截斷門限c=100.

圖6 即為所有雷達的量測點跡及MS-LMB-GPM濾波器與MS-LMB-GSM 濾波器的跟蹤結(jié)果. 從圖6(b)(c)可以看出，MS-LMB-GSM 濾波器在雷達性能較差(Rr=400 km)時無法穩(wěn)定跟蹤目標(biāo)3 和4，而MSLMB-GPM 濾波器在同等雷達性能下能夠?qū)λ须[身目標(biāo)進行穩(wěn)定跟蹤，并輸出所有目標(biāo)的航跡. 從圖6(d)可以看出，MS-LMB-GSM 濾波器在雷達性能提升至Rr=550 km時才能實現(xiàn)對所有隱身目標(biāo)的穩(wěn)定跟蹤.

圖6 量測及跟蹤結(jié)果圖Fig.6 Measurements and tracking results

圖7 為仿真過程中所有雷達對目標(biāo)2，4 的檢測概率隨時間的變化曲線. 以目標(biāo)2，4 為例分析目標(biāo)的檢測概率對跟蹤效果的影響. 通過圖7(a)可看出目標(biāo)2 在跟蹤初始階段，雷達2 和3 的檢測概率較高（接近于1）；雷達1、4、5 和6 檢測概率略小，但均大于0.6；除雷達6 外其余雷達的檢測概率在仿真過程中均較高. 而通過圖7(b)可以看出目標(biāo)4 在剛出現(xiàn)時，雷達3 和5 的檢測概率較高；雷達2 和雷達6 的檢測概率略低，在0.6 左右；雷達1 和4 的檢測概率較低，在0.5 左右，且雷達1 的檢測概率呈劇烈減小趨勢，因此雷達1 和4 在目標(biāo)剛出現(xiàn)時很大概率都處于漏檢狀態(tài)；并且雷達1、2、4 和6 的檢測概率在整個仿真過程中波動幅度很大. 因此若采用吉布斯采樣進行量測劃分，目標(biāo)4 相對于目標(biāo)2 處于漏檢狀態(tài)的雷達數(shù)目更多，目標(biāo)4 更容易被跟丟. 若采用貪婪量測劃分，該問題得以解決. 由于單獨考慮了包含漏檢項的量測集，因此貪婪量測劃分方法可在較多雷達處于漏檢狀態(tài)的情況下也能得到符合實際的量測劃分結(jié)果，因此對目標(biāo)2，4 均能進行穩(wěn)定跟蹤.

圖7 檢測概率曲線圖Fig.7 Curve of Pd

圖8 為MS-LMB-GPM 濾波器與MS-LMB-GSM濾波器分別進行50 次蒙特卡羅實驗的勢估計均值和標(biāo)準(zhǔn)差. 通過對比勢估計結(jié)果可以看出，MS-LMBGSM 濾波器在雷達性能較差(Rr=400 km)時出現(xiàn)了嚴(yán)重的勢估計偏差，而MS-LMB-GPM 濾波器在同等雷達性能下能得到較為準(zhǔn)確的勢估計結(jié)果，與MSLMB-GSM 濾波器在雷達性能提升至Rr=550 km的勢估計結(jié)果十分接近. 圖9 為MS-LMB-GPM 濾波器與MS-LMB-GSM 濾波器分別進行50 次蒙特卡羅實驗的OSPA 距離結(jié)果對比. 可以看出MS-LMB-GSM濾波器在雷達性能較差(Rr=400 km)時的濾波性能較差，由于容易跟丟目標(biāo)3 和4 而導(dǎo)致OSPA 距離明顯較大；而MS-LMB-GPM 濾波器在同等雷達性能下的OSPA 距離明顯較小，且與MS-LMB-GPM 濾波器在雷達性能提升至Rr=550 km時的OSPA 距離十分接近. 因此，相較于MS-LMB-GSM 濾波器，MS-LMBGPM 濾波器在同等雷達性能的情況下具有更優(yōu)的隱身目標(biāo)跟蹤性能.

圖8 勢估計結(jié)果Fig.8 Estimated cardinality

圖9 OSPA 距離Fig.9 OSPA distance

在 AMD Ryzen 7 4800H 處 理 器、R2020a 版 本MATLAB 軟件平臺下，MS-LMB-GSM 濾波器和MSLMB-GPM 濾波器在雷達性能相同(Rr=400 km)時進行50 次蒙特卡羅實驗的平均單次運行時間如表3所示，可以看出MS-LMB-GPM 濾波器在同等計算復(fù)雜度下提升了跟蹤隱身目標(biāo)時的濾波性能.

表3 OSPA 及運行時間對比Tab.3 Comparison of OSPA and running time

4 結(jié) 論

目前MS-LMB 濾波器多采用吉布斯采樣來解決量測劃分問題. 但是在隱身目標(biāo)的跟蹤中，雷達會因為檢測概率很低而處于漏檢狀態(tài). 當(dāng)多數(shù)雷達都處于漏檢狀態(tài)時，隱身目標(biāo)的似然權(quán)值偏小，使得吉布斯采樣很難采樣到目標(biāo)量測，從而難以對該隱身目標(biāo)進行穩(wěn)定跟蹤. 為解決這一問題，本文采用貪婪量測劃分的方法來解決量測劃分問題. 該方法在得到每個目標(biāo)的量測集時專門保留包含漏檢項的量測集，保證了符合實際的量測劃分結(jié)果不會因似然權(quán)值偏小而難以得到. 仿真結(jié)果表明，在雷達性能相同時，MS-LMB-GPM 濾波器具有明顯優(yōu)于MS-LMB-GSM濾波器的多雷達隱身目標(biāo)跟蹤效果.