李 戈，毛崎波，王 永，謝 冉

（1.南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，南昌 330063；2.國網(wǎng)上海市電力公司特高壓換流站分公司，上海 201413）

將電磁分流阻尼(Electromagnetic Shunt Damper，EMSD)用于結(jié)構(gòu)振動控制是一種新發(fā)展的被動控制方法，其優(yōu)點包括能產(chǎn)生較大控制力以及阻尼力，信號具有很寬的頻率響應(yīng)范圍，傳遞力為非接觸式等。EMSD的原理是利用線圈與永磁體的相對運動產(chǎn)生的電磁阻尼力[1]來降低系統(tǒng)的振動強度，并通過外接的分流電路消耗或者收集由系統(tǒng)的機械能轉(zhuǎn)化而來的電能[2]。根據(jù)機電類比，當(dāng)把LRC等2階串并聯(lián)電路作為EMSD 的分流電路時，可以將EMSD 視作一個附加在主系統(tǒng)上的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器[3]，因此EMSD 等效于一個剛度、質(zhì)量以及阻尼可以被方便地調(diào)節(jié)的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，而對于參數(shù)可調(diào)的EMSD 來說，關(guān)鍵是要求解出分流電路的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)。Cheng 等[4]表明將EMSD 用于結(jié)構(gòu)振動控制時，電磁耦合系數(shù)(即電磁系數(shù))越大(線圈電感為預(yù)設(shè)值，因此電磁系數(shù)越大機電耦合系數(shù)也越大)，控制效果越好。這種現(xiàn)象在Zhu 等[5]的論文中得到了詳細的證明，即電磁系數(shù)越大，虛擬質(zhì)量越大，就是質(zhì)量比越大，EMSD 的控制效果越好。而目前在基于EMSD 分流電路優(yōu)化設(shè)計的常見方法，比如定點理論(即H∞優(yōu)化[6])和H2優(yōu)化等(見Inoue 等[7]以及Tang等[8]文獻)，所得到的最優(yōu)調(diào)諧比的解析表達式中，機電耦合系數(shù)的取值范圍均被限制為0～2，而通過分析文獻[3]的結(jié)論可知：利用H2優(yōu)化考慮主系統(tǒng)阻尼時EMSD分流電路的設(shè)計參數(shù)，基于LRC串聯(lián)分流的EMSD 的機電耦合系數(shù)將會小于0～2 中的某個數(shù)。比如當(dāng)主系統(tǒng)的阻尼比為0.05 時，機電耦合系數(shù)被限制在1.709 9之內(nèi)，而且主系統(tǒng)阻尼比越大，機電耦合系數(shù)被限制得越小。而實際上，對于文獻[3，7－8]中的最優(yōu)調(diào)諧比來說，當(dāng)機電耦合系數(shù)接近1.709 9 或者2 時，最優(yōu)調(diào)諧比將會趨近于0，此時按照這種最優(yōu)設(shè)計所得分流電路的最優(yōu)電容將變得非常大，從而很難實現(xiàn)最優(yōu)控制。因此，傳統(tǒng)的定點理論以及H2優(yōu)化方法顯然并不適用于機電耦合系數(shù)取較大數(shù)值時的EMSD的優(yōu)化設(shè)計。

極點配置法是通過優(yōu)化配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點在復(fù)平面上的位置，使得系統(tǒng)的衰減系數(shù)最大化，是使得系統(tǒng)的暫態(tài)分量衰減最快的一種優(yōu)化方法。國內(nèi)的柳維瑋等[9]針對壓電分流阻尼電路提出了極點配置方法，她的研究表明運用極點配置方法設(shè)計的壓電分流電路有著良好的抑制振動的效果。Belotti等[10]提出了一種稱為“區(qū)域極點配置”的方法控制線性系統(tǒng)的振動，并驗證了該方法的有效性。國外的Olanipekun 等[11]使用極點配置法改變了以平動模態(tài)為主的低頻模態(tài)的極點位置，避免了行星齒輪系的共振。

由于不論研究對象是多少個自由度的系統(tǒng)，其響應(yīng)一般是通過模態(tài)疊加法求得的，關(guān)鍵部分仍然還是單自由度系統(tǒng)的計算過程。因此本文針對機電耦合系數(shù)大于等于2 的情況，在采用EMSD 控制單自由度系統(tǒng)或者結(jié)構(gòu)的單模態(tài)振動時引用定點理論和H2優(yōu)化，對于基于EMSD的分流電路最優(yōu)設(shè)計失效的問題，提出使用經(jīng)典的極點配置法，解決在機電耦合系數(shù)大于2時基于EMSD分流電路的最優(yōu)化設(shè)計問題。

1 機電耦合模型

如圖1所示，R0為線圈電阻，R1為線圈外接的分流電路電阻；L0為線圈電感，電感值為固定值；為感應(yīng)電動勢[12－13]，其中?為電磁耦合系數(shù)(又稱電磁系數(shù))，與線圈的匝數(shù)N、永磁鐵磁場強度B、線圈長度l有關(guān)。k為主系統(tǒng)的剛度，m為主系統(tǒng)的質(zhì)量，c為阻尼系數(shù)，主系統(tǒng)的阻尼比ζ0=c/(2mω0)；圖1中，電磁阻尼力fem=?I[13],與主系統(tǒng)受到的慣性力方向相反。假設(shè)R為分流電路等效電阻，則圖1所示的機電耦合方程可表示為[14]：

圖1 將參數(shù)可調(diào)的電磁分流阻尼用于單自由度振動控制模型

不考慮式(1)中的線圈電磁系數(shù)?損耗，則機電耦合系數(shù)可以表示為ψ=?2/(Lk)。再假設(shè)ω0=，分流電路振蕩頻率為ωd=,分流電路調(diào)諧比為，分流電路的頻率比為,阻尼比為。文獻[14]中推導(dǎo)了將EMSD用于有阻尼單自由度系統(tǒng)振動控制時的位移放大因子的無量綱表達式，如式(2)所示：

2 極點配置方法設(shè)計

在極點配置法中要考察系統(tǒng)衰減系數(shù)最大化的效果，因此首先要得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，然后由傳遞函數(shù)得到極點特征方程，再按照實際需要來配置主導(dǎo)極點在復(fù)平面上的位置，使得主導(dǎo)極點距離虛軸最遠，從而使系統(tǒng)的暫態(tài)分量衰減最快?？紤]將系統(tǒng)的位移X作為輸出量，激勵力F為輸入量，由式(1)可得傳遞函數(shù)如式(3)所示：

式中：s=σ+jω，令式(3)的分母為0，等式兩邊同時除以Lm可得極點特征方程，如式(4)所示：

含有無量綱參數(shù)的式(4)表達式如式（5）所示：

對暫態(tài)分量的衰減起主導(dǎo)作用的是離虛軸最近的極點。為此配置以上兩對極點在復(fù)平面上重合，令A(yù)1=A2=A，B1=B2=B，則有：

因此將式(4)和式(5)表示為如式(6)所示的表達式：

將式(6)展開后并合并s同類項后，可得式(7)：

因此，根據(jù)待定系數(shù)法由式(4)、式(5)、式(7)得到4 個代數(shù)方程(電感L的數(shù)值是固定的)，如式(8)所示，求解這4 個代數(shù)方程，即可得到最優(yōu)等效電阻Ropt以及電容Copt、CS、分流電路的最優(yōu)阻尼比ζopt、分流電路的最優(yōu)振蕩頻率ωdopt。

求解式(8)得到最優(yōu)參數(shù)的解析解如式(9)、式(10)所示：

由式(9)可知：分流電路的最優(yōu)等效電阻Ropt與線圈的電感L和電磁系數(shù)?以及主系統(tǒng)的質(zhì)量m、阻尼系數(shù)c有關(guān)；最優(yōu)電容Copt與主系統(tǒng)的固有頻率以及線圈電感有關(guān)；最優(yōu)主導(dǎo)極點關(guān)于負實軸對稱，其中A為最優(yōu)主導(dǎo)極點的實部，即衰減系數(shù)(閉環(huán)系統(tǒng)的極點或特征根的實部即為衰減系數(shù))，B為最優(yōu)主導(dǎo)極點的虛部。由式(10)可知：機電耦合系數(shù)越大，最優(yōu)阻尼比越大；不論機電耦合系數(shù)取何值，最優(yōu)調(diào)諧比均為1，即只有分流電路的諧振頻率與被控結(jié)構(gòu)頻率相等時暫態(tài)分量的衰減速度是最快的。顯然，對于極點配置法的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，機電耦合系數(shù)的取值不受限制，因此極點配置法的優(yōu)化設(shè)計能解決當(dāng)機電耦合系數(shù)大于或等于2時基于EMSD分流電路參數(shù)的最優(yōu)設(shè)計問題。這是其相比于H2優(yōu)化以及定點理論的優(yōu)勢所在。

3 數(shù)值計算

3.1 控制效果對比

第1節(jié)中基于EMSD的參數(shù)優(yōu)化所用到參數(shù)的具體數(shù)值來自文獻[7]，同時可以根據(jù)文獻[14]，假設(shè)主系統(tǒng)阻尼比ζ0=0.05，數(shù)值計算參數(shù)如表1所示。

表1 電磁分流阻尼器參數(shù)

在表1中，機電耦合系數(shù)ψ為0.666 7，等效電阻R和分流電路的電容CS為待優(yōu)化變量，主系統(tǒng)阻尼c由c=算得。根據(jù)式(7)可以算出經(jīng)極點配置法優(yōu)化所得到的最優(yōu)電容Copt以及最優(yōu)電阻Ropt分別為：Copt=0.013 9 F，Ropt=1.738 63 Ω。

同時根據(jù)文獻[14]提出的采用遺傳算法優(yōu)化EMSD分流電路的思路，根據(jù)表1，算得H∞優(yōu)化條件下的阻尼比為γH∞=0.816 43、調(diào)諧比ζ=0.658 31。同時根據(jù)文獻[3]，算得H2優(yōu)化條件下的最優(yōu)調(diào)諧比以及最優(yōu)阻尼比分別為：γH2=0.76127，ζH2=0.474 70，故可以算得RH2=0.513Ω，CH2=0.24 F。

若將表1中音圈的電機替換為Supt Motion公司的型號為VCAR0032-0050-00A的直線音圈電機，即將表1 中的線圈電感L設(shè)置為0.003 3 H，將電磁系數(shù)?設(shè)置為7.1 N/A，此時EMSD的機電耦合系數(shù)ψ=2.874 6，大于2，結(jié)合式(10)可算得，當(dāng)機電耦合系數(shù)大于2時，分流電路的最優(yōu)阻尼比ζopt為1.733 5。

分別繪制采用上述優(yōu)化法后的位移放大因子Xn的頻率響應(yīng)，如圖2所示。

圖2 極點配置法與H2、H∞優(yōu)化法的控制效果

由圖2 可知，定點理論和H2優(yōu)化更適用于當(dāng)機電耦合系數(shù)小于2 時EMSD 分流電路的優(yōu)化設(shè)計。當(dāng)機電耦合系數(shù)大于或等于2 時，將極點配置法用于EMSD 的分流電路的優(yōu)化設(shè)計，可取得非常好的控制效果，而H2優(yōu)化和定點理論無法實現(xiàn)。在機電耦合系數(shù)ψ=0.666 7時，繪制采用上述優(yōu)化方法后所得極點復(fù)平面圖如圖3所示。

圖3 采用H2、H∞極點配置等優(yōu)化法后所得極點復(fù)平面圖

由圖3 可知，極點配置法所對應(yīng)的主導(dǎo)極點距離虛軸最遠，因此其衰減系數(shù)也最大。這就是說，相比于經(jīng)典的H∞和H2優(yōu)化法，經(jīng)極點配置法優(yōu)化的系統(tǒng)特征根的實部最大，即時間常數(shù)最小，暫態(tài)分量也衰減最快。由于H∞和H2優(yōu)化法對應(yīng)的衰減速度由它們各自的主導(dǎo)極點的實部所決定，可以算得，極點配置法對應(yīng)的衰減系數(shù)分別大于H∞、H2優(yōu)化對應(yīng)的主導(dǎo)極點所決定的衰減系數(shù)76.96%、282.47%。

圖4所示分別為采用極點配置法優(yōu)化、H2優(yōu)化、H∞優(yōu)化后，系統(tǒng)在單位脈沖信號作用下的時域響應(yīng)。

圖4 分別采用極點配置法優(yōu)化、H2優(yōu)化、H∞優(yōu)化后主系統(tǒng)在單位脈沖信號作用下的時域響應(yīng)

給主系統(tǒng)施加一個單位脈沖信號，相當(dāng)于給了主系統(tǒng)一個大小為1/m(m為主系統(tǒng)的質(zhì)量)的初速度。由圖3 可知，在施加初速度1/m后，經(jīng)極點配置優(yōu)化后的主系統(tǒng)的位移衰減最快，即閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)分量單衰減最快，這是極點配置優(yōu)化法相比于H2優(yōu)化、H∞優(yōu)化的優(yōu)勢所在。

3.2 誤差分析

將Ropt、Copt分別增加或降低20 %，并代入式(4)求解極點的數(shù)值解，然后分別繪制極點在復(fù)平面上的位置圖，如圖5所示。

由圖5可知，最優(yōu)電阻、電容的誤差都會導(dǎo)致主導(dǎo)極點從最優(yōu)主導(dǎo)極點的位置向虛軸方向偏離，這會導(dǎo)致衰減速率下降。

圖5 最優(yōu)電阻、電容增加或降低20%后極點的分布

圖6 所示為在單位脈沖信號作用下最優(yōu)電容、電阻的誤差對主系統(tǒng)位移的時域響應(yīng)曲線的影響。

由圖6可知：最優(yōu)電容、最優(yōu)電阻的誤差會降低主系統(tǒng)位移響應(yīng)曲線的衰減速度，但是不會導(dǎo)致其發(fā)生明顯改變；這也直接表明了將極點配置優(yōu)化法用于電磁分流阻尼分流電路的參數(shù)優(yōu)化，具有相當(dāng)好的魯棒性。

圖6 在單位脈沖信號作用下最優(yōu)電阻、最優(yōu)電容的誤差對時域響應(yīng)的影響

4 結(jié)語

本文通過極點配置法推導(dǎo)出了將EMSD用于單自由度系統(tǒng)的振動控制時分流電路的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)的解析解。通過數(shù)值計算得到了以下主要結(jié)論：

(1)使用極點配置法解決了機電耦合系數(shù)大于等于2時EMSD分流電路的優(yōu)化設(shè)計問題。

(2)采用極點配置法證明了把分流電路的諧振頻率設(shè)置為與結(jié)構(gòu)固有頻率相等，才能使得系統(tǒng)的暫態(tài)分量衰減最快。

(3)相比于H2優(yōu)化以及H∞優(yōu)化，極點配置法對應(yīng)的衰減系數(shù)大于H∞優(yōu)化對應(yīng)的主導(dǎo)極點決定的衰減系數(shù)76.96%，大于H2優(yōu)化對應(yīng)的主導(dǎo)極點決定的衰減系數(shù)282.47%，因此基于極點配置法的最優(yōu)設(shè)計能使得系統(tǒng)暫態(tài)分量的衰減速度最快，這是極點配置法的優(yōu)勢所在。

(4)通過誤差分析表明將極點配置優(yōu)化方法用于EMSD分流電路設(shè)計具有正確性、可行性、良好的魯棒性。