王維凱，王軍，盧立新，潘嘹，侯雪

一種針對含非線性子結(jié)構(gòu)多點耦合運輸包裝系統(tǒng)的解耦方法

王維凱1，王軍1，盧立新1，潘嘹1，侯雪2

（1.江南大學(xué)，無錫 214122；2.汕頭東風(fēng)印刷股份有限公司無錫分公司，無錫 214000）

考慮到運輸包裝系統(tǒng)耦合形式復(fù)雜，包裝材料及包裝結(jié)構(gòu)具有非線性特性，不容易測量局部物理參數(shù)，需要對傳統(tǒng)逆向子結(jié)構(gòu)方法進行優(yōu)化，使之能夠求解非線性多點耦合系統(tǒng)中子結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)特性。使用描述函數(shù)法將非線性的運輸包裝系統(tǒng)線性化，測量其在若干特定振動幅值下的頻率響應(yīng)函數(shù)；之后，應(yīng)用逆向子結(jié)構(gòu)方法和參數(shù)識別方法，計算包裝件的模態(tài)參數(shù)；最后，擬合包裝件模態(tài)參數(shù)與振動幅值之間的關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)來描述包裝件的動態(tài)響應(yīng)特性。在集總參數(shù)模型中，解耦預(yù)測值與實際值吻合；在有限元模型中，對響應(yīng)峰值的預(yù)測誤差小于5%，對響應(yīng)跳躍現(xiàn)象所在頻率的預(yù)測誤差小于3%。該研究將傳統(tǒng)逆向子結(jié)構(gòu)方法的應(yīng)用范圍拓展到了非線性多點耦合系統(tǒng)，對復(fù)雜運輸包裝系統(tǒng)動力學(xué)模型的構(gòu)建和防振包裝的設(shè)計具有指導(dǎo)意義。

逆向子結(jié)構(gòu)方法；運輸包裝；振動；非線性

在現(xiàn)代緩沖包裝設(shè)計流程中，設(shè)計師經(jīng)常借助動力學(xué)計算和有限元仿真來確定緩沖材料和包裝結(jié)構(gòu)的參數(shù)。其中，包裝件動態(tài)響應(yīng)特性的獲取是精準有效建立其動力學(xué)模型的關(guān)鍵[1]，然而，在實際運輸過程中，產(chǎn)品、包裝與運載車輛耦合聯(lián)結(jié)在一起，構(gòu)成復(fù)雜的運輸包裝系統(tǒng)，致使包裝件的動態(tài)響應(yīng)特性難以被直接測量[2]。此外，包裝件在耦合狀態(tài)與非耦合狀態(tài)下的響應(yīng)特性不同，對其單獨測量的結(jié)果不能代表其在耦合狀態(tài)下的特性。針對這一問題，王志偉、王軍等[3-6]將逆向子結(jié)構(gòu)方法應(yīng)用到了運輸包裝領(lǐng)域，實現(xiàn)了對運輸包裝系統(tǒng)中子結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)特性的間接預(yù)測。

為建立與實際情況更加接近的理論模型，逆向子結(jié)構(gòu)方法在近年來持續(xù)發(fā)展。主要趨勢有：為適應(yīng)集裝、堆碼等復(fù)雜耦合情況，從單點耦合系統(tǒng)向多點耦合系統(tǒng)發(fā)展[7-8]；為重點考慮產(chǎn)品中的易損部件，從二級耦合系統(tǒng)向多級耦合系統(tǒng)發(fā)展[9]；設(shè)法降低誤差，如利用奇異值分解方法抑制計算過程中矩陣求逆導(dǎo)致的誤差放大[10-11]。

在以往研究中，均假設(shè)運輸包裝系統(tǒng)是線性的，而實際包裝材料與包裝結(jié)構(gòu)具有非線性特性[12-14]，在使用傳統(tǒng)逆向子結(jié)構(gòu)方法進行分析時，將非線性結(jié)構(gòu)視作線性結(jié)構(gòu)會導(dǎo)致求解結(jié)果不準確。對此，筆者在之前的研究中，結(jié)合逆向子結(jié)構(gòu)方法與參數(shù)識別技術(shù)，實現(xiàn)了對含非線性子結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)的解耦，其中只考慮了單點耦合的情況[15]。文中結(jié)合運輸包裝實際，針對含非線性子結(jié)構(gòu)的多點耦合系統(tǒng)做進一步討論，拓展了逆向子結(jié)構(gòu)方法的應(yīng)用范圍，并分別在集總參數(shù)模型和有限元模型中進行了驗證。

1 理論方法

包裝件與運載車輛之間的耦合關(guān)系見圖1a，該耦合系統(tǒng)可抽象化為圖1b所示的物理模型，文中以該模型為基礎(chǔ)進行理論分析。

1.1 非線性系統(tǒng)線性化

逆向子結(jié)構(gòu)方法需要測量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)來進行解耦運算，而非線性系統(tǒng)不具備傳統(tǒng)意義上的頻率響應(yīng)函數(shù)，因此需要將其線性化。

非線性結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程可以寫成：

式中：、和為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；和L分別為外部激勵力向量和內(nèi)部非線性力向量；為位移向量。

假設(shè)激勵是簡諧振動，根據(jù)歐拉公式，在時域上能被寫成：

式中：為簡諧激勵的幅值；為激勵的角頻率；e為自然常數(shù)，i為虛數(shù)單位。

非線性結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)以級數(shù)形式表示為：

式中：為結(jié)構(gòu)的第階諧波響應(yīng)；為第階諧波響應(yīng)的幅值。通常，第1階諧波是響應(yīng)的主要成分，而其他階次諧波相對較小[16]。在忽略高階諧波的前提下，式（3）可寫成：

圖1 包裝件–運載車輛耦合系統(tǒng)

式中：為第1階諧波響應(yīng)的幅值。與之對應(yīng)地，非線性內(nèi)力也只考慮第1階諧波，并設(shè)為第1階內(nèi)部非線性力的幅值，得到：

將式（2）、（4）和（5）代入到式（1）中，得到：

如果該結(jié)構(gòu)的非線性特征體現(xiàn)為：剛度隨響應(yīng)幅值的變化而變化。那么，根據(jù)描述函數(shù)法[16]，可以把非線性內(nèi)力的幅值寫成響應(yīng)幅值的一次函數(shù)，即：

式中：為描述函數(shù)矩陣。矩陣內(nèi)部各位置的元素為：

式中：Δ為位于矩陣中第行列的元素；Δ為位于矩陣中第行列的元素；v為結(jié)構(gòu)中坐標和地面之間的非線性力的描述函數(shù)；v為結(jié)構(gòu)中坐標和坐標之間非線性力的描述函數(shù)。v和v的值均與響應(yīng)幅值有關(guān)，因此，是隨變化的函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，式（7）能被表示成式（9）的形式。

其中：

在文中被稱作準線性頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣，它的值與結(jié)構(gòu)的振動幅值有關(guān)，只能表征結(jié)構(gòu)在特定振動幅值下的響應(yīng)特性。

至此，實現(xiàn)了非線性結(jié)構(gòu)的線性化，得到了非線性結(jié)構(gòu)的準線性頻率響應(yīng)函數(shù)。

1.2 逆向子結(jié)構(gòu)方法

將圖1所示的包裝件—運載車輛耦合系統(tǒng)抽象化，考慮一個由非線性子結(jié)構(gòu)A和線性子結(jié)構(gòu)B組成的系統(tǒng)S，見圖2。2個子結(jié)構(gòu)之間通過對耦合點連接在一起。圖1中，a和b分別表示非線性子結(jié)構(gòu)A和線性子結(jié)構(gòu)B的內(nèi)部自由度，a和b分別表示它們的耦合自由度，C為耦合剛度矩陣。

圖2 包含非線性子結(jié)構(gòu)的多點耦合系統(tǒng)

其準線性頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣可表示為：

式中：S、S和S分別為系統(tǒng)S的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；S為系統(tǒng)S中以描述函數(shù)法線性化的非線性內(nèi)力矩陣。S和S隨響應(yīng)幅值變化。

系統(tǒng)S的動力學(xué)方程可寫作：

其中：

舉例說明式（13）中變量的物理含義：[S,iaia]表示耦合系統(tǒng)S中，自由度a的準線性驅(qū)動點頻率響應(yīng)函數(shù)；[S,iaca]表示耦合系統(tǒng)S中，從自由度a到自由度a的準線性跨點頻率響應(yīng)函數(shù)。

另一方面，根據(jù)力的平衡條件，可得：

式中：[B,cbcb]為線性子結(jié)構(gòu)B中，耦合自由度b的驅(qū)動點頻率響應(yīng)函數(shù)。

結(jié)合式（12）、（13）、（14）可得到二級耦合系統(tǒng)的解耦公式：

式（15）在本研究之前已有其他研究者得出，其含義是非線性子結(jié)構(gòu)A的準線性頻率響應(yīng)函數(shù)可通過對耦合系統(tǒng)S進行測量得出。

與單點耦合系統(tǒng)相比，多點耦合系統(tǒng)中的耦合坐標有個，因此，頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣中對應(yīng)位置的元素為維矩陣。以兩點耦合系統(tǒng)（耦合自由度為a1和a2）為例，其耦合自由度的準線性頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣表示為：

1.3 基于模態(tài)參數(shù)識別的響應(yīng)特性求解

因為非線性系統(tǒng)的準線性頻率響應(yīng)函數(shù)是在唯一固定的響應(yīng)幅值下確定的，因此，由式（15）只能得到非線性子結(jié)構(gòu)在特定振動幅值下的響應(yīng)特性，而無法預(yù)測其在任意大小激勵下的響應(yīng)特性。對此，提出一種基于模態(tài)參數(shù)識別的求解策略。

首先，使用激振器給系統(tǒng)施加種不同幅值的激勵，記錄非線性子結(jié)構(gòu)中某點的響應(yīng)幅值，測得系統(tǒng)在種不同響應(yīng)幅值下的準線性頻率響應(yīng)函數(shù)S(1),S(2), …,S()。之后，應(yīng)用模態(tài)參數(shù)識別技術(shù)求解出對應(yīng)于每個響應(yīng)幅值的固有頻率和阻尼比。經(jīng)此過程，會得到與響應(yīng)幅值有關(guān)的一組固有頻率{n1,n2, ……,nm}和一組阻尼比{1,2, ……,}。最后，以作為自變量，分別擬合其與固有頻率n和阻尼比的關(guān)系，得到n()和()，兩者都是的函數(shù)。

對應(yīng)于黏性阻尼系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的模態(tài)表達式，將作為響應(yīng)幅值函數(shù)的模態(tài)參數(shù)代入到頻率響應(yīng)函數(shù)表達式中，可以重構(gòu)出非線性結(jié)構(gòu)關(guān)于響應(yīng)幅值的頻率響應(yīng)函數(shù)(,)，其表達式為：

式中：為所分析的模態(tài)數(shù)；nr為第階模態(tài)的固有頻率；ζ為第階模態(tài)的阻尼比；C()為第階模態(tài)頻率響應(yīng)函數(shù)表達式中的常數(shù)項。

根據(jù)頻率響應(yīng)函數(shù)的定義，有：

對式（18）進行求解，即可求得測量點在任意大小激勵下的響應(yīng)。

2 模型驗證

2.1 集總參數(shù)模型

該節(jié)中，參考一般運載車輛的結(jié)構(gòu)，建立了一個含非線性部件的集總參數(shù)模型，見圖3。通過對這個模型的分析，來驗證所提出解耦方法的可靠性。

該模型由非線性子結(jié)構(gòu)A和線性子結(jié)構(gòu)B兩部分組成。子結(jié)構(gòu)A代表具有非線性特性的包裝件，子結(jié)構(gòu)B代表運載車輛。其中，為集中質(zhì)量，集中質(zhì)量之間存在線性剛度和線性阻尼，它們的下標為不同位置參數(shù)的編號。在子結(jié)構(gòu)A中加入一個非線性彈簧NL，以體現(xiàn)包裝材料和包裝結(jié)構(gòu)的非線性，這使得子結(jié)構(gòu)A成為一個非線性子結(jié)構(gòu)，也使得整個系統(tǒng)成為一個非線性系統(tǒng)。2個子結(jié)構(gòu)之間通過彈簧4和5、阻尼4和5，形成兩點耦合。模型中參數(shù)的值見表1。

下面說明如何在不拆解結(jié)構(gòu)、只能在耦合狀態(tài)下激勵和測量的前提下，計算非線性子結(jié)構(gòu)A的振動響應(yīng)特性。

假設(shè)非線性彈簧NL具有立方剛度的性質(zhì)，其非線性內(nèi)力L表示為

式中：kNL的值為1×107 N/m3。

表1 集總參數(shù)模型中參數(shù)的值

Tab.1 Parameters in the lumped parameter model

該系統(tǒng)的準線性頻率響應(yīng)函數(shù)可由式（11）給出，其中：

控制1處的振幅從2 mm增加到20 mm，計算耦合自由度ca在不同振幅下的準線性頻率響應(yīng)函數(shù)。以S,ca1ca1和S,ca1ca2為例，其部分響應(yīng)特性見圖4，可見該結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特性會隨響應(yīng)幅值而改變，具有明顯的非線性特征。

類似地，分別計算出S,cacb、S,cbcb和S,cbca，將它們代入到式（14）中，可解耦得到非線性子結(jié)構(gòu)A的準線性頻率響應(yīng)函數(shù)A,caca，見圖5?？梢钥闯?，子結(jié)構(gòu)A的一階固有頻率會隨響應(yīng)幅值的增加而遞增，表現(xiàn)出漸硬的特性。

為檢驗該解耦方法的準確性，以非耦合狀態(tài)下的子結(jié)構(gòu)A為對象，應(yīng)用諧波平衡法直接計算1處驅(qū)動點頻率響應(yīng)函數(shù)在若干振幅下的實際值，將其與預(yù)測值進行比較，結(jié)果見圖6，兩者保持高度一致。

圖4 子結(jié)構(gòu)A耦合自由度頻率響應(yīng)函數(shù)在不同響應(yīng)幅值下的測量結(jié)果

圖5 子結(jié)構(gòu)A耦合自由度頻率響應(yīng)函數(shù)在不同響應(yīng)幅值下的解耦結(jié)果

圖6 m1處驅(qū)動點頻率響應(yīng)函數(shù)在不同響應(yīng)幅值下的預(yù)測值與實際值對比

基于非線性子結(jié)構(gòu)A的1處的驅(qū)動點頻率響應(yīng)函數(shù)，應(yīng)用多項式擬合法識別其模態(tài)參數(shù)，并擬合模態(tài)參數(shù)與非線性彈簧響應(yīng)幅值之間的函數(shù)關(guān)系。將各模態(tài)參數(shù)作為振幅的函數(shù)代入到式（17）中，可以重構(gòu)出式（21）函數(shù)來描述的1處的振動響應(yīng)特性：

假設(shè)外部激勵F為20 N，而激勵的位移幅值不再固定，作用于m1處對子結(jié)構(gòu)A進行正向掃頻，根據(jù)式（18）所給出的關(guān)系，即可對位移響應(yīng)X進行求解，這里使用的求解方法為牛頓迭代法。解得m1處的驅(qū)動點頻率響應(yīng)函數(shù)，并將其與理論值進行比較，結(jié)果見圖7?？梢妰烧吒叨纫恢拢揖珳暑A(yù)測了對非線性結(jié)構(gòu)進行掃頻時出現(xiàn)的響應(yīng)跳躍現(xiàn)象。

2.2 有限元模型

在此節(jié)中，建立了一個包含非線性子結(jié)構(gòu)的多點耦合系統(tǒng)有限元模型，并通過對其進行頻率響應(yīng)分析來檢驗文中所提出理論在連續(xù)體模型中的應(yīng)用效果。該模型由一個具有線性剛度特性的懸臂梁和一個具有非線性剛度特性的T型梁通過2根彈簧連接而成，模型裝配效果及幾何參數(shù)見圖8。

圖8 包含非線性部件的多點耦合系統(tǒng)有限元模型及其幾何參數(shù)

文中所使用的有限元建模與分析軟件為ABAQUS。在軟件環(huán)境中完成建模后，設(shè)置如下材料參數(shù)與約束條件：構(gòu)成懸臂梁和T型梁的材料均為鋼，其彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3，密度為7 800 kg/m3。上方懸臂梁為線性子結(jié)構(gòu)，在其固定端設(shè)置完全固定約束；下方的T形梁為非線性子結(jié)構(gòu)，由一根懸臂梁和一根兩端固定薄梁剛性連接而成，在連接位置設(shè)置綁定約束，在其固定端設(shè)置完全固定約束。點與點、點與點之間各有一根剛度均為5 000 N/m的彈簧連接，通過設(shè)置彈簧連接器實現(xiàn)。

應(yīng)用文中所提出的解耦策略，可以在不對模型進行拆解的前提下，通過測量該系統(tǒng)在4個耦合點的頻率響應(yīng)函數(shù)，來預(yù)測非線性子結(jié)構(gòu)（即T型梁）的頻率響應(yīng)函數(shù)。利用有限元軟件對該模型進行模態(tài)分析，得到其一階模態(tài)的有效質(zhì)量占結(jié)構(gòu)實際質(zhì)量的83.2%，因此可以判斷該模型的響應(yīng)主要受一階模態(tài)影響，文中考慮其一階模態(tài)。

對系統(tǒng)進行激振，控制點的響應(yīng)幅值分別為0.5、1、1.5、2、2.5、3 mm，測量每個響應(yīng)幅值下各耦合點的準線性頻率響應(yīng)函數(shù)，它們組成了系統(tǒng)耦合自由度的準線性頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣。將它們代入到式（15）中，即可求得非線性子結(jié)構(gòu)在不同響應(yīng)幅值下的準線性頻率響應(yīng)函數(shù)。以點為例，其驅(qū)動點頻率響應(yīng)函數(shù)的求解結(jié)果見圖9。對該頻率響應(yīng)函數(shù)進行參數(shù)識別，并擬合模態(tài)參數(shù)與響應(yīng)幅值的關(guān)系。

圖9 a點的驅(qū)動點頻率響應(yīng)函數(shù)在不同響應(yīng)幅值下的解耦結(jié)果

只要給定激勵的幅值，即可代入式（18）進行求解。為驗證求解結(jié)果，使用ABAQUS顯式動力學(xué)模塊對激勵為1 N時若干頻率點的響應(yīng)進行計算，并將計算值與預(yù)測值進行對比，結(jié)果見圖10，兩者保持高度一致。

圖10 在a點進行掃頻激勵的頻率響應(yīng)函數(shù)預(yù)測值實際值對比

3 結(jié)語

考慮到包裝結(jié)構(gòu)和包裝材料的非線性與運輸包裝系統(tǒng)耦合形式的復(fù)雜性，文中提出了一種針對非線性多點耦合系統(tǒng)的解耦方法，能夠在不拆解系統(tǒng)的前提下，通過測量運輸包裝系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)來求解包裝件的動態(tài)響應(yīng)特性，具體步驟如下。

1）使用激振器對系統(tǒng)施加簡諧激勵，測量系統(tǒng)耦合位置在不同響應(yīng)幅值下的準線性頻率響應(yīng)函數(shù)。

2）使用逆向子結(jié)構(gòu)方法求解非線性子結(jié)構(gòu)在不同響應(yīng)幅值下的準線性頻率響應(yīng)函數(shù)。

3）識別非線性子結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)并擬合其模態(tài)參數(shù)與響應(yīng)幅值之間的關(guān)系。

4）構(gòu)建激勵幅值與響應(yīng)幅值之間的關(guān)系方程并進行求解。

在集總參數(shù)模型和有限元連續(xù)模型中，文中方法對非線性子結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)特性的預(yù)測結(jié)果與實際值基本吻合，證明了其有效性，在運輸包裝系統(tǒng)參數(shù)獲取與模型構(gòu)建、運輸過程產(chǎn)品狀態(tài)監(jiān)測等方面具備應(yīng)用前景。

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A Decoupling Method for Multi-coordinate Coupled Transport Packaging System Containing Nonlinear Sub-structure

WANG Wei-kai1,WANG Jun1,LU Li-xin1,PAN Liao1,HOU Xue2

(1. Jiangnan University, Wuxi 214122, China; 2. Wuxi Branch of Shantou Dongfeng Printing Co., Ltd., Wuxi 214000, China)

The work aims to optimize the traditional inverse sub-structuring method, to get the dynamic response characteristic of sub-structure in nonlinear multi-coordinate coupled system, which is helpful to resolve the issue that complex coupling forms and nonlinear characteristic of material make it difficult to measure the physical parameters in transport packaging system. The description function method is used to linearize the nonlinear system and the frequency response functions (FRFs) at several response amplitudes need to be measured. Then, the modal parameters of the sub-structure can be identified by inverse sub-structuring method. Lastly, the relationship between the modal parameters and vibration amplitudes is fitted and a function is constructed to describe the dynamic response characteristic of the sub-structure. In the lumped parameter model, the predicted response was consistent with the actual. In the finite element model, the prediction error of the response peak was less than 5%, and the prediction error of the jumping frequency was less than 3%. The application of traditional inverse sub-structuring method was extended to nonlinear multi-coordinate coupled system, which had guiding significance for the construction of dynamic model of complex transport packaging system and the design of anti-vibration packaging.

inverse sub-structuring method; transport packaging; vibration; nonlinear

TB485.3

A

1001-3563(2022)23-0252-07

10.19554/j.cnki.1001-3563.2022.23.030

2022?02?28

國家一流學(xué)科建設(shè)輕工技術(shù)與工程（LITE 2018–29）

王維凱（1997—），男，碩士生，主攻運輸包裝。

王軍（1982—），男，博士，教授，主要研究方向為運輸包裝、包裝新材料。

責(zé)任編輯：曾鈺嬋