孫云平，李金緒，鄭平安

(云南師范大學(xué) 信息學(xué)院，云南 昆明 650500)

延遲和擾動(dòng)常存在于實(shí)際的控制系統(tǒng)中，導(dǎo)致系統(tǒng)性能的降低[1-10]，同時(shí)存在時(shí)變延遲和擾動(dòng)的系統(tǒng)由于時(shí)變擾動(dòng)的導(dǎo)數(shù)不等于零，對(duì)其進(jìn)行理論研究相對(duì)困難，一般會(huì)利用自適應(yīng)界化技術(shù)對(duì)時(shí)變擾動(dòng)進(jìn)行處理，但是得到的結(jié)果不太理想[11].本文研究了一種具有時(shí)不變擾動(dòng)及不確定周期時(shí)變擾動(dòng)和延遲的非線性系統(tǒng)的重復(fù)學(xué)習(xí)控制問(wèn)題，利用文獻(xiàn)[12-13]提出的自適應(yīng)周期控制方法，對(duì)時(shí)不變和時(shí)變擾動(dòng)分別設(shè)計(jì)了參數(shù)學(xué)習(xí)律，并利用Lyapunov-Krasovskii函數(shù)消除時(shí)變延遲影響，提出基于李亞普諾夫理論的混合重復(fù)學(xué)習(xí)控制方案.

1 問(wèn)題描述

考慮下列非線性系統(tǒng)

(1)

假設(shè)1 函數(shù)f(·,·)滿足李普希茨條件，即

|f(x,x(t-τ))-f(xd,xd(t-τ))|≤l(‖x-xd‖+‖x(t-τ)-xd(t-τ)‖),

(2)

其中l(wèi)是未知李普希茨常數(shù).

假設(shè)3g(x,θ(t),?)=θ(t)ξ(x,t)?,其中θ(t)=(θ1(t),θ2(t),…,θn(t))∈R1×n是周期為T的未知連續(xù)時(shí)變參數(shù)向量，?=(?1,…,?n)T∈Rn×1是未知的時(shí)不變參數(shù)向量，?的每個(gè)分量?i的符號(hào)是已知的(i=1,2,…,n)，不妨設(shè)?i>0,ξ(x,t)=diag{ξ1(x,t),ξ2(x,t),…,ξn(x,t)}是已知矩陣函數(shù).

假設(shè)4θ(t+T)=θ(t)屬于某個(gè)緊集，且θi(t+T)=θi(t)，存在未知正數(shù)θM<∞，使得‖θ(t)‖≤θM.

以下推導(dǎo)過(guò)程中，除了特別說(shuō)明，將省略t.

2 控制律與參數(shù)學(xué)習(xí)律的設(shè)計(jì)

系統(tǒng)(1)的跟蹤誤差的動(dòng)態(tài)方程為

(3)

其中，

選取適當(dāng)?shù)摩?使多項(xiàng)式sn+κ1sn-1+…+κn-1s+κn為Hurwitz多項(xiàng)式，從而可以找到給定常數(shù)ω>0,存在正定矩陣P>0,I為單位矩陣，滿足

(4)

為了消除延遲，設(shè)計(jì)Lyapunov-Krasovskii函數(shù)

(5)

其中γ>0為設(shè)計(jì)增益，對(duì)(5)式求導(dǎo)，得

(6)

由(4)式，得到

(7)

由假設(shè)1知|Λ|≤|l(‖e‖+‖e(t-τ)‖)|,因此

|eTPCb-1Λ|≤|eTPCb-1|l(‖e‖+‖e(t-τ)‖)|.

(8)

利用Young′s不等式，得

eTPCb-1Λ≤γ-1(eTPCb-1l)2+0.5γeTe+0.5γeT(t-τ)e(t-τ).

(9)

將(9)式代入(7)式，得

(10)

由假設(shè)2，可以得到

(11)

由(11)式，設(shè)計(jì)控制律

(12)

設(shè)計(jì)時(shí)變參數(shù)周期學(xué)習(xí)律

(13)

(14)

時(shí)不變參數(shù)學(xué)習(xí)律

(15)

(16)

其中r1,i>0,r2,i>0,q1>0分別是設(shè)計(jì)的常增益;Γ是正定對(duì)稱矩陣.

設(shè)q0(t)=tT-1q1,r0,i(t)=tT-1r1,i,t∈[0,T)，那么r0,i(t),q0(t)在[0,T)上是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，從而有r0,i(0)=0,r0,i(T)=r1,i;q0(0)=0,q0(T)=q1.

將(12)式代入(11)式，得

(17)

(18)

3 收斂性分析

證明定義Lyapunov函數(shù)

(19)

對(duì)于 ?t≥T,E(t)在[t-T,t)的差分

(20)

分別計(jì)算(20)式等號(hào)右邊每一項(xiàng).由(18)式，可知

(21)

由Θi(t)=Θi(t-T)和(13)式，得到

(22)

由?(t)=?(t-T)和(14)式，得

(23)

由(15)式，得

(24)

由(16)式，得

(25)

由(21)-(24)式，(20)式變?yōu)?/p>

(26)

因α>0，r1,i>0,q1>0，?i>0，從而

(27)

對(duì)t∈[jT,(j+1)T]，多次利用(27)式，記t0=t-jT，則

(28)

因?yàn)閠0∈[0,T),對(duì)(28)式求極限，得

(29)

由(13)-(16)式，學(xué)習(xí)律在[0,T)上變?yōu)?/p>

下面，只需考慮t∈[T1,T)上，E(t)的有界性.

由r0,i(t),q0(t)的取值，有

r1,i≥r0,i(t)≥r0,i(T1)>0;q1≥q0(t)≥q0(T1)>0;2r1,i>r0,i(t)>0;2q1>q0(t)>0.

對(duì)(19)式求導(dǎo)，得

(30)

由(22)-(25)式，可得

結(jié)合(30)式，得

從而得到

(31)

將上式代(31)式，得

(32)

4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證算法的有效性，考慮二階非線性系統(tǒng)

(33)

其中,

選取κ=[1,2]T,q1=1,r1,j=1,r2,j=1,q0(t)=tT-1q1,r0,i(t)=tT-1r1,i(i=1,2),取ω=4,有P=[6,2;2,2].通過(guò)編程仿真，圖1說(shuō)明控制u(t)一定有界，圖2和圖3分別表明跟蹤誤差最大絕對(duì)值漸近收斂于0，證明所提算法是可行有效的.

圖1 控制u(t) 圖2 跟蹤誤差e1 圖3 跟蹤誤差e2Fig.1 Controller u(t) Fig.2 Tracking error e1 Fig.3 Tracking error e2

5 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，將學(xué)習(xí)控制和自適應(yīng)控制相結(jié)合，設(shè)計(jì)自適應(yīng)學(xué)習(xí)控制方案，處理了被控系統(tǒng)中的未知延遲和干擾等不確定性因素，從而達(dá)到控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的目的，提高了系統(tǒng)的性能和指標(biāo).數(shù)值仿真表明了所提算法是有效和可行的.