郭春麗

(四川文理學院 數(shù)學學院,四川 達州 635000)

0 前 言

眾多的自然現(xiàn)象和實際問題都可以由偏微分方程來描述,比如擴散、熱傳導等物理現(xiàn)象可以由反應擴散方程來描述,又比如波的傳播與衰減、彈性體的平衡和振動都能由波動方程來表達,還有原子核與電子的相互作用、化學反應過程、流體的運動、電磁相互作用等自然現(xiàn)象的基本規(guī)律都可以寫成偏微分方程的形式.[1]由于偏微分方程在實際中應用廣泛,人們對其了解得越來越多、越來越深入,形成了數(shù)學中一門重要的分支—偏微分方程理論,其中,偏微分方程的控制問題吸引了大批學者對其進行研究.[2-9]

偏微分方程控制研究包括能穩(wěn)性、能控性、反饋控制器的設計等方面,在偏微分方程的邊界反饋控制器設計時,常見方法有damping 法、Backstepping 方法、Lyapunov 函數(shù)法等,其中Backstepping 方法突破了求解過程過于復雜的局限性,因此,近年來被廣泛應用于偏微分方程的邊界反饋控制器的設計中.[3-9]文獻[4-5]討論了反應擴散方程的穩(wěn)定性,文獻[6-7]考慮了波動方程的穩(wěn)定性,文獻[8-9]涉及偏微分方程與常微分方程級聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 下面將運用Backstepping 方法討論一類帶Neumann 邊界波動方程的穩(wěn)定性,并設計出該方程的邊界反饋控制器.

1 問題陳述

考慮帶Neumann 邊界一維波動方程控制系統(tǒng):

其中,q≥1,u(x,t)表示弦上各點在t時刻沿垂直于x方向的位移,U(t)是反饋控制器. 此控制系統(tǒng)(1)在u(1,t) = 0 時,即不加控制時控制系統(tǒng)(1)是不穩(wěn)定的.

2 控制器的設計

為了設計控制系統(tǒng)(1)的反饋控制器,選用Backstepping 方法進行設計,該方法的設計思路是利用可逆變換將控制系統(tǒng)(1)轉化為穩(wěn)定的目標系統(tǒng),再利用變換的有界性和目標系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

首先,選定如下的系統(tǒng)作為目標系統(tǒng):

其中,c0> 0,c1> 0. 目標系統(tǒng)(1)是指數(shù)穩(wěn)定的.[3]

其次,引入Voltegral變換:

其中,k(x,y)是待定的核函數(shù).[6-7]變換(3)將控制系統(tǒng)(1)轉化為目標系統(tǒng)(2).

然后,在變換(3)的兩邊分別關于變量x和t求偏導,從而有:

在(4)式中,令x= 1,再由(5)式及系統(tǒng)(1)和(2)中的邊界條件可得:

最后,為了證明控制系統(tǒng)(1)在反饋控制器(6)下是穩(wěn)定的,需要得到變換(3)的逆變換,再利用目標系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,從而驗證反饋控制器的有效性.

3 核函數(shù)的計算

本節(jié)將求解出變換(2)中的核函數(shù)k(x,y),從而得到反饋控制器(6).

首先,在(4)式的兩邊同時關于變量x求偏導數(shù),得到:

由(7)式和(8)式有:

因此,為滿足目標系統(tǒng)(2)中的方程wt t(x,t) =wxx(x,t),核函數(shù)需滿足如下方程,

又由變換(3)和(4)以及邊界條件wx(0,t) =c0w(0,t)和ux(0,t) = -qu(0,t),有:

從而k(0,0) = -c0-q,又由此可得k(x,x) = -c0-q,則核函數(shù)k(x,y)滿足方程,

然后,求解核函數(shù)方程(11).由kxx(x,y) -kyy(x,y) = 0可得核函數(shù)可以表示成如下的形式,

其中,φ(·),φ(·)是待確定的函數(shù).

將(12) 式代入k(x,x) = -c0-q可得φ(2x) = -c0-q-φ(0),從而可得函數(shù)φ(x+y)為常數(shù),由函數(shù)φ(x-y)的任意性,不妨假設:

因此,φ(0) = -c0-q. 將(12) 式代入ky(x,0) = -qk(x,0),并由(13)式和φ(0) = -c0-q可解得:

由(12-14)可得:

最后,將上式代入變換(3)及反饋控制器(6)中,有:

4 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

為了得到控制系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性,需要尋找變換(2)的逆變換,且該變換將穩(wěn)定的目標系統(tǒng)(2)轉化為控制系統(tǒng)(1),參考文獻[4]的證明方法,證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

4.1 逆變換

首先,由文獻[3]引入變換:

其中,l(x,y)是待定的核函數(shù),該變換將目標系統(tǒng)(2)轉化為控制系統(tǒng)(1).

運用第3節(jié)同樣的方法計算ux(x,t),uxx(x,t),ut(x,t),ut t(x,t),并利用控制系統(tǒng)(1)和目標系統(tǒng)(2)中的方程以及邊界條件可得核函數(shù)l(x,y)滿足如下方程:

方程(19)與方程(9)類似,采用同樣的方法求解方程(19)可得:

將上式代入變換(18)中,有:

其次,需要驗證變換(21)為變換(16)的逆變換.引入算子P和Q,并記:

要證明變換(21)為變換(16)的逆變換,只需驗證PQ=I或者QP=I,這里I為恒等變換,也即驗證PQ(w) =w或者QP(u) =u,因此,將變換(21)代入變換(16)可得:

最后,交換積分順序可得:

則由上式及(22) 可得QP(u) =u, 即P-1=Q,也就是說變換(16)是可逆的且它的逆變換由(21)式給出.

4.2 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

下面將利用目標系統(tǒng)的穩(wěn)定性和變換的有界性以及可逆性證明閉環(huán)系統(tǒng)在給定范數(shù)意義下的穩(wěn)定性,即證明控制系統(tǒng)(1)在反饋控制器U(t)下是穩(wěn)定的,且反饋控制器由(17)式給出.

首先,引入范數(shù):[3][10]

由(15)式和(20)式可得核函數(shù)k(x,y) 和l(x,y)在區(qū)域0 ≤y≤x≤1上是有界的,則算子P和Q均為有界線性算子,從而存在正數(shù)C1和C2使得下面不等式(25)成立,

其次,記u(x,t)為控制系統(tǒng)(1)在初始狀態(tài)u(x,0) =u0下的解,由P-1=Q可得w(x,t) =P(u)為目標系統(tǒng)(2)在初始狀態(tài)w(x,0) =w0=P(u0)下的解,則由(25)式有,

最后,由目標系統(tǒng)(2)的給定范數(shù)(24)下是指數(shù)穩(wěn)定的,[3]可得存在正數(shù)M使得下式成立,

那么,由(26)式和(27)式可得,

即控制系統(tǒng)(1)在給定范數(shù)意義下是指數(shù)穩(wěn)定的.