白雪花,薛亞奎

(中北大學(xué) 理學(xué)院, 太原 030051)

0 引言

COVID-19是一種傳染性極強(qiáng)的疾病，在全世界范圍內(nèi)引起了持續(xù)和重大的公共衛(wèi)生問(wèn)題，2020年1月2日至2021年6月19日，COVID-19的迅速傳播已導(dǎo)致全球約有1.8億確診病例和近400萬(wàn)死亡病例[1]。COVID-19主要通過(guò)呼吸道飛沫或密切接觸傳播，并且人接觸了帶有病毒的物品也可能被感染，一旦感染COVID-19，患者最初沒有明顯的臨床癥狀，稱為無(wú)癥狀感染，在特定時(shí)間后，無(wú)癥狀感染會(huì)發(fā)展為有癥狀感染[2-4]。為了預(yù)防和減少COVID-19的傳播，除了接種疫苗外最關(guān)鍵的做法是采取一些非藥物干預(yù)措施，如保持社交距離、自我隔離或隔離感染者、戴口罩、追蹤密切接觸者和大面積核酸檢測(cè)等[5]。保持社交距離的目的是減少社區(qū)中人與人之間的互動(dòng)，由于無(wú)癥狀感染者通過(guò)飛沫傳播需要一定距離，因此保持嚴(yán)格的社交距離可以減少疾病的傳播。追蹤密切接觸者和核酸檢測(cè)是對(duì)密切接觸者進(jìn)行限制或隔離，目的是監(jiān)測(cè)他們的癥狀并確保及早發(fā)現(xiàn)病例，防止疾病的進(jìn)一步傳播[6-7]。

數(shù)學(xué)模型對(duì)傳染病的控制有重要意義，最近，許多專家利用不同的數(shù)學(xué)模型來(lái)研究COVID-19的傳播模式[8-10]。Annas等[11]提出SEIR模型，該模型使用印度尼西亞COVID-19病例的二次數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)病毒的流行趨勢(shì)。Rafiqa等[12]提出雙峰態(tài)SITR模型，該模型通過(guò)將易感人群劃分為2個(gè)不重疊的亞群體來(lái)模擬COVID-19的傳播。Fanelli等[13]提出了基于非線性微分方程的數(shù)學(xué)模型，研究了中國(guó)、意大利和法國(guó)等疫情嚴(yán)重國(guó)家的COVID-19感染動(dòng)態(tài)。Atangana[14]提出了新的分形-分?jǐn)?shù)階微分算子和積分算子的數(shù)學(xué)模型，探討了封鎖社會(huì)對(duì)COVID-19的影響。

無(wú)癥狀感染是COVID-19最大的特點(diǎn)，也是控制疾病傳播的關(guān)鍵，而預(yù)防COVID-19的傳播， 除接種疫苗外唯一的方法是實(shí)施非藥物干預(yù)措施。因此建立了包含無(wú)癥狀和有癥狀感染的SEIAR模型，研究了保持社交距離、追蹤密切接觸者和核酸檢測(cè)對(duì)COVID-19動(dòng)態(tài)的影響。

1 模型的建立

將總?cè)巳篘(t)分為5類：易感者S(t)、潛伏者E(t)、有癥狀感染者I(t)、無(wú)癥狀感染者A(t)、恢復(fù)者R(t)，則N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+A(t)+R(t)。在被感染的人群中，有癥狀感染者可以將病毒傳染給其他人;無(wú)癥狀感染者不表現(xiàn)出任何癥狀，但會(huì)將病毒傳染給其他人?；谝陨嫌懻?，建立以下模型：

(1)

式中：Λ為出生率；d為自然死亡率；β1為有癥狀感染者的有效接觸率；β2為無(wú)癥狀感染者的有效接觸率；δ為潛伏者到染病者(包括有癥狀感染者和無(wú)癥狀感染者)的轉(zhuǎn)移率；潛伏者分別以τ和1-τ的比例轉(zhuǎn)移為有癥狀感染者和無(wú)癥狀感染者；d1為因病死亡率；γ1為有癥狀感染者的恢復(fù)率；γ2為無(wú)癥狀感染者的恢復(fù)率。

2 基本再生數(shù)和平衡點(diǎn)的存在性

根據(jù)下一代矩陣法[15]計(jì)算基本再生數(shù)R0，可得

式中：

R1表示有癥狀感染者產(chǎn)生COVID-19新感染的平均數(shù)，R2表示無(wú)癥狀感染者產(chǎn)生COVID-19新感染的平均數(shù)。

定理1當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(1)在Ω內(nèi)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)P*(S*,E*,I*,A*,R*)。

證明令系統(tǒng)(1)的方程右端等于0，求解得

式中：

(2)

當(dāng)R0>1時(shí)，有λ*>0，即系統(tǒng)(1)在Ω內(nèi)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)P*(S*,E*,I*,A*,R*)。

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理2當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)P0在Ω內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的。

證明系統(tǒng)(1)在無(wú)病平衡點(diǎn)P0處的Jacobian矩陣為：

矩陣J(P0)的特征方程為：

(λ+d)2(λ3+a1λ2+a2λ+a3)=0

式中：

a1=3d+δ+d1+γ1+γ2>0

a2=(d+δ)(d+d1+γ1)(1-R1)+(d+δ)(d+γ2)(1-R2)+(d+γ2)(d+d1+γ1)

a3=(d+δ)(d+d1+γ1)(d+γ2)(1-R0)

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，有

H1=a1>0

H2=a1a2-a3=[(d+δ)2(d+d1+γ1)+(d+δ)(d+d1+γ1)2](1-R1)+

[(d+δ)2(d+γ2)+(d+δ)(d+γ2)2](1-R2)+(d+γ2)(d+d1+γ1)2+

(d+γ2)2(d+d1+γ1)+2(d+δ)(d+d1+γ1)(d+γ2)

H3=a3H2

當(dāng)R0<1時(shí)，ai>0,i=1,2,3，Hj>0,j=1,2,3，即系統(tǒng)(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)P0在Ω內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的。

定理3當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)P0在Ω內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

V=B1E+B2I+B3A

式中：Bi,i=1,2,3表示未知的正數(shù)。

計(jì)算V沿著系統(tǒng)(1)的導(dǎo)數(shù)，可得

B1[β1I+β2A-(d+δ)E]+B2[τδE-(d+d1+γ1)I]+B3[(1-τ)δE-(d+γ2)A]=

[B1β1-B2(d+d1+γ1)]I+[B1β2-B3(d+γ2)]A+[B2τδ-B1(d+δ)+B3(1-τ)δ]E=

令

則有

定理4當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(1)的地方病平衡點(diǎn)P*在Ω內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的。

證明使用中心流形理論[17]來(lái)證明P*的局部漸近穩(wěn)定性。

系統(tǒng)(1)在P0處的Jacobi矩陣為：

當(dāng)R0=1時(shí)，選擇β2作為分支參數(shù)，則有

計(jì)算得

4 數(shù)值模擬

為驗(yàn)證以上結(jié)果，使用Matlab對(duì)系統(tǒng)(1)的結(jié)論進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，研究不同參數(shù)對(duì)R0和感染者的影響，具體情況如下：

圖1模擬了無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，取參數(shù)Λ=0.25,d=0.08,d1=0.002,γ1=0.7,γ2=0.2，β1=0.4，β2=0.3。圖1(a)取δ=0.2,τ=0.4，此時(shí)R0=0.605 3<1，可以看出無(wú)病平衡點(diǎn)P0在Ω內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。通過(guò)追蹤并隔離密切接觸者可以極大減少疾病傳播，從而減小潛伏者到染病者的轉(zhuǎn)移率δ，通過(guò)核酸檢測(cè)可以及早發(fā)現(xiàn)無(wú)癥狀感染者，從而增加潛伏者轉(zhuǎn)移為有癥狀感染者的比例τ。圖1(b)取δ=0.02,τ=0.9,此時(shí)R0=0.054 3<1，可以看出無(wú)癥狀感染者和有癥狀感染者趨于消亡的時(shí)間明顯縮短。

圖1 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

圖2模擬了地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，取參數(shù)Λ=0.25,d=0.08,γ1=0.7,γ2=0.2,β1=0.6，β2=0.5，d1=0.002。圖2(a)取δ=0.2,τ=0.4,，此時(shí)R0=2.124 6>1，可以看出地方病平衡點(diǎn)P*在Ω內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的。同樣，通過(guò)改變?chǔ)暮挺?，?lái)探討追蹤密切接觸者和核酸檢測(cè)對(duì)COVID-19傳播的影響效果。圖2(b)取δ=0.1,τ=0.5,此時(shí)R0=1.358 9>1，同樣可以看出無(wú)癥狀感染者和有癥狀感染者趨于穩(wěn)定的時(shí)間明顯縮短。由圖1和圖2可以看出，通過(guò)追蹤隔離密切接觸者并對(duì)易感人群進(jìn)行核酸檢測(cè)來(lái)尋找無(wú)癥狀感染者，可以明顯縮短疾病消亡和趨于穩(wěn)定的時(shí)間，進(jìn)而有效控制COVID-19的傳播。

圖2 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

圖3模擬了有效接觸率β1和β2取不同值時(shí)對(duì)總感染人數(shù)I(t)+A(t)的影響，取與圖1(a)相同的參數(shù)。圖3(a)中β1分別取0.9、0.6、0.3、0.1，分析了輕度社交距離(β1=0.9)、中度社交距離(β1降低到0.6)、相對(duì)嚴(yán)格的社交距離(β1降低到0.3)和非常嚴(yán)格的社交距離(β1降低到0.1)對(duì)疾病傳播的影響。從圖3(a)可以看出，加強(qiáng)社交距離可以顯著降低總感染人數(shù)和疾病消亡的時(shí)間。因此，政府應(yīng)該實(shí)施嚴(yán)格的社交距離措施，減少人與人之間的接觸，呼吁大家外出要戴口罩并保持2 m或2 m以上的距離。圖3(b)中β2分別取0.5、0.4、0.3、0.1，可以看出減少有效接觸率β2，總感染人數(shù)顯著減少，疾病消亡的時(shí)間明顯縮短。這表明，無(wú)癥狀感染者正在嚴(yán)重加重疾病負(fù)擔(dān)，因此，所有密切接觸者一定要及時(shí)做核酸檢測(cè)并隔離14天以上。

圖3 有效接觸率β1和β2對(duì)總感染人數(shù)的影響

5 結(jié)論

研究了一類包含無(wú)癥狀和有癥狀感染的COVID-19模型，考慮了非藥物干預(yù)措施對(duì)傳染病傳播的影響。計(jì)算了基本再生數(shù)R0，并證明了地方病平衡點(diǎn)的存在性，運(yùn)用Routh-Hurwitz判據(jù)和LaSalle不變集原理，證明了當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P0是局部漸近穩(wěn)定和全局漸近穩(wěn)定的；運(yùn)用中心流形理論，證明了當(dāng)R0>1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的。最后通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果顯示，實(shí)施非藥物干預(yù)措施將顯著減少累積的感染病例。因此，在防疫期間，應(yīng)嚴(yán)格執(zhí)行基本的非藥物干預(yù)措施，特別是保持社交距離和及時(shí)追蹤隔離密切接觸者，以減少疾病傳播。