甘肅省靈臺(tái)縣第一中學(xué) (744400) 王海燕

阿基米德最早利用逼近思想證明了拋物線的弦與拋物線所圍成封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與過弦端點(diǎn)的兩條切線所圍三角形面積的三分之二.后來人們稱由拋物線的弦與過該弦端點(diǎn)的兩切線所圍成的三角形為阿基米德三角形.其中該弦稱為阿基米德三角形的底邊，阿基米德三角形有許多性質(zhì)，底邊過焦點(diǎn)的阿基米德三角形有如下常見結(jié)論：

圖1

如圖1，AB是過拋物線C:x2=2py焦點(diǎn)F的弦，C在點(diǎn)A，B處的切線QA,QB交于Q點(diǎn)，點(diǎn)M(x0,y0)為AB的中點(diǎn).△QAB即為阿基米德三角形，其中AB為阿基米德三角形的底邊，則

(1)切線QA,QB的交點(diǎn)Q在拋物線C的準(zhǔn)線上;

(2)底邊上的中線平行于拋物線的對稱軸，即xQ=x0;

(3)△QAB是直角頂點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的RtΔ，即AQ⊥BQ;

(4)FQ⊥AB;

(5)阿基米德三角形面積的最小值為p2.

事實(shí)上，利用上述結(jié)果有如下結(jié)論：

結(jié)論1 若切線QA,QB的交點(diǎn)Q在拋物線C的準(zhǔn)線上，則拋物線C的弦AB必過焦點(diǎn).即命題(1)的逆命題也成立.

結(jié)論2 阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的對稱軸.即結(jié)論(2)可推廣到一般的阿基米德三角形.(證略.)

結(jié)論3 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，中點(diǎn)M(x0,y0)，則阿基米德三角形QAB的底邊AB所在直線方程為(x1+x2)x+-2py-x1x2=0；若AB過焦點(diǎn)，則可化為2x0x-2py+p2=0；切線QA，QB的方程分別為x1x=p(y+y1)，x2x=p(y+y2).(證略.)

例1 (2014·遼寧卷)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為( ).

例2 (2018·新課標(biāo)Ⅲ卷)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若∠AMB=90°，則k=.

再如，(2021全國乙卷，理21)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.

(1)求p；

(2)若點(diǎn)P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值.

(2)△PAB是一般的阿基米德三角形，但可依性質(zhì)(1)的證明方法，利用導(dǎo)數(shù)求出直線PA，PB，進(jìn)一步可求得直線AB的方程，將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立后，依弦長公式表示出|AB|及點(diǎn)P到直線AB的距離，把△PAB的面積表示成P點(diǎn)縱坐標(biāo)y0的二次函數(shù)，由-5≤y0≤-3，可求得△PAB面積的最大值.

(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；

(2)略.

(1)求拋物線C的方程；

(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí),求|AF|·|BF|的最小值.

(2)△PAB即為阿基米德三角形，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，依據(jù)結(jié)論3可得切線PA,PB的方程為x1x-2y-2y1=0,x2x-2y-2y2=0.由P(x0,y0)在切線PA,PB上,得x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.所以(x1,y1),(x2,y2)為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.

(3)略.