毛曉敏， 張慧華， 紀(jì)曉磊， 韓尚宇

（南昌航空大學(xué) 土木建筑學(xué)院，南昌 330063）

引 言

隨著建造水平及民眾安全意識的不斷提高，人們對實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的安全問題愈發(fā)重視.受不同因素的影響，在建造和使用過程中，結(jié)構(gòu)中難免會產(chǎn)生各類缺陷（如裂紋、孔洞等）.裂紋這類代表性缺陷的存在會影響結(jié)構(gòu)的承載力、適用性和耐久性，甚至可能會造成結(jié)構(gòu)物的垮塌等嚴(yán)重事故.因此，及時發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中的裂紋是確保結(jié)構(gòu)安全的關(guān)鍵措施之一.目前，較為常見的裂紋檢測和識別方法主要包括人工檢測、圖像識別法和無損檢測技術(shù)等，但這些方法存在著一些固有的局限，比如，人工檢測費(fèi)時費(fèi)力、圖像識別法易受環(huán)境影響、無損檢測技術(shù)費(fèi)用較為昂貴等.近年來，數(shù)值技術(shù)與人工智能算法的有機(jī)結(jié)合憑借其高效率、高精度、低成本和適用性強(qiáng)等特點(diǎn)在裂紋識別等反分析問題中得到了廣泛的應(yīng)用.

基于數(shù)值技術(shù)和人工智能算法建立的裂紋反演分析模型一般包括正向分析和目標(biāo)極小化兩個部分.正向分析通過各類數(shù)值方法獲取含裂紋結(jié)構(gòu)中測點(diǎn)的響應(yīng)值（如位移）；目標(biāo)極小化則利用相關(guān)智能優(yōu)化算法對正向分析中的一系列輸入和響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，據(jù)此進(jìn)一步預(yù)測裂紋信息.早期，有限元法[1]和邊界元法[2]被廣泛地用于裂紋問題的正向分析，這兩種數(shù)值方法均要求單元邊與裂紋幾何一致，這導(dǎo)致需要不斷進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu)以獲取不同裂紋形態(tài)下的測點(diǎn)響應(yīng)，大大降低了計算效率.而擴(kuò)展有限元法 (XFEM)[3]正好可以彌補(bǔ)上述不足，XFEM 通過引入非連續(xù)位移模式，可在網(wǎng)格固定的情況下改變水平集函數(shù)模擬域內(nèi)不同構(gòu)型（如不同的缺陷類型、位置、尺寸和數(shù)量等）的缺陷，大大降低了正向分析的成本.至今，XFEM 已被應(yīng)用于求解諸多裂紋問題[4-5].在智能優(yōu)化算法方面，人工蜂群 (ABC)算法[6]、遺傳算法 (GA)[7]和各類人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法（如誤差反向傳播多層前饋（BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8]）等是其中的典型代表.

國內(nèi)外已有不少學(xué)者結(jié)合XFEM 與智能優(yōu)化算法進(jìn)行了缺陷反演.文獻(xiàn)[9]基于XFEM 和改進(jìn)ABC 算法對結(jié)構(gòu)內(nèi)部單個圓形、橢圓形缺陷和兩個不規(guī)則缺陷進(jìn)行了反演分析.文獻(xiàn)[10]提出了一種基于動態(tài)XFEM 和改進(jìn)ABC 的多缺陷檢測法.為準(zhǔn)確檢測和識別結(jié)構(gòu)中的裂紋，文獻(xiàn)[11]發(fā)展了一種基于XFEM 和GA 的計算工具，文獻(xiàn)[12]闡述了XFEM 和GA 在結(jié)構(gòu)缺陷檢測中的實(shí)驗應(yīng)用與改進(jìn)，文獻(xiàn)[13]建立了XFEM與GA 相結(jié)合的缺陷反演分析模型.

GA 是一種全局性概率搜索方法[14]，該算法獨(dú)立于求解域且具有較強(qiáng)的魯棒性，但其存在收斂速度慢和局部搜索能力差等問題.作為當(dāng)前應(yīng)用最為廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型之一，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較強(qiáng)的局部搜索能力，可有效彌補(bǔ)GA 的缺點(diǎn).與此同時，GA 的全局隨機(jī)搜索能力也可防止BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)陷入局部最優(yōu)，即GA 和BP 可以實(shí)現(xiàn)互補(bǔ).基于GA-BP 開展的研究已有不少[15-16]，但利用XFEM 和GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行缺陷識別的相關(guān)研究工作尚未見報道.為此，本文將XFEM 與GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，采用XFEM 獲得GABP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，利用GA 對BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值進(jìn)行優(yōu)化，圍繞線彈性斷裂力學(xué)中的理想化直線裂紋進(jìn)行反演分析.通過典型算例驗證模型的可行性和精度，并進(jìn)一步探討輸入數(shù)據(jù)噪聲對網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果的影響，為結(jié)構(gòu)中裂紋的快速準(zhǔn)確識別提供初步的理論和技術(shù)支撐.

1 裂紋反演模型簡介

進(jìn)行裂紋識別時，一般先通過計算模擬或?qū)嶒炂鞑臋z測獲得結(jié)構(gòu)中某些關(guān)鍵點(diǎn)（即測點(diǎn)）的位移等響應(yīng)量，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用相關(guān)方法來反演結(jié)構(gòu)中裂紋的幾何信息.以圖1 給出的雙直線裂紋識別問題為例，待反演的參數(shù)向量為

圖1 含裂紋結(jié)構(gòu)及測點(diǎn)示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the structure with cracks and the measuring points

2 XFEM 簡介

2.1 裂紋問題的XFEM 位移近似函數(shù)

XFEM 是在單位分解法[18]和標(biāo)準(zhǔn)有限元法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的新型數(shù)值方法.通過在標(biāo)準(zhǔn)有限元逼近函數(shù)中引入裂面改進(jìn)函數(shù)和裂尖改進(jìn)函數(shù)，XFEM 可在與裂紋幾何不一致的稀疏網(wǎng)格上獲得高精度的解答.以各向同性材料中的裂紋問題為例，XFEM 的位移近似函數(shù)可表示為[18]

2.2 XFEM 離散方程

基于已構(gòu)造的位移近似(式(5))，進(jìn)一步根據(jù)變分原理可導(dǎo)出XFEM 求解裂紋問題的總體離散方程為[19]

3 GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種信號前向傳播、誤差反向傳遞的多層前饋網(wǎng)絡(luò)[8].它主要由一個輸入層、一個或多個隱藏層以及一個輸出層構(gòu)成.BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是目前應(yīng)用最廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型之一、具有較強(qiáng)的非線性映射能力、自學(xué)習(xí)和自適應(yīng)能力、泛化能力以及容錯能力，主要缺點(diǎn)則包括易陷入局部極小化、收斂速度較慢以及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)選擇不一等[20].GA 是一種全局隨機(jī)搜索優(yōu)化計算技術(shù)[21]，其基本原理可以總結(jié)為“優(yōu)勝劣汰”四個字，主要優(yōu)點(diǎn)有：①適用于復(fù)雜的優(yōu)化問題且可獲取優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解；②算法獨(dú)立于求解域；③具有較強(qiáng)的魯棒性；其不足之處主要表現(xiàn)在收斂速度慢、局部搜索能力差和需要控制的變量多.

為了提高BP 網(wǎng)絡(luò)的收斂速度和降低陷入局部最優(yōu)的可能性，本文采用GA 對BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值進(jìn)行優(yōu)化，算法的總體實(shí)現(xiàn)框架見圖2.

圖2 GA 優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的流程圖Fig. 2 The flow chart of the BP neural network optimized by GA

3.1 確定BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)

3.2 基于GA 對BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值進(jìn)行優(yōu)化

基于GA 優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的具體計算過程為[20]：

① 初始值編碼.首先采用實(shí)數(shù)編碼法對BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值進(jìn)行編碼，個體編碼的長度計算公式為

② 確定適應(yīng)度函數(shù).采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練輸出值與期望輸出值誤差平方和的倒數(shù)作為個體i的適應(yīng)度函數(shù)Fi，即

圖3 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)模型Fig. 3 The structure of the BP neural network

按照所選擇的適應(yīng)度函數(shù)并通過遺傳中的選擇、交叉和變異對個體進(jìn)行篩選，使適應(yīng)度好的個體保留下來.通過反復(fù)循環(huán)，將種群中最終得到的最優(yōu)個體作為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)權(quán)值和閾值.

3.3 計算BP 網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練誤差

將GA 算法得到的最優(yōu)個體賦值為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值，利用訓(xùn)練樣本對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，其中隱藏層和輸出層的輸出計算分別為

3.4 判斷迭代是否結(jié)束

判斷式(20)得到的誤差是否滿足精度要求.若滿足，則網(wǎng)絡(luò)迭代結(jié)束，據(jù)此可開展裂紋識別；若不滿足，可參考文獻(xiàn)[20]對權(quán)值和閾值進(jìn)行更新，并通過式(18)～(20)重新計算網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練誤差，如此循環(huán)直至滿足精度要求.

4 XFEM 與GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)現(xiàn)

本文運(yùn)用XFEM 與GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法進(jìn)行裂紋反演分析.該方法主要包括兩部分：一部分是運(yùn)用XFEM 進(jìn)行正向分析以獲取測點(diǎn)的位移響應(yīng)量，另一部分則是利用測點(diǎn)位移數(shù)據(jù)對GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練并據(jù)此識別裂紋幾何參數(shù).方法的主要實(shí)現(xiàn)流程如圖4 所示.

圖4 XFEM 與GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法開展裂紋識別的流程圖Fig. 4 The flow chart of crack identification based on the XFEM and the GA-BP neural network algorithm

5 算 例 分 析

5.1 矩形板內(nèi)的單邊水平裂紋識別

如圖5 所示，矩形板高H=6 m ， 寬W=2 m， 板左側(cè)在距板上邊緣H/2處 有一長度為a的單邊水平裂紋.板頂部受到 σ =1 MPa 的 拉應(yīng)力作用，板底邊的豎向位移和底邊左端的水平位移均為零.彈性模量E=2.1×1011Pa，Poisson 比ν =0.3， 按平面應(yīng)變進(jìn)行分析.式(20)中的誤差ek取為10-7.

圖5 單向拉伸作用下含單邊裂紋的矩形板Fig. 5 A rectangular plate with an edge crack under uniaxial tension

5.1.1 XFEM 精度驗證

通過校核應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解精度來測試XFEM 的正向分析精度.分別基于4 種由四結(jié)點(diǎn)矩形單元組成的網(wǎng)格對a=0.7 m 的裂紋進(jìn)行模擬（單元數(shù)量分別為120，435，780 和1 540，相應(yīng)的離散域見圖6）.表1 給出了裂尖A 的XFEM 仿真結(jié)果及相應(yīng)的參考解[23]，括號內(nèi)是相對誤差，可以看出隨著網(wǎng)格的加密，XFEM 解逐漸趨于參考解，很好地展示了該方法的收斂性.

圖6 XFEM 網(wǎng)格：(a) 120 個單元； (b) 435 個單元； (c) 780 個單元； (d) 1 540 個單元Fig. 6 XFEM meshes: (a) 120 elements; (b) 435 elements; (c) 780 elements; (d) 1 540 elements

表1 不同網(wǎng)格下的 KI(單位：MPa·m1/2)Table 1 K I for different meshes (unit: MPa·m1/2)

5.1.2 GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練和預(yù)測結(jié)果

1) 網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練

網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)為XFEM 模擬得到的測點(diǎn)位移值，輸出數(shù)據(jù)為裂尖A 的X坐標(biāo)（即XA）.XFEM 仿真時采用圖6(c)的網(wǎng)格對裂紋長度取0.5 m，0.6 m，0.7 m，···，1.4 m 等10 種情況進(jìn)行模擬.首先按圖7(a)的方式布置14 個測點(diǎn)，各測點(diǎn)的坐標(biāo)值列于表2.據(jù)此，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層、隱藏層和輸出層的神經(jīng)元個數(shù)分別取為14，4 和1；此外，GA 中種群的最大迭代次數(shù)為50，種群規(guī)模為20，種群的交叉概率為0.5，變異概率為0.1.為驗證GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的可靠性，采用訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行裂尖坐標(biāo)預(yù)測，相關(guān)結(jié)果見表3，可以看出，對給定的10 種裂紋構(gòu)型，該網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度都很高.

表2 測點(diǎn)坐標(biāo)Table 2 Coordinates of measuring points

表3 GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對XA 的訓(xùn)練輸出結(jié)果Table 3 Training results of the GA-BP neural network for XA

2) 網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度

裂紋長度先后取0.5 m，0.6 m，0.7 m，···，1.4 m，1.5 m 等11 種情況，對每種情形，分別基于XFEM 并按圖7所示的6 種測點(diǎn)布置方案獲取對應(yīng)的位移值.網(wǎng)絡(luò)搭建時，采用a=0.5 m，0.6 m，0.7 m，···，1.4 m 等10 種情形對應(yīng)的結(jié)果作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，并分別基于搭建好的GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和傳統(tǒng)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)相同）預(yù)測裂尖的坐標(biāo)值，即將a=1.5 m 時的測點(diǎn)位移值作為網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)以預(yù)測XA.相關(guān)結(jié)果列于表4.可以看出，GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的最大相對誤差為2.16%，而傳統(tǒng)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的最大相對誤差為6.51%，且同等情況下GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測精度大體上高于傳統(tǒng)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，很好地展示了本文方法的優(yōu)越性.此外，從表4 還可以看出，在6 個測點(diǎn)布置方案中，傳統(tǒng)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測時方案2 的效果最佳，而GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測時方案3 和方案5 的效果最佳.在GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的情況下，可發(fā)現(xiàn)方案1 勝于方案2，方案3 勝于方案4，方案5 勝于方案6，由此可見，矩形板上邊緣的測點(diǎn)有利于結(jié)構(gòu)內(nèi)部裂紋的檢測識別，這主要是因為板頂部距有位移約束的板底較遠(yuǎn)，其上各點(diǎn)的變形對裂紋構(gòu)型變化的敏感度更大.

表4 BP 與GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的XA 值Table 4 Prediction of XA by BP and GA-BP neural networks

為了測試GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，進(jìn)一步對由XFEM 模擬獲得的輸入數(shù)據(jù)添加噪聲，即

其中，uinput為 GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)（即輸入的測點(diǎn)位移值），uXFEM為XFEM 正向分析獲得的測點(diǎn)位移值， δ為噪聲的大?。ò俜直龋?

圖8 給出了 δ分別取1%，2%，5%和10%時XA預(yù)測的相對誤差絕對值隨噪聲值的變化情況（測點(diǎn)按圖7方案5 布置，隱藏層神經(jīng)元數(shù)量取3）.可以看出，隨著噪聲值的增加，裂尖位置預(yù)測的相對誤差逐漸增大.此外，還可發(fā)現(xiàn)當(dāng)噪聲強(qiáng)度等級不超過10%時，XA預(yù)測的相對誤差均小于1%，表明搭建的GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較好的容噪性和魯棒性.

圖7 測點(diǎn)布置方案：(a) 方案1，14 個測點(diǎn)； (b) 方案2，12 個測點(diǎn)； (c) 方案3，10 個測點(diǎn)；(d) 方案4，8 個測點(diǎn)；(e) 方案5，6 個測點(diǎn)； (f) 方案6，4 個測點(diǎn)Fig. 7 Layouts of measuring points: (a) scheme 1, 14 points; (b) scheme 2, 12 points; (c) scheme 3, 10 points;(d) scheme 4, 8 points; (e) scheme 5, 6 points; (f) scheme 6, 4 points

圖8 不同噪聲下XA 預(yù)測的相對誤差絕對值Fig. 8 Absolute values of relative errors of predicted XA under various noises

5.2 方板中的內(nèi)嵌雙斜裂紋識別

如圖9 所示，方板邊長L=2 m，兩條裂紋的長度均為a（單位 m），裂紋與水平方向夾角均為 β =45°，裂紋中心點(diǎn)至板左右兩側(cè)的距離b=0.7 m，其他條件與5.1 小節(jié)相同.

圖9 單向拉伸荷載作用下含雙斜裂紋的方板Fig. 9 A square plate with two inclined cracks under uniaxial tension

5.2.1 GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練和預(yù)測結(jié)果

1) 網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練

網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)仍采用XFEM 模擬得到的測點(diǎn)位移值，輸出數(shù)據(jù)為裂尖A、B、C、D 的坐標(biāo)，即(XA,YA)、(XB,YB)、(XC,YC)和(XD,YD).XFEM 仿真時采用圖10 的網(wǎng)格，裂紋長度先后取0.500 m，0.528 m，0.556 m，0.585 m，0.613 m，0.641 m，0.670 m 和0.698 m，12 個測點(diǎn)的布置如圖10 所示.據(jù)此，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層、隱藏層和輸出層的神經(jīng)元個數(shù)分別取為12，4 和4；GA 中種群的最大迭代次數(shù)為50，種群規(guī)模為20，種群的交叉概率為0.5，變異概率為0.1.為驗證網(wǎng)絡(luò)的可靠性，采用訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行裂尖坐標(biāo)預(yù)測，相關(guān)結(jié)果見表5 ～ 8.可以看出，對給定的8 種裂紋尺寸，該網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度都很高.

表5 GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對裂尖A 坐標(biāo)的訓(xùn)練值Table 5 Training coordinates of crack tip A by the GA-BP neural network

圖10 XFEM 網(wǎng)格和測點(diǎn)布置 (a=0.5 m)Fig. 10 The XFEM mesh and measuring points (a=0.5 m)

2) 網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度

基于已經(jīng)搭建好的GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和傳統(tǒng)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，將a=0.726 m，0.755 m 和0.783 m 時由XFEM得到的測點(diǎn)位移作為輸入數(shù)據(jù)，分別預(yù)測各裂尖的坐標(biāo)值，相應(yīng)的結(jié)果見表9 和10.可以看出，除個別情況（a=0.783 m 時的YC）傳統(tǒng)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度稍高外，GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值均更吻合，可見本文搭建的GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)較傳統(tǒng)的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)總體上擬合度更高、誤差更小、更有利于結(jié)構(gòu)內(nèi)部裂紋的定位識別.

表6 GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對裂尖B 坐標(biāo)的訓(xùn)練值Table 6 Training coordinates of crack tip B by the GA-BP neural network

表7 GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對裂尖C 坐標(biāo)的訓(xùn)練值Table 7 Training coordinates of crack tip C by the GA-BP neural network

表8 GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對裂尖D 坐標(biāo)的訓(xùn)練值Table 8 Training coordinates of crack tip D by the GA-BP neural network

表9 BP 與GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對裂尖A、B 的預(yù)測值Table 9 Prediction of crack tips A and B by BP and GA-BP neural networks

表10 BP 與GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對裂尖C、D 的預(yù)測值Table 10 Prediction of crack tips C and D by BP and GA-BP neural networks

為進(jìn)一步測試網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，仍然對輸入數(shù)據(jù)添加噪聲.真實(shí)裂紋長度依次取0.726 m，0.755 m 和0.783 m，圖11 和12 給出了噪聲值依次取1%，2%，5%和10%時4 個裂尖坐標(biāo)相對誤差的絕對值.可以看出，隨著噪聲強(qiáng)度等級的增加網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的相對誤差也逐漸增大.此外，在同一裂紋長度和同一噪聲值下，裂尖A 的誤差大都大于裂尖B，XC的誤差也基本大于XD，而YC的誤差則小于YD.當(dāng)噪聲強(qiáng)度不超過5%時，預(yù)測結(jié)果的誤差均在10%以內(nèi)且絕大部分小于5%，當(dāng)噪聲強(qiáng)度為10%時，絕大部分誤差在8%以內(nèi)，表明搭建的網(wǎng)絡(luò)具有較好的魯棒性.此外，由圖12 可以看出，對于三種裂紋長度，YD的預(yù)測誤差均明顯大于其他情況，這主要與裂尖D 的位置和測點(diǎn)分布有關(guān)，由于該裂尖靠近板底部，而板底部所有點(diǎn)的Y向位移均為零，致使該裂尖附近區(qū)域點(diǎn)（含部分測點(diǎn)）的縱向位移對外載和裂紋長度變化的響應(yīng)不明顯，從而導(dǎo)致預(yù)測精度的退化.此外，還可以看出4 個裂尖的X坐標(biāo)的預(yù)測精度總體較Y坐標(biāo)的更高，這主要與整塊板僅左下角點(diǎn)處存在水平位移約束有關(guān)；而對裂尖D，由于其距水平約束點(diǎn)最遠(yuǎn)，相較于其他裂尖，D 點(diǎn)附近區(qū)域點(diǎn)的水平位移受該約束的影響最小，進(jìn)而使得相關(guān)的響應(yīng)對裂紋構(gòu)型的變化更敏感，因而XD的預(yù)測精度整體來說較其他裂尖的對應(yīng)值更高.

圖11 不同噪聲下，XA，XB，XC 和XD 預(yù)測值的相對誤差絕對值Fig. 11 Absolute values of relative errors of predicted XA, XB, XC and XD under different noises

圖12 不同噪聲下，YA，YB，YC 和YD 預(yù)測值的相對誤差絕對值Fig. 12 Absolute values of relative errors of predicted YA, YB, YC and YD under different noises

6 結(jié) 論

通過在標(biāo)準(zhǔn)有限元的框架內(nèi)引入裂面和裂尖改進(jìn)函數(shù)，XFEM 可使用固定網(wǎng)格對不斷變化的裂紋構(gòu)型進(jìn)行高精度模擬.GA 是一種獨(dú)立于求解域且具有較強(qiáng)魯棒性的全局性概率搜索方法，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化算法則具有較強(qiáng)的非線性映射能力和局部搜索能力.本文結(jié)合了三者的優(yōu)點(diǎn)，基于XFEM 獲取網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，利用GA 對BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值進(jìn)行優(yōu)化，建立了用于結(jié)構(gòu)內(nèi)部直線裂紋反演分析的XFEM 與GABP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法.在給出XFEM、GA 和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本原理的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)闡述了GA 優(yōu)化BP 的結(jié)合策略和計算過程，最后通過兩個典型算例對其精度和魯棒性等進(jìn)行了驗證，并探討了網(wǎng)格密度、測點(diǎn)布置和輸入數(shù)據(jù)噪聲等因素對精度的影響.結(jié)果表明，XFEM 正向分析的精度、GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的裂紋識別精度及魯棒性均較好.另外，與傳統(tǒng)的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對比，本文搭建的GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度普遍更高.

需要說明的是，本文基于經(jīng)典的線彈性斷裂力學(xué)模型開展分析，選用了較簡單的裂紋構(gòu)型（如單直線和雙直線裂紋等）進(jìn)行反演分析.但就方法本身而言，本文的工作可以推廣至更復(fù)雜的如多裂紋、分支、交叉和曲線裂紋等的預(yù)測工作中.在現(xiàn)有工作的基礎(chǔ)上，后期我們將進(jìn)一步圍繞更復(fù)雜更貼合實(shí)際的裂紋開展更深入的研究工作.

參考文獻(xiàn)（ References ） ：

［1］KWAN A K H, MA F J. Crack width analysis of reinforced concrete under direct tension by finite element method and crack queuing algorithm[J].Engineering Structures, 2016, 126（1）: 618-627.

［2］XIE G Z, ZHOU F L, LI H, et al. A family of non-conforming crack front elements of quadrilateral and triangular types for 3D crack problems using the boundary element method[J].Frontiers of Mechanical Engineering,2019, 14（3）: 332-341.

［3］ 李錄賢, 王鐵軍. 擴(kuò)展有限元法(XFEM)及其應(yīng)用[J]. 力學(xué)進(jìn)展, 2005, 35（1）: 5-20. （LI Luxian, WANG Tiejun. The extended finite element method and its application: a review[J].Advances in Mechanics, 2005, 35（1）: 5-20.（in Chinese））

［4］ 王振, 余天堂. 模擬三維裂紋問題的自適應(yīng)多尺度擴(kuò)展有限元法[J]. 工程力學(xué), 2016, 33（1）: 32-38. （WANG Zhen,YU Tiantang. Adaptive multiscale extended finite element method for simulating three-dimensional crack problems[J].Engineering Mechanics, 2016, 33（1）: 32-38.（in Chinese））

［5］XIAO G Z, WEN L F, TIAN R. Arbitrary 3D crack propagation with improved XFEM: accurate and efficient crack geometries[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2021, 377: 113659.

［6］LI Y M, XIA Y D, XIE D L, et al. Application of artificial bee colony algorithm for particle size distribution measurement of suspended sediment based on focused ultrasonic sensor[J].Transactions of the Institute of Measurement and Control, 2021, 43（7）: 1680-1690.

［7］ALHADDAD W, HALABI Y, MEREE H, et al. Optimum design method for simplified model of outrigger and ladder systems in tall buildings using genetic algorithm[J].Structures, 2020, 28: 2467-2487.

［8］MOLDOVANU S, OBREJA C-D, BISWAS K C, et al. Towards accurate diagnosis of skin lesions using feedforward back propagation neural networks[J].Diagnostics(Basel), 2021, 11（6）: 936.

［9］ 王佳萍, 杜成斌, 王翔, 等. 基于XFEM和改進(jìn)人工蜂群算法的結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷反演[J]. 工程力學(xué), 2019, 36（9）: 25-31.（WANG Jiaping, DU Chengbin, WANG Xiang, et al. Inverse analysis of internal defects in structures using extended finite element method and improved artificial bee colony algorithm[J].Engineering Mechanics, 2019,36（9）: 25-31.（in Chinese））

［10］DU C, ZHAO W, JIANG S, et al. Dynamic XFEM-based detection of multiple flaws using an improved artificial bee colony algorithm[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2020, 365: 112995.

［11］RABINOVICH D, GIVOLI D, VIGDERGAUZ S. XFEM-based crack detection scheme using a genetic algorithm[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2007, 71（9）: 1051-1080.

［12］CHATZI E N, HIRIYUR B, WAISMAN H, et al. Experimental application and enhancement of the XFEM-GA algorithm for the detection of flaws in structures[J].Computers and Structures, 2010, 89（7）: 556-570.

［13］ 王佳萍, 杜成斌, 江守燕. 擴(kuò)展有限元與遺傳算法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)缺陷反演分析[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 2017, 39（6）: 591-596.（WANG Jiaping, DU Chengbin, JIANG Shouyan. Analysis of structural defect inversion based on extended finite element and genetic algorithm[J].Mechanics in Engineering, 2017, 39（6）: 591-596.（in Chinese））

［14］ 孟建軍, 孟高陽, 李德倉. 基于SA-GA混合算法的動車組車輛輪重分配優(yōu)化[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2021, 42（4）: 363-372. （MENG Jianjun, MENG Gaoyang, LI Decang. Optimization of wheel weight distribution for EMU vehicles based on the SA-GA hybrid algorithm[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2021, 42（4）: 363-372.（in Chinese））

［15］WANG H Y, ZHANG Z X, LIU L M. Prediction and fitting of weld morphology of Al alloy-CFRP welding-rivet hybrid bonding joint based on GA-BP neural network[J].Journal of Manufacturing Processes, 2021, 63: 109-120.

［16］WANG Z W, FEI Y, YE P X, et al. Crack characterization in ferromagnetic steels by pulsed eddy current technique based on GA-BP neural network model[J].Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2020, 500:166412.

［17］ 江守燕, 杜成斌. 基于擴(kuò)展有限元的結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷(夾雜)的反演分析模型[J]. 力學(xué)學(xué)報, 2015, 47（6）: 1037-1045. （JIANG Shouyan, DU Chengbin. Numerical model for identification of internal defect or inclusion based on extended finite elememt methods[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2015, 47（6）: 1037-1045.（in Chinese））

［18］ 張慧華. 典型不連續(xù)固體力學(xué)問題的數(shù)值求解[D]. 博士學(xué)位論文. 西安: 西安交通大學(xué), 2009. （ZHANG Huihua.Numerical solutions to typical discontinuous problems in solid mechanics[D]. PhD Thesis. Xi’an: Xi’an Jiaotong University, 2009. （in Chinese））

［19］ 茹忠亮, 朱傳銳, 張友良, 等. 斷裂問題的擴(kuò)展有限元法研究[J]. 巖土力學(xué), 2011, 32（7）: 2171-2176. （RU Zhongliang, ZHU Chuanrui, ZHANG Youliang, et al. Study of fracture problem with extended finite element method[J].Rock and Soil Mechanics, 2011, 32（7）: 2171-2176.（in Chinese））

［20］ 冉雨晴, 吳瑋, 狄鑫. 基于遺傳算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的管網(wǎng)漏失定位模型研究[J]. 水電能源科學(xué), 2021, 39（5）: 123-126. （RAN Yuqing, WU Wei, DI Xin. Study on leakage location model of water supply network based on bp neural network optimized by genetic algorithm[J].Water Resources and Power, 2021, 39（5）: 123-126.（in Chinese））

［21］HOLLAND J H.Adaptation in Natural and Artificial Systems: an Introductory Analysis With Applications to Biology, Control, and Artificial Intelligence[M]. Cambridge : The MIT Press, 1992.

［22］WANG X, AN S, XU Y Q, et al. A back propagation neural network model optimized by mind evolutionary algorithm for estimating Cd, Cr, and Pb concentrations in soils using vis-NIR diffuse reflectance spectroscopy[J].Applied Sciences, 2020, 10（1）: 51.

［23］ 中國航空研究院. 應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊[M]. 增訂版. 北京: 科學(xué)出版社, 1993. （Chinese Aeronautical Establishment.Stress Intensity Factor Manual[M]. revised and enlarged ed. Beijing: Science Press, 1993. （in Chinese））