李春燕，謝祥云，趙云平

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

1 引言與預(yù)備知識(shí)

1962 年，Wallace 在半群上首次引入相對(duì)理想(H-理想)的概念[1]，并繼續(xù)在1963 年發(fā)文研究相對(duì)理想的拓?fù)湫再|(zhì)[2].1967 年，Hrmova 進(jìn)一步研究了相對(duì)理想的性質(zhì)，并引入關(guān)于相對(duì)理想的格林關(guān)系[3].2020 年Khan 等將相對(duì)理想的概念進(jìn)一步推廣到序半群上，研究了序半群上理想、素理想、雙理想以及擬理想的性質(zhì)以及相對(duì)理想對(duì)半群的刻畫[4-5].Szasz 首先在半群中提出素理想和弱素理想的概念后[6]，關(guān)于素、半素以及弱素理想的結(jié)論被許多學(xué)者引用和推廣.1990 年，Kehayopulu 研究了序半群上的弱素理想的一些性質(zhì)[7]，并在1992 年進(jìn)一步研究了序半群中素和弱素理想的一些性質(zhì)[8].

1934年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Marty在研究幾何問(wèn)題時(shí)提出了超結(jié)構(gòu)[9]的概念，作為經(jīng)典代數(shù)結(jié)構(gòu)的泛化，在超結(jié)構(gòu)中兩個(gè)元素的超運(yùn)算是一個(gè)集合.1999年以來(lái)，伊朗數(shù)學(xué)家Davvaz等一大批學(xué)者在超半群的基本理論的建立，如超半群上的正則二元關(guān)系、超半群的超理想[10-13]、超半群上的同余[14-18]等做了大量的基礎(chǔ)工作.

本文將半群上的相對(duì)理想概念推廣到了序超半群，在文獻(xiàn)[19]給出了相對(duì)超理想的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究?jī)绲?、極大與極小相對(duì)超理想的性質(zhì)；引入序超半群上相對(duì)素超理想、半素超理想的概念；并給出它們的刻畫.

設(shè)S是非空集，P*(S)是S的非空冪集，映射S×S→P*（S）稱為S上的一個(gè)超運(yùn)算，帶有一個(gè)超運(yùn)算的集合（S,?）稱為一個(gè)超群胚.若超群胚（S,?）滿足：

文中提及但未作介紹的概念和性質(zhì)參照文獻(xiàn)[10、12、19].在下文中，有時(shí)將序超半群(S,?,≤)簡(jiǎn)單記為S.運(yùn)算符號(hào)“?”在不至于混淆情況下可省略.

定義1[19]令A(yù)和T為序超半群S的任意非空子集，集合(A]T:={t∈T|t≤a,a∈A},(A]:= {t∈S|t≤a,a∈A}，分別稱為A相對(duì)于T的下凸集和A的下凸集.

定義2[19]設(shè)S為一個(gè)序超半群，A,T為S的任意非空子集.A稱為S的右T-超理想，如果A?T?A且對(duì)于x∈T,y∈A，滿足x≤y.類似可定義S的左T-超理想.A稱為S的T-超理想，如果它既是S的左T-超理想，又是S的右T-超理想.如果T=S，那么S的左T-超理想（右T-超理想，T-超理想）和S的左超理想（右超理想，超理想）一致.左T-超理想（右T-超理想，T-超理想）實(shí)際上也稱為相對(duì)于子集T的S的左超理想（右超理想，超理想）.

2 相對(duì)超理想

3 相對(duì)素超理想

定義7設(shè)S為一個(gè)序超半群，H1,H2,A,B為S的非空子集，T為S的（H1,H2）-超理想.T稱為S的（H1,H2）-素超理想，如果A,B?H1∪H2,A?B?T?A?T或B?T.當(dāng)H1=H2=H時(shí)，我們稱T稱為S的一個(gè)H-素超理想.

定義8設(shè)S為一個(gè)序超半群，H1,H2為S的非空子集，A,B,T為S的（H1,H2）-超理想，T稱為S的（H1,H2）-弱素超理想，如果A,B?H1∪H2,A?B?T?A?T或B?T.當(dāng)H1=H2=H時(shí)，我們稱T為S的一個(gè)H-弱素超理想.

定義9設(shè)S為一個(gè)序超半群，H1,H2為S的子集，A,T為S的（H1,H2）-超理想，T稱為S的（H1,H2）-半素超理想，如果A?H1∪H2,A?A?T?A?T；當(dāng)H1=H2=H時(shí)，我們稱T為S的一個(gè)H-半素超理想.

下文中，用I p（H），I p（H1,H2）分別表示S的H-素超理想和（H1,H2）-素超理想的集合.

定理4設(shè)S為一個(gè)序超半群，H為S的子超半群，T是S的H-超理想，T?H.那么下列條件等價(jià)：

由2）有，a∈T或b∈T.

3）?4）.設(shè)A,B是S的右H-超理想.A?B?T.如果A?T，那么，對(duì)任意b∈B，存在a∈A,a?T，由A為S的右H-超理想，有

由3），因?yàn)閍∈I R(a)，有I R(a)?T，那么，I R(b)?T.因此，b∈T，B?T.

3）?5）.證明和上列證明類似.

3）?6）.如果A是S的一個(gè)右H-超理想，B是S的一個(gè)左H-超理想，使得A?B?T.如果A?T，那么，對(duì)任意b∈B，存在a∈A,a?T，由3）有

容易證明4）推出1）、5）推出1）、6）推1）.

由定理4，有下列推論.

定理 5設(shè)S是序超半群，H是S的子超半群.S的H-超理想T是H-素的當(dāng)且僅當(dāng)T既是H-半素又是H-弱素.當(dāng)S是交換超序半群時(shí)，H-半素與H-弱素一致.

證明必要性顯然.

充分性.設(shè)T既是H-半素又是H-弱素，其中T是S的H-超理想.令a,b∈H且a?b?T，則

定理6設(shè)S是一個(gè)序超半群，H是S的子超半群.S中包含于H的H-超理想是H-弱素當(dāng)且僅當(dāng)它們構(gòu)成一條鏈，且定理1 的五條等價(jià)條件之一成立.