白 龍，劉佳偉

（北京信息科技大學機電工程學院，北京 100192）

近3年來，新冠疫情給人們的生產(chǎn)生活帶來了諸多不便，小區(qū)封閉使快遞無法利用人力送貨上門。因此，國內大型的物流企業(yè)如京東、美團等都開發(fā)了各自的物流機器人。這些物流機器人以輪式機器人為主，能夠在結構化地面上實現(xiàn)貨物的轉運，而對于一些非結構化路面如溝坎樓梯等，輪式機器人就難以被應用。因此，開發(fā)一款對地形適應性更強的足式機器人對于解決此類問題尤為重要。

目前，足式機器人大體分為仿人型雙足機器人、仿哺乳動物4 足機器人及仿爬蟲的6 足和8 足機器人等［1］。相比較而言，4 足機器人比雙足機器人具有更好的穩(wěn)定性，比6 足、8 足機器人結構更簡單，控制更易實現(xiàn)，在多種場景中具有廣闊的應用前景［2］。

經(jīng)過多年發(fā)展，4 足機器人研究領域已經(jīng)取得了豐碩的成果。國外比較有代表性的如BigDog［3-4］、LittleDog［5］、Cheetah［6］、TAITANXIII［7］、MiniHyQ［8］、ANYmal［9］等，這些4 足機器人腿部多采用關節(jié)型構型并在關節(jié)處搭配驅動器的設計。國內山東大學的SCalf［10］、浙江大學的“赤兔”［11］、北京交通大學的DCat［12］、云深處科技公司的“絕影”［13］等4足機器人也都采用了關節(jié)型腿部結構進行設計。上海交通大學的“小象”［14］則采用了連桿型的結構對腿部進行設計。綜上可知，目前4 足機器人腿部構型主要有關節(jié)型和連桿型2 種［15］。關節(jié)型腿部構型中驅動器需安裝在關節(jié)位置處，結構設計簡單，控制容易，但會導致腿的質量增加，能耗上升。連桿型腿部構型中驅動器可安裝在非關節(jié)位置處，連桿傳遞動力使腿部結構簡化。通過設計連桿可將電機連續(xù)轉動轉為腿的擺動，避免電機換向沖擊導致額外能量損耗，提高能量利用率。

針對現(xiàn)有電機驅動的4 足機器人控制較復雜、腿部慣量較大、頻繁換向的問題，提出一種基于曲柄搖桿機構和平行四邊形機構復合的腿結構，降低了控制復雜度與腿的質量。通過對比不同桿長條件下腿的運動學關系，確定了較為合理的連桿尺寸。對此種機器人腿部結構進行了運動學建模，并進行了仿真驗證。為后續(xù)進行軌跡規(guī)劃、驅動參數(shù)設計奠定了基礎。

1 4足機器人的結構設計

連桿機構運動形式豐富，可以實現(xiàn)平面或空間中多種運動軌跡。構件之間采用低副連接，具有承載能力強、可靠性高、加工成本低等特點。參考曲柄搖桿機構運動特點，曲柄整周轉動時搖桿擺動固定角度，此特性與電機連續(xù)轉動轉為腿部擺動需求相似。將曲柄作為與電機連接的主動件，搖桿即可作為機器人的腿部實現(xiàn)擺動的功能?？紤]到單自由度腿的足端軌跡過于簡易，機器人在復雜環(huán)境運動適應性較差的問題，兩自由度腿的足端比單自由度的能生成更多的運動軌跡，在合理的尺寸配置下，能產(chǎn)生較平滑的足端軌跡。為實現(xiàn)兩自由度的腿結構，采用曲柄搖桿機構與平行四邊形機構復合的方式。由四邊形的一個長邊作為大腿，一側短邊與搖桿機構固聯(lián)為一個整體，另一側短邊延長作為小腿。

腿部的機構如圖1所示，其中AB為曲柄，BC為連桿，CD為搖桿，ABCD構成曲柄搖桿機構，DE為大腿，HEF為小腿，DEHG構成平行四邊形機構。桿CD與DG為同一構件，曲柄搖桿機構與平行四邊形機構在D點復合，A、D為機架在同一水平線上。電機驅動曲柄AB進行整周轉動時，桿CDG在一定的角度內擺動，在桿組DEHG的作用下桿HEF與桿DG有相同的運動規(guī)律，實現(xiàn)小腿的擺動運動。DE桿作為主動桿在電機的驅動下進行擺動，為腿提供一個額外的自由度。足端F的擺動范圍能夠通過調節(jié)各個桿件的桿長與桿CD與DG之間的夾角實現(xiàn)，并且通過調節(jié)桿長即可實現(xiàn)豐富的足端運動軌跡。

圖1 腿機構Fig.1 Schematic diagram of the leg mechanism

2 運動學分析及驗證

2.1 正運動學分析

圖2展示了機器人腿部的坐標系建立情況。連接CG、GM，構件輔助三角形CDG與GMD，在A、D兩點間建立絕對坐標系｛O0｝，D點在絕對坐標系中的位置為（x1y1z1）。各個轉動副的轉軸作為坐標系的Z軸方向，建立局部坐標系｛Oi｝，θ1、θ3～θ6表示桿件與水平方向的夾角，θ2表示桿DE與桿EF之間的夾角，θ7為桿DG與豎直方向的夾角，所有桿件長度為已知。首先對4 桿機構進行運動學分析，得到關于搖桿的運動學關系后，利用齊次坐標變換的方法對足端運動學進行分析。

圖2 腿部坐標系Fig.2 Leg coordinate system

4桿機構的封閉矢量方程：

式中：LAD1為A、D兩點水平方向的距離；LAD2為A、D兩點豎直方向的距離；θ4為電機驅動的曲柄與水平方向的夾角，角度已知。

對式（1）進行平方求和再化簡可得連桿與水平方向夾角θ5：

將式（2）代入4 桿機構的封閉矢量方程中，可以求解連桿與水平方向的夾角θ6：

由圖2中的角關系，可以計算DG桿與豎直方向的夾角θ7和小腿相對于大腿轉動的角度θ2：

在已知腿部桿長LDE、LEF，關節(jié)轉角θ1、θ2以及D點坐標（x1y1z1），即可通過齊次坐標變換進行正運動學分析列寫出腿的位姿表達式：

式中：c為cos函數(shù)；s為sin函數(shù)。

為驗證公式的正確性，參考機構簡圖建立單腿模型，使用ADAMS 軟件對4 桿機構進行運動學仿真分析，能夠得到相應桿件的運動曲線。將得到的曲線與數(shù)值計算的結果利用Matlab 進行對比運動學分析驗證。由式（6）可以得到4 桿機構中連桿、搖桿與水平方向夾角θ5、θ6隨時間變化的曲線和膝關節(jié)處夾角θ2的曲線圖。Adams 的仿真曲線可以對單腿三維模型的曲柄施加驅動，通過測量關節(jié)的轉角獲得。對比結果如圖3所示。

圖3 各連桿角度的變化曲線Fig.3 The curves of the angles of the connecting rods

在角度計算分析驗證的基礎上，將計算與仿真的足端運動軌跡結果對比，如圖4所示。

圖4 足端運動軌跡投影Fig.4 Foot trajectory projection

上述連桿角度的對比結果和足端軌跡的對比結果驗證了正運動學分析的正確性。

2.2 逆運動學分析

已知髖關節(jié)位置Od=（x1y1z1）T以及足端位置Of=（x3y3z3）T，求解大腿、小腿關節(jié)旋轉角度θ1、θ2。假設：

使03T=01T·12T·23T兩側同時乘以01T-1，得

式中：01T為正交矩陣所以。01T-1=01TT，將12T和23T代入可得

于是有

對式（10）進行平方求和再化簡可得大腿與水平方向的夾角θ1：

將θ1結果代入式（10），可得小腿相對大腿夾角θ2：

式中：D=(x3-x1-LDEcθ4)/LEF

根據(jù)圖2中的角關系可以得

將θ6代入式（1）中可得

將式（15）代入帶回式（1）中可得

逆運動學分析由已知的髖關節(jié)、足端坐標進行計算可以得到大腿小腿在當前位置對應的關節(jié)角度。在數(shù)值計算與仿真中確定相同的足端初始位置，并且由初始位置開始向x軸正方向水平移動，分別得到大腿和小腿關節(jié)角度變化曲線，對比結果如圖5所示。

圖5 大腿和小腿關節(jié)角度隨足端位置變化曲線Fig.5 Thigh and calf joint angles vary with foot position

由圖5驗證了逆運動學分析的正確性，可以得到不同足端位置時大腿、小腿關節(jié)所需的驅動角度，為后續(xù)驅動函數(shù)建立奠定了基礎。

3 尺寸優(yōu)化

以上完成了機器人腿部的正逆運動學分析，但是由于4 桿機構存在急回特性以及搖桿在運動過程中存在速度波動，所以還需要對腿部的機構尺寸進行優(yōu)化，盡量減小這些問題對機器人腿部運動產(chǎn)生的影響。整機模型設計需要以4 桿腿結構為基礎，盡可能使機器人腿部小型化輕便化，使其在復雜環(huán)境中具有較高的靈巧性。A、D兩點作為機架連接點與機器人的軀干直接連接，兩個機架連接點之間要為驅動電機以及控制器的安裝預留出一定的空間。綜合第一代樣機模型以及設計需求，腿部兩個機架連接點上的距離為100 mm。

曲柄搖桿機構存在無急回特性的充分必要條件是曲柄、機架長度的平方和與連桿、搖桿長度的平方和相等。在機架長度確定情況下，根據(jù)后期樣機設計及裝配所需要的合理桿長選定其他桿件的尺寸范圍，曲柄長30～40 mm，連桿長30～90 mm，搖桿長度30～90 mm。使用Matlab軟件對數(shù)值進行篩選，可以得到8組滿足無急回特性的桿長數(shù)值，見表1。

表1 符合曲柄搖桿機構無急回特性的桿長條件Tab.1 It conforms to the rod length condition of crank and rocker mechanism without quick returnmm

分別對8 組數(shù)據(jù)進行計算，選擇兩個桿長作為定量，一個桿長作為變量，分析不同桿長條件下對小腿角速度以及角加速度的影響。

首先固定連桿與搖桿的尺寸，將曲柄尺寸作為變量進行計算，繪制小腿的運動曲線，如圖6所示。由圖6可知，當曲柄L1尺寸越小時，小腿的角速度和角加速度就越小，對腿部的運動就越有利。

圖6 曲柄尺寸變化對小腿運動的影響Fig.6 Influence of crank size change on calf movement

連桿尺寸L2作為變量時的運動曲線如圖7所示。連桿尺寸增大時會導致小腿擺動的角速度和角加速度的變化范圍更大，所以連桿尺寸應越小越好。

圖7 連桿尺寸變化對小腿運動的影響Fig.7 Influence of linkage size change on calf movement

由搖桿尺寸L3作為變量時的運動曲線如圖8所示。由圖8可知，搖桿尺寸越長，小腿轉動的角速度和角加速度曲線幅值變化范圍就越小。

圖8 搖桿尺寸變化對小腿加速度的影響Fig.8 Influence of rocker size change on leg acceleration

平行四邊形機構中兩短邊分別與搖桿和小腿相連接，三者具有相同的運動學曲線。長邊作為機器人的大腿，具有一個獨立的自由度。將3 種不同的大腿長度進行了對比，如圖9所示。坐標原點代表大腿關節(jié)的固定點，從上至下3 個網(wǎng)格分別代表3種不同的大腿尺寸，第1 層網(wǎng)格150 mm，第2 層網(wǎng)格175 mm，第3 層網(wǎng)格200 mm，小腿尺寸均相同，在關節(jié)轉角和小腿尺寸相同的條件下，大腿長度越長，足端軌跡畫出的點陣面積越大，說明腿部擁有較好的運動性能。

圖9 不同大腿尺寸工作空間對比Fig.9 Comparison of workspace with different thigh sizes

綜上所述，曲柄搖桿機構中，在曲柄和連桿的尺寸應盡量小，搖桿尺寸盡量大的條件下，消除4桿機構對機器人運動的不利影響效果最好。依照這一原則在滿足曲柄搖桿機構無急回特性的數(shù)據(jù)中，第1 組數(shù)據(jù)尺寸是較為合理的。平行四邊形的長邊尺寸（即大腿桿長度）與足端的越障能力有直接關系，大腿越長機器人足端的工作空間越大，所以大腿尺寸應在滿足結構合理的條件下盡可能大。

4 結語

本文設計了一種由4 桿機構傳遞動力的機器人腿部方案，實現(xiàn)了電機連續(xù)轉動驅動腿部擺動的設想。通過對單腿模型進行運動學建模，同時通過齊次坐標變換對足端的位置和姿態(tài)進行了計算。在已知足端軌跡的情況下對腿部進行逆運動學分析，獲得了大腿及小腿關節(jié)角度的變化曲線。同時通過建立模型進行運動學仿真分析，驗證了運動學分析的正確性，為后續(xù)足端軌跡規(guī)劃提供參考。通過分析可知機器人越障能力與大腿尺寸有關，大腿越長，機器人的越障能力越好。當曲柄尺寸較小、連桿與搖桿尺寸較大時4 桿機構的速度波動最小，能有效減小對腿部運動的影響。后續(xù)工作將會對足端軌跡進行規(guī)劃，完成驅動函數(shù)的設計。依據(jù)本文運動學分析和尺寸優(yōu)化的數(shù)據(jù)進行虛擬樣機仿真分析，并搭建試驗樣機完成相應的測試。