張路娟，郭良棟

（遼寧科技大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

在實(shí)際生活中，事物的變化趨勢(shì)不僅取決于當(dāng)前和未來的狀態(tài)，也會(huì)取決于過去的狀態(tài)，這種現(xiàn)象被稱為“時(shí)滯”。時(shí)滯現(xiàn)象廣泛存在于各種系統(tǒng)中，如生物系統(tǒng)［1］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)［2］、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)［3］、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)［4］等。時(shí)滯的存在不僅影響系統(tǒng)的性能，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。因此，時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析以及控制問題成為控制工程領(lǐng)域中的一個(gè)熱點(diǎn)問題。

對(duì)于單時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)，Lyapunov-Krasovskii（L-K）方法是常用的一種尋找系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù)的方法。為了降低判據(jù)的保守性，學(xué)者們提出了眾多不等式和方法，如Jensen不等式［5］、倒數(shù)凸不等式［6］、自由加權(quán)矩陣法［7］和時(shí)滯分解法［8］等。

在狀態(tài)反饋網(wǎng)絡(luò)控制中，由于物理設(shè)備、控制器、傳感器和執(zhí)行器位于不同的位置，會(huì)存在兩種由網(wǎng)絡(luò)引起的時(shí)間延遲，一種是從傳感器到控制器，另一種是從控制器到執(zhí)行器。閉環(huán)系統(tǒng)中出現(xiàn)的這兩個(gè)時(shí)滯，由于信號(hào)傳輸條件的不同而具有不同的特性，故而把這兩種時(shí)滯看作一種時(shí)滯是不合理的。基于遠(yuǎn)程控制和網(wǎng)絡(luò)控制的應(yīng)用背景下，Lam等［9］首次提出一種加性區(qū)間時(shí)滯系統(tǒng)的新模型，并獲得時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)［10］利用兩個(gè)連續(xù)相關(guān)的時(shí)滯分量構(gòu)造新的LK泛函，并引入自由加權(quán)矩陣估計(jì)L-K泛函導(dǎo)數(shù)的上界，改進(jìn)了文獻(xiàn)［9］的模型。文獻(xiàn)［11］結(jié)合倒數(shù)凸不等式對(duì)L-K泛函的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行嚴(yán)格估計(jì)，得到保守性較文獻(xiàn)［10］更低的穩(wěn)定性判據(jù)。

時(shí)滯分解法是一種有效降低穩(wěn)定性判據(jù)保守性的方法，廣泛應(yīng)用于各種系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中［12-13］。近年來，時(shí)滯分解法也被應(yīng)用于兩個(gè)加性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)中。文獻(xiàn)［14］將時(shí)滯分解法與擴(kuò)展的倒數(shù)凸不等式相結(jié)合，得到一個(gè)改進(jìn)的穩(wěn)定性判據(jù)，但由于時(shí)滯區(qū)間被過多地劃分，導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度增加。文獻(xiàn)［15］在文獻(xiàn)［11］的基礎(chǔ)上，利用時(shí)滯分解思想將系統(tǒng)中的時(shí)滯區(qū)間均勻地分成兩個(gè)子區(qū)間，提出保守性更小的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)［15］的計(jì)算復(fù)雜度低于文獻(xiàn)［14］，然而，當(dāng)時(shí)滯子區(qū)間的長(zhǎng)度相等時(shí)，并不總是可以得到時(shí)滯上界的最大值。

本文研究具有兩個(gè)加性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題?？紤]兩個(gè)加性時(shí)變時(shí)滯分量的獨(dú)立性和變化性，利用時(shí)滯不均勻分解的思想構(gòu)造一類新的L-K泛函。結(jié)合對(duì)L-K泛函導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)格估計(jì)，利用倒數(shù)凸不等式，以線性矩陣不等式（Linear matrix inequalities，LMIs）的形式給出新的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù)，通過一個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證本文的有效性和優(yōu)越性。

1 問題描述和準(zhǔn)備

Rn表示n維歐式空間，Rn×m是所有n×m維實(shí)矩陣的集合。一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣P＞0(≥0)表示P是正定（半正定）矩陣。I表示具有適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣，如果沒有明確說明，則假定具有兼容的維數(shù)。上標(biāo)“T”表示矩陣的轉(zhuǎn)置。

具有兩個(gè)加性時(shí)變時(shí)滯的時(shí)滯系統(tǒng)

式中：x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；A,B∈Rn×n為常數(shù)矩陣；φ(t)為初始條件；d1(t)和d2(t)為具有不同特性的時(shí)滯變量。

時(shí)滯d1(t)和d2(t)滿足條件

則系統(tǒng)（1）改寫為

其中

本文的目的是建立系統(tǒng)（1）的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性條件。以下引理將在推導(dǎo)過程中發(fā)揮重要作用。

引理1［5］設(shè)對(duì)任意常數(shù)矩陣M∈Rn×n，M=MT＞0，存在標(biāo)量α＞0和向量函數(shù)ω，且ω:[0,α]→Rn，有不等式

引理2［6］設(shè)f1,f2,…,fN:Rm→R在Rm的開子集D上值非負(fù)，那么D上fi的倒數(shù)凸組合滿足

使得

2 穩(wěn)定性判據(jù)

令ha=ah1，hb=bh2(0＜a＜1,0＜b＜1)。顯 然0＜ha＜h1,0＜hb＜h2成立。將區(qū)間[0,h1]和[0,h2]分別劃分為兩個(gè)子區(qū)間，即[0,ha],[ha,h1]和[0,hb],[hb,h2]。針對(duì)C1~C4四種情況提出其相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù)。

為了簡(jiǎn)化矩陣表示，ei∈R9n×n(i=1,2,…,10)被定義為分塊矩陣，例如

判據(jù)1滿足式（3）和式（4）的系統(tǒng)（1）對(duì)于給定的標(biāo)量0＜a＜1,0＜b＜1，h1,h2,μ1,μ,μ2＞0，如果存在矩 陣當(dāng)時(shí)滯滿足C1時(shí)LMIs（7）和（11）成立，當(dāng)時(shí)滯滿足C2時(shí)LMIs（8）和（11）成立，當(dāng)時(shí)滯滿足C3時(shí)LMIs（9）和（11）成立，當(dāng)時(shí)滯滿足C4時(shí)LMIs（10）和（11）成立，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

其中

證明對(duì)于C1:0≤d1(t)≤ha,0≤d2(t)≤hb，構(gòu)造L-K泛函

其中

沿著系統(tǒng)（1）的軌跡對(duì)V(t)求導(dǎo)，則有

當(dāng)0≤d1(t)≤ha,0≤d2(t)≤hb時(shí)，根據(jù)引理1和引理2，得到

類似的

因此，得出結(jié)論

根據(jù)式（13）~式（22），得到

其中

對(duì)于C2:0≤d1(t)≤ha,hb≤d2(t)≤h2，構(gòu)造L-K泛函

其中

同理可得

其中

對(duì)于C3:ha≤d1(t)≤h1,hb≤d2(t)≤h2，構(gòu)造L-K泛函

其中

同理可得

其中

對(duì)于C4:ha≤d1(t)≤h1,0≤d2(t)≤hb，構(gòu)造L-K泛函

其中

V1(t),V2(t)見式（12）。

同理可得

其中

因此，若LMIs（7）和（11）或（8）和（11）或（9）和（11）或（10）和（11）成立，有V?(t)＜0或Vˉ?(t)＜0或V??(t)＜0或V??(t)＜0。則當(dāng)d1(t)和d2(t)分別滿足C1或C2或C3或C4時(shí)，系統(tǒng)（1）是漸近穩(wěn)定的。故判據(jù)1得證。

與文獻(xiàn)［14-17］中使用的時(shí)滯分解法不同，本文利用動(dòng)態(tài)時(shí)滯不均勻分解方法，將時(shí)滯區(qū)間[0,h1]和[0,h2]分別劃分為[0,ha]、[ha,h1]和[0,hb]、[hb,h2]。子區(qū)間[0,ha]、[0,hb]的范圍隨著a和b的減小而減小，而子區(qū)間[ha,h1]、[hb,h2]的范圍隨著a和b的增加而減小。時(shí)滯間隔的范圍越小，時(shí)變時(shí)滯d1(t)和d2(t)被獲得的信息就越多。通過設(shè)置參數(shù)a和b的值可以獲得更多的時(shí)變時(shí)滯信息，進(jìn)而降低判據(jù)的保守性。注意到，當(dāng)a=1/2，b=1/2時(shí)，本文劃分的四個(gè)不均勻時(shí)滯子區(qū)間退化為文獻(xiàn)［15］的時(shí)滯子區(qū)間。因此，本文所得的系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)較文獻(xiàn)［15］更具一般性。

3 算例分析

表1為給定時(shí)滯上界h1時(shí)所獲得的時(shí)滯上界h2，表2為給定時(shí)滯上界h2時(shí)所獲得的時(shí)滯上界h2。當(dāng)h1=1或1.2或1.5時(shí)，利用判據(jù)1所得時(shí)滯上界h2顯著大于文獻(xiàn)［14-17］時(shí)滯上界，表明本文穩(wěn)定性判據(jù)具有更低的保守性。

表1 給定d1(t)的上界h1計(jì)算時(shí)滯d2(t)的上界h2Tab.1 Calculated upper bound h2 of time delay d2(t)at given upper bound h1 of d1(t)

表2 給定d2(t)的上界h2計(jì)算時(shí)滯d1(t)的上界h1Tab.2 Calculated upper bound h1 of time delay d1(t)at given upper bound h2 of d2(t)

表3給出本文判據(jù)與相關(guān)文獻(xiàn)決策變量的數(shù)量。與現(xiàn)有文獻(xiàn)相比，本文判據(jù)具有較少的決策變量，較低的計(jì)算復(fù)雜度。

表3 各方法決策變量數(shù)Tab.3 Decision variables of each method

4 結(jié)論

討論了具有兩個(gè)加性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。利用動(dòng)態(tài)時(shí)滯不均勻分解、積分不等式等方法，得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。判據(jù)的優(yōu)點(diǎn)在于具有更小的保守性和更低的計(jì)算復(fù)雜度。最后給出數(shù)值算例，進(jìn)一步說明判據(jù)的優(yōu)越性和可行性。