周紅進(jìn)， 蘭國輝*， 李 偉， 王翔宇

(1.海軍大連艦艇學(xué)院 航海系，遼寧 大連 116018; 2.大連船舶重工集團(tuán)有限公司 軍工部,遼寧 大連 116019)

基于到達(dá)時間差(Time Difference of Arrival，TDOA)的無源雷達(dá)組網(wǎng)跟蹤探測目標(biāo)的首要問題是確定組網(wǎng)雷達(dá)的布站方案[1]。確定雷達(dá)布站方案過程通常分2步實現(xiàn)：首先,確定評價布站方案優(yōu)劣的指標(biāo)；然后，根據(jù)評價指標(biāo)設(shè)計尋優(yōu)算法，搜索最優(yōu)布站方案。

隨著雷達(dá)信號處理技術(shù)的發(fā)展，評價指標(biāo)也隨之改變。早期采用目標(biāo)發(fā)現(xiàn)概率和漏警率等指標(biāo)，現(xiàn)代雷達(dá)主要采用目標(biāo)跟蹤定位精度指標(biāo)[2-4]。孫旭鋒和楊益川[5-6]采用了目標(biāo)跟蹤定位誤差的均方根(Root Mean Square，RMS)描述跟蹤定位的精度，這種方法簡單直接且易于計算，但是不能反映出目標(biāo)與組網(wǎng)雷達(dá)的相對空間關(guān)系對跟蹤定位精度的影響。Hu等[7]采用了克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bounds,CRLB)指標(biāo)，較好地解決了文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]中所提方法的不足，但是由于CRLB計算過程復(fù)雜，當(dāng)組網(wǎng)雷達(dá)站超過3個時，計算量將顯著增加，導(dǎo)致后續(xù)以該指標(biāo)為評價函數(shù)設(shè)計的尋優(yōu)算法難以實現(xiàn)。針對上述問題，本文將衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位選星時描述星座構(gòu)型優(yōu)劣的幾何精度因子(Geometric Dilution of Precision，GDOP)作為衡量組網(wǎng)雷達(dá)跟蹤定位目標(biāo)精度的指標(biāo)，并基于TDOA的定位方程推導(dǎo)出相應(yīng)的計算模型。在此基礎(chǔ)上，通過網(wǎng)格化目標(biāo)空域并對所有網(wǎng)格點計算其加權(quán)GDOP均值作為雷達(dá)布站的評價函數(shù)，避免了在目標(biāo)空域?qū)DOP多重積分引起的計算實現(xiàn)難的問題，同時也可獲得根據(jù)重點空域調(diào)整加權(quán)系數(shù)以實現(xiàn)重點空域重點關(guān)注的靈活性。

評價指標(biāo)確定后，可以在目標(biāo)空域建立合適的評價函數(shù)并設(shè)計尋優(yōu)算法，在雷達(dá)部署區(qū)域搜索站址組合最優(yōu)解，從而獲得最優(yōu)雷達(dá)布站方案。王德成等[8]研究了基于二進(jìn)制編碼的遺傳算法設(shè)計尋優(yōu)算法，搜索成功率可以達(dá)到85%，但存在編碼長度過長、搜索速度慢和容易陷入局部最優(yōu)等缺陷。文獻(xiàn)[9]～文獻(xiàn)[12]研究了基于多目標(biāo)粒子群算法解決局部最優(yōu)的問題，通過初始化多個子種群并行尋優(yōu)，提高了算法執(zhí)行速度，也有效避免了陷入局部最優(yōu)的問題，搜索成功率高于95%，但仍然存在受初始群眾分布和變異系數(shù)干擾的問題，且當(dāng)評價函數(shù)改變后，需要重新設(shè)計算法，通用性偏弱，沒有克服仿生類算法的固有缺陷。針對上述尋優(yōu)算法存在的問題，考慮到最優(yōu)雷達(dá)站址組合的搜索對實時性并無要求，設(shè)計了基于概率逼近實現(xiàn)的最優(yōu)解遍歷搜索算法，通過調(diào)整隨機產(chǎn)生的站址組合樣本規(guī)模，遍歷樣本以一定概率獲得最優(yōu)解。

在確定了組網(wǎng)雷達(dá)布站方案的GDOP因子評價指標(biāo)并設(shè)計了大樣本遍歷大概率逼近的尋優(yōu)算法之后，以4個雷達(dá)站組網(wǎng)布站組合為例，在北京超算云平臺上運行搜索算法，成功搜索到了最優(yōu)雷達(dá)布站站址組合方案。

1 基于TDOA的無源雷達(dá)跟蹤定位模型

測量目標(biāo)信號到達(dá)時間差是無源雷達(dá)跟蹤定位目標(biāo)的一種常用方式。若要在三維空間里確定1個點，至少需要3個距離差和4個觀測點。因此，利用目標(biāo)輻射信號到達(dá)時間差分定位，至少要有4個觀測站。4個被動雷達(dá)站探測記錄目標(biāo)輻射信號到達(dá)時刻，進(jìn)而獲取到達(dá)時間差值，從而計算距離差。由距離差確定3個雙曲面的交點，即為目標(biāo)位置。

設(shè)雷達(dá)主站為S0，3個雷達(dá)副站為Si(i=1,2,3)；目標(biāo)坐標(biāo)為(x，y，z)T，主站和副站坐標(biāo)為(xi，yi，zi)T(i=0,1,2,3)；目標(biāo)輻射信號到達(dá)各站的時間為ti(i=0,1,2,3)，目標(biāo)到各站的距離為ri(i=0,1,2,3)，各副站到達(dá)時間與主站到達(dá)時間的時間差可寫為τi(i=1,2,3)。

將到達(dá)時間差乘光速，可得目標(biāo)到各副站和主站的距離差為

Δri=cτi

(1)

這個距離差還可由目標(biāo)到主站的距離減去目標(biāo)到副站的距離直接得到，即

Δri=ri-r0

=[(x-xi)2+(y-yi)2+(z-zi)2]1/2-

[(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2]1/2

(2)

由式(2)可得：

(3)

(4)

(5)

式(5)應(yīng)有3個，x,y,z為未知數(shù)，改寫成矩陣形式為

(6)

即AX=B，其中：

根據(jù)線性方程組的線性性質(zhì)，AX=B的解為AX=C解的r0倍和AX=D的解之和。根據(jù)式(6)可以計算目標(biāo)的坐標(biāo)。

2 雷達(dá)布站評價函數(shù)

雷達(dá)布站評價函數(shù)是衡量雷達(dá)組網(wǎng)跟蹤探測性能的主要指標(biāo)，一般采用跟蹤定位目標(biāo)的精度表示。單個目標(biāo)的跟蹤定位精度反映了雷達(dá)的鎖定能力，區(qū)域目標(biāo)的跟蹤定位精度則反映了雷達(dá)跟蹤定位的覆蓋性能。通常采用區(qū)域跟蹤定位精度衡量雷達(dá)組網(wǎng)的整體性能。

2.1 單點定位GDOP值

衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，在選擇合適的星座進(jìn)行定位時，一種有效且常用的選星指標(biāo)為GDOP。借鑒衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的GDOP的定義，推導(dǎo)無源雷達(dá)跟蹤定位單個目標(biāo)的精度計算公式。

對式(2)兩邊進(jìn)行全微分可得：

(7)

式中：

上述方程共有3個，寫成矩陣形式為

dR=HdX+dS

(8)

其中：

可見，定位誤差dX由時差測量誤差造成的距離差誤差dR和站址誤差dS決定，則有

dX=H-1(dR-dS)=(HTH)-1HT(dR-dS)

(9)

定位誤差的協(xié)方差矩陣為

cov(dX)=E[dXdXT]

=(HTH)-1HT[cov(dR)+cov(dS)]H(HTH)-1

(10)

顯然站址誤差和距離差誤差相互獨立，則有

E[dRdST]=E[dSdRT]=0

設(shè)σΔri為距離差測量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差；ηij為各副站距離差的相關(guān)系數(shù)；σs為站址誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。所以3個副站的距離差協(xié)方差矩陣為

(11)

故站址誤差協(xié)方差矩陣為

(12)

不同方向、不同站址的誤差相互獨立，互協(xié)方差為0。由此，cov(dR)+cov(dS)=[fij]3×3。

(13)

故定位的總協(xié)方差為

(14)

定位的幾何精度因子可以寫為

(15)

式(15)為基于TDOA的無源雷達(dá)組網(wǎng)跟蹤定位目標(biāo)的精度指標(biāo)計算公式，可以看出影響其精度的因素主要有站址誤差、時間差測量誤差、雷達(dá)站和目標(biāo)之間的相對距離。

2.2 區(qū)域GDOP值

目標(biāo)飛行空域為V，則飛行空域的整體定位誤差為

(16)

4個雷達(dá)站坐標(biāo)已知的情況下，可以利用式(16)對目標(biāo)空域的整體定位誤差進(jìn)行評估。

如果根據(jù)整體定位誤差最小原則，確定組網(wǎng)布站方案，而4個雷達(dá)站的坐標(biāo)全部未知，共12個未知數(shù)，積分運算量大、解析表達(dá)式復(fù)雜，計算難以實現(xiàn)。

2.3 網(wǎng)格化目標(biāo)空域

假設(shè)目標(biāo)空域為規(guī)則區(qū)域(非規(guī)則區(qū)域可以分解為多個規(guī)則區(qū)域)，以雷達(dá)定位精度指標(biāo)為標(biāo)尺，可以將目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格化，如圖1所示。

圖1 網(wǎng)格化后的目標(biāo)飛行空域

設(shè)網(wǎng)格點集合為

U={T11,…,T1N,…,TM1,…,TMN}(i∈[1,M],j∈[1,N])

在集合U內(nèi)計算GDOP值，進(jìn)行加權(quán)平均后作為目標(biāo)飛行空域的GDOP值，加權(quán)系數(shù)與目標(biāo)空域關(guān)注度相關(guān)。將重點關(guān)注區(qū)域的加權(quán)系數(shù)調(diào)大，反之調(diào)小。則目標(biāo)飛行空域整體定位誤差為

(17)

將目標(biāo)空域網(wǎng)格化后，避免了多重積分計算的復(fù)雜度。同時，可以根據(jù)目標(biāo)空域關(guān)注度調(diào)整加權(quán)系數(shù)，有利于提高重點敏感區(qū)域的目標(biāo)探測精度，也提高了雷達(dá)布站的靈活性和針對性。

式(17)即為雷達(dá)布站評價函數(shù)。根據(jù)該函數(shù)，在雷達(dá)站部署區(qū)域?qū)?yōu)4個站址，函數(shù)值最小的站址組合即為最優(yōu)雷達(dá)布站方案。

3 雷達(dá)站部署方案尋優(yōu)策略及結(jié)果

3.1 尋優(yōu)策略

根據(jù)已知條件，雷達(dá)布站區(qū)域由4塊地形組成,設(shè)4塊地形區(qū)域為Ui(i=1,2,3,4)。按照1塊地形布設(shè)1個雷達(dá)站的原則，在4塊地形上遍歷計算所有布設(shè)方案的Err(U1,U2,U3,U4)，則整體定位誤差最小方案為

argmin{Err(U1,U2,U3,U4)}=(S0,S1,S2,S3)

(18)

根據(jù)式(18)遍歷算法得到的雷達(dá)站坐標(biāo)(S0,S1,S2,S3)即為整體定位誤差最小的4個雷達(dá)站的坐標(biāo)。

已知目標(biāo)函數(shù)和遍歷空間，尋找最優(yōu)站址組合的實質(zhì)是一個遍歷搜索最優(yōu)解問題。常用的遍歷算法有自回歸算法、遺傳算法、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、蟻群算法和粒子群算法等,這些搜索算法是在目標(biāo)函數(shù)的引導(dǎo)下快速找到最優(yōu)解。為了平衡搜索時間和精確度，通常要根據(jù)具體問題調(diào)整設(shè)置搜索參數(shù)。搜索參數(shù)的設(shè)置需要大樣本數(shù)據(jù)訓(xùn)練獲得，且通用性較弱。即使設(shè)置了合適的參數(shù)，搜索結(jié)果也容易陷入局部最優(yōu)解。

由于雷達(dá)布站需要在4塊獨立的地形分別尋找一個站點形成一個站址組合。根據(jù)這一特點，制定了4個地形分別隨機產(chǎn)生一個站點，根據(jù)式(17)計算目標(biāo)空域總體跟蹤定位誤差，記錄總體定位誤差最小的站址組合，如圖2所示。

圖2 最優(yōu)站址組合尋優(yōu)策略

尋優(yōu)策略的優(yōu)點是簡單直接且適合并行運算，只要尋優(yōu)次數(shù)足夠，一定會找到最優(yōu)解；缺點是計算量大，比較耗時。

每個地形候選站點個數(shù)為n，假設(shè)隨機產(chǎn)生的站址組合樣本規(guī)模為n4時，則搜索到最優(yōu)解的概率為

1-(1-1/n4)n4×100%

(19)

考慮到雷達(dá)布站方案求解并不要求實時性，且國內(nèi)超算運行速度超過每秒1.25e17 次，利用國內(nèi)超算提供的云計算服務(wù)可以遍歷尋優(yōu)到最優(yōu)解。

3.2 實驗結(jié)果

表1 最優(yōu)站址組合尋優(yōu)結(jié)果

從圖3～圖5可以看出，主站和3個副站的布局呈Y字形，目標(biāo)空域位于Y字形閉口一側(cè)，沿著閉口方向，隨著探測距離增大，跟蹤定位誤差輻射狀增大。可以認(rèn)為，4個雷達(dá)站的布局構(gòu)型與目標(biāo)空域的探測精度直接關(guān)聯(lián)。

圖3 最優(yōu)雷達(dá)布站站址和目標(biāo)空域

圖4 目標(biāo)空域誤差變化曲線

圖5 目標(biāo)空域等誤差曲線

4 結(jié)論

無源雷達(dá)布站方案是決定雷達(dá)組網(wǎng)跟蹤探測性能的一個關(guān)鍵因素。布站方案的求解本質(zhì)上是根據(jù)目標(biāo)空域探測需求和布站區(qū)域約束條件尋優(yōu)最優(yōu)解問題。

① 以目標(biāo)空域的GDOP值作為目標(biāo)函數(shù)評價布站方案可以有效提高無源雷達(dá)組網(wǎng)跟蹤定位精度。以網(wǎng)格化后的目標(biāo)空域的GDOP值的加權(quán)平均代替多重積分計算，簡化了計算復(fù)雜度，且可以通過調(diào)整加權(quán)系數(shù)提高重點敏感空域的探測精度，增加了雷達(dá)布站的靈活性。

② 從4個地形數(shù)據(jù)中隨機產(chǎn)生站址組合作為搜索樣本，這種搜索策略優(yōu)點在于簡單直接且可以并行搜索，有利于發(fā)揮超算算力，也保證了最優(yōu)解的搜索成功率；缺點是隨著4個地形數(shù)據(jù)樣本增加，搜索到最優(yōu)解的遍歷次數(shù)將會以o(n4)增加，搜索時間顯著延長，且依賴于超級計算機運行搜索算法。可以通過增加約束條件(如雷達(dá)主站布設(shè)在山峰最高點)來縮小樣本規(guī)模，從而縮短搜索時間。

③ 實際雷達(dá)布站中，應(yīng)該考慮地形地勢對無線電波的遮擋效應(yīng)。這是布站算法工程化必須要考慮的因素，也是后續(xù)的研究方向。