齊龍興，陳宏宇

(安徽大學 數(shù)學科學學院，合肥 230601)

對于數(shù)學專業(yè)的學生來說，常微分方程是一門核心課程，其實際應用背景深刻且生動。大量微分方程來自于生產(chǎn)實踐和科學技術，比如來自于幾何和力學中的伯努利微分方程和里卡蒂微分方程、解決人口問題的馬爾薩斯人口模型等。在分析實際問題和解決實際問題的現(xiàn)代科學技術方法中，常微分方程已成為不可缺少的強有力的工具。[1]因此，在常微分方程的課程教學中培養(yǎng)學生利用常微分方程的理論和方法解決實際問題的能力，具有十分重要的意義。

在傳統(tǒng)教學過程中，常微分方程由于其課程模塊的設置決定了教師授課時更多地關注于專業(yè)理論的講授。2016 年 12 月習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上發(fā)表重要講話時強調(diào)要堅持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學全過程，實現(xiàn)全程育人、全方位育人。[2]要想在這樣一門非思政類的專業(yè)課程中更好地融入思想政治教育，常微分方程的課程模塊勢必要進行重新劃分。

1 傳統(tǒng)課程模塊

當前，常微分方程課程一直按照傳統(tǒng)模塊進行教學，一般側重介紹關于微分方程的一些基本概念，針對不同階數(shù)和不同類型的方程，尋求求解方程特解和通解的方法和技巧。學生們在學習常微分方程這門課程中，普遍反映理論性較強，且大部分理論和公式都要記憶，對常微分方程如何應用并解決實際問題了解較少。[3，4]例如，面對日常生活中的一些實際問題，大部分學生不知道怎么去分析問題、建立方程模型、利用數(shù)學軟件模擬及預測解的發(fā)展趨勢等等。再例如，針對某一傳染病的傳播，如何建立微分方程組分析疾病的傳播趨勢及預測病人數(shù)，如何為衛(wèi)生部門提供防控策略的建議等。因此，培養(yǎng)學生基于實際問題建立常微分方程并幫助解決實際問題的能力，是講授常微分方程這門課中首先要關切的問題。

此外，常微分方程這門課程基本都是理論介紹，主要是告訴學生如何求出具體方程的精確解。然而，在實際問題中，有時并不需要求出精確解，或者精確解求不出來，但需要根據(jù)方程來預測解的發(fā)展趨勢。這時，就需要進行一系列的數(shù)值模擬。如何利用 Matlab,Maple等數(shù)學軟件對微分方程進行模擬，這也是在講授過程中需要重視的問題。

由于常微分方程這門課的課時不足、課程內(nèi)容較多等原因，課程模塊的設置決定了教師在講授過程中需要加快節(jié)奏，把方程求解過程盡可能詳細地通過板書演示給學生看，把課程內(nèi)容盡可能多地傳授給學生。這樣，授課過程中，教師對學生進行思政教育的時間就不多了。這就導致教學過程中教師很少或者幾乎沒有涉及到思政教育的思想。也正是因為思政元素的缺少，教學過程中不能激發(fā)課堂的豐富性。即便有部分提及思政元素的教師，也由于其在思政方面的教育是意識單獨，未能與學生達成共鳴，課堂上做不到師生互動，課堂氛圍仍是單調(diào)乏味。而良好的思政教育不僅可以使學生在學習專業(yè)知識，還能讓學生潛移默化地愉快地接受教師傳授的思政教育思想。因此，思政教育的思想急需充分融入這門課的教學中。

針對以上問題，需要對常微分方程這門課的傳統(tǒng)模塊進行改革創(chuàng)新。[5]在講解常微分方程中，有必要給學生們介紹一些利用常微分方程來解決實際問題的新知識和新方法，以培養(yǎng)學生的會學會用的能力。最后，指導學生利用Matlab等軟件進行數(shù)值模擬和檢驗模型的有效性等。這些在常微分方程課程的教學中都有利于培養(yǎng)學生解決實際問題必備的能力。

2 課程模塊劃分的創(chuàng)新

作為一門實踐性很強的課程，不僅僅希望學生們能學到并掌握理論知識，并知道如何應用這些理論知識，還要在課程的教學過程中進行全方位的思想政治教育，兩手都要硬。要做到這些，傳統(tǒng)的課程模塊勢必要進行改革創(chuàng)新。因此，本研究基于此目的，將對常微分方程這門課進行一系列的模塊改革創(chuàng)新，并提出新的成績評定體系，為達到真正的學以致用。

為更好地適應創(chuàng)新型、復合型、應用型人才培養(yǎng)，本課程需要對模塊劃分進行創(chuàng)新，主要從方程的基礎理論、求解計算、數(shù)值模擬分析和實際應用四個方面對“常微分方程”的課程模塊進行重新調(diào)整，同時在每個模塊中加入豐富的思政內(nèi)容。

2.1 基礎理論模塊

基本概念是常微分方程基礎知識的重要組成部分。概念如果沒有掌握清楚,學生就無法掌握后面的定理和一些公式。基本概念也是發(fā)展學生思維、培養(yǎng)學生數(shù)學能力的基礎。只有掌握正確的概念,才能對后面學習微分方程的類型有正確的判斷和推理,進而才能培養(yǎng)學生的邏輯思維。因此，將常微分方程中所有涉及到的定義和定理都放在基礎理論部分，作為本課程的第一模塊。在原來傳統(tǒng)模塊的基本概念的基礎上加上一階方程、高階方程和方程組中所有定義和定理。這樣可以集中向學生展示出各類方程的性質(zhì)和特點，從而也幫助學生更容易地理解和記憶。比如，在介紹一階線性微分方程時，首先寫出齊次方程，再寫出非齊次方程，再寫出伯努利方程。這樣三個方程直觀地演示給學生，讓學生印象深刻。同時告訴學生，在一個微分方程里這樣改動一項，就會得到不同類型的方程，就如同在生活中，一件事情會由于隨意做的一個動作就有可能改變了它的發(fā)展方向。由此告誡學生做任何事都要三思而后行。再比如介紹恰當方程時，引導學生要說恰當?shù)脑?、做恰當?shù)娜撕颓‘數(shù)氖隆Ｔ俦热?，在判斷函?shù)組和向量函數(shù)組線性相關和線性無關時要利用弗朗斯基行列式。雖然兩個行列式形式不一樣，但這個行列式的來源和性質(zhì)都是一樣的，而且判斷準則也是一樣的。所以，將這兩個概念都放在一起介紹，不僅幫助學生記憶和理解，也節(jié)省了很多時間。

同時，在講授這些基礎理論的過程中，從微分方程的發(fā)展史和數(shù)學史開展思政教育，向學生講授科學家們在追求真理、探求知識過程中的寶貴工匠精神。從1676 年微分方程概念的第一次提出開始，微分方程得到了飛速地發(fā)展，并且在各個領域中得到了廣泛應用。在微分方程的發(fā)展過程中，一大批數(shù)學家的心血注入其中，有萊布尼茨、牛頓、柯西、歐拉、李雅普諾夫等。其中，伯努利家族更是尤為突出，一個家族3代人中產(chǎn)生了8位科學家。由此教育學生在學習任何知識時都不能急于求成，要有不怕困難、勇往直前的勇氣與斗志。

2.2 求解計算模塊

學生要正確求解微分方程，首先要會判斷方程的類型。通過對第一模塊中基礎理論的學習，學生對所有方程都有了一個全面的認識，然后回憶這些方程的特點，進而判斷出正確的類型。比如，在判斷是否是恰當方程時，首先回憶出恰當方程的微分形式，然后分別計算微分形式中的兩個函數(shù)的偏導數(shù)看是否相等，利用恰當方程的判別法則進行判斷。方程類型判斷的教學過程中可以培養(yǎng)學生判別的能力，同時告訴學生在實際生活中，也要利用正確的道德觀、人生觀和價值觀判別人和事。

接下來，針對不同類型的方程分別介紹各自的求解方法。在傳統(tǒng)模塊中，各類方程的求解方法是分開介紹的。確實，有些方程的求解方法與其他方程的求解方法不同，需要單獨介紹，但有些方程的求解方法或者求解思路是一樣的。比如常數(shù)變易法在求解非齊次微分方程時可以利用，在非齊次微分方程組中同樣可以利用，而且利用的思路是類似的。這樣就可以放在一起給學生講授，同時還可以引導學生認識方程和方程組在求解時雖然方法相同，但步驟稍有不同。

在講授這一模塊的課程內(nèi)容時，學生學會常微分方程的多種求解方法是關鍵。但與此同時，還要對學生開展思政教育，教育學生具體方程具體分析，在求解過程時要發(fā)散思維，思考多種解決問題的辦法，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。我們在講課過程中就遇到不少這樣的學生，課后積極討論各種求解方法，然后請教老師指點。這是非常值得表揚的。

2.3 數(shù)值模擬分析模塊

學過微分方程的同學都知道，有些方程的求解很麻煩，有些方程來源于實際問題，其實不需要知道它的精確解，只要知道變量的發(fā)展趨勢。這種情況下，只需要給出一個幾何圖形即可解決。目前，已經(jīng)有很多文獻介紹過利用數(shù)學軟件畫出微分方程中的積分曲線。

數(shù)學軟件有很多，在講授時可以選擇幾個常用的。比如在Matlab中編寫一個程序，就能畫出方程中未知函數(shù)關于自變量的變化趨勢圖。寫過程序的同學都知道，程序中的很多代碼都是一樣的，只要改變方程的表達式和參數(shù)即可。因此，將幾何圖形分析單獨作為一個模塊，將所有學過的方程都集中起來講授。學生們帶上各自的電腦或者記下筆記，只要輸入一個程序，稍稍改變就可向學生們?nèi)空故境鰧W過的所有方程的幾何圖形，然后對圖形進行講解，并分析它的實際意義。這樣在課堂上教師不僅教會了學生如何利用數(shù)學軟件編程、畫圖和對圖形的分析，而且學生學起來容易，動手操作也方便。教師在授課過程中，也不需要每講到一個方程就要打開軟件演示一次了。

這樣一個模塊的創(chuàng)新，不僅給學生們動手操作的機會，幫助他們更直觀地認識微分方程和軌線的變化趨勢，也為他們將來深造或從事其他工作時需要用到數(shù)學軟件打下扎實的基礎，同時也為課程的講授節(jié)省了大量的時間。另外，在講授過程中還可以進行思政教育。比如，一個漸近穩(wěn)定的平衡點，周圍的曲線不管從哪一個點出發(fā)都會跑向這個平衡點。每一條曲線都有起點和去向，但都遵循一個法則，那就是曲線上每點的切線斜率都是有規(guī)律的。如同生活中，我們做事必有起因和去處，但也都要遵循正確的做人和做事的原則，圍繞一個中心，不能隨意妄為，否則就會跑偏，容易迷失自我。

2.4 實際應用模塊

常微分方程作為一門應用型很強的課程，在物理、化學、工程、醫(yī)學、生態(tài)學、人口學，甚至社會學中都有微分方程的應用，其涉及范圍實在是太廣泛了。因此，將實際應用單獨作為最后一個模塊，從各個領域中遴選出大量經(jīng)典的實際問題，以案例的形式呈現(xiàn)給學生。先選擇一個課題，將問題數(shù)學化，提煉出各個變量和參數(shù)，然后建立微分方程模型，進而指導學生利用前面三個模塊中所學的理論、求解和畫圖能力來解決實際問題，真正地教會學生做到學以致用。通過這樣一個案例具體解決過程的教學，教會學生具體問題具體分析的能力和如何將課本知識利用到實際問題中的技術和方法。

這一模塊的教學過程中，不僅訓練了學生大量搜集資料和數(shù)據(jù)，還鍛煉了學生獨立解決實際問題的能力，在案例的選擇中，不同的學生可以根據(jù)自己的興趣愛好選擇不同的案例，沒有任何限制，學生在自己的興趣下開展這種動手動腦的實踐活動，將會起到事半功倍的效果，同時在不同的案例分析中，針對不同的案例涉及到的人文背景和思政元素，教師可以潛移默化地對學生進行思想政治教育。

3 新模塊下的教學過程

首先，教學中不僅向學生講授理論知識，還要傳授如何建立微分方程模型解決實際問題的方法?，F(xiàn)有的課程理論與實際脫節(jié)，教材和課堂教學模式都偏重于強調(diào)常微分方程的理論性、系統(tǒng)性和嚴謹性，往往脫離了其應用的背景和實際意義。很多學生學習積極性不高，要么對所學知識不感興趣，要么學習目的不明確，缺乏正確的學習動機。因此，從課程模塊上徹底改變傳統(tǒng)的方式，真正將本課程建設成名副其實的“理論聯(lián)系實際的課程”。

其次，在課程教學及組織實施過程中，為解決課程與教學改革中出現(xiàn)的問題，需要針對調(diào)整后的課程內(nèi)容有相應的組織實施。在課程內(nèi)容的前三個模塊的教學中主要以課堂教學為主，課后討論及練習為輔。第四個模塊可以從微分方程對其他學科的應用進行科研方面的論文學習、指導和討論，比如生態(tài)學、流行病學、社會學、人口學等交叉學科。同時，這些模塊的教學需要現(xiàn)代信息技術與課程教學有效地結合，并配以數(shù)學軟件Matlab、Maple和R繪圖協(xié)助理解，使抽象概念的引入具體生動，克服學生在數(shù)學上認知與理解的困難。還可以活用學生的手機翻轉課堂，建立本課程的學習群，鼓勵學生積極討論，培養(yǎng)學生自主學習能力。注意到，要將所學知識和方法應用到實際中去。實際問題的來源多種渠道，需要采取的解決措施可能也多種多樣。對于剛剛學完常微分方程這門課的理論知識的學生們，要有效地篩選出適合他們的實際問題。學生可以利用所學的常微分方程理論和方法去解決實際問題，并通過實踐操作來鞏固課程中所學過的概念、求解和圖形分析等知識。

最后，要注意模塊創(chuàng)新后課程成績評定的合理性。由于本課程的教學過程需要和實際應用案例結合，和學生的交流和互動形式比較特殊，所以教學效果的好壞無法由簡單的卷面分數(shù)來體現(xiàn)。要強調(diào)過程考核比卷面分數(shù)的通過率更重要，加大課堂討論、課后答疑、學生自主學習等方面的考核。而如此繁瑣龐大的工作量可以借助現(xiàn)代信息技術來統(tǒng)計完成。

4 結束語

創(chuàng)新模塊的主要特色首先是倡導問題驅動的數(shù)學教育。融思政、知識、能力、素質(zhì)教育于一體，注重問題的提出及其背景，使用現(xiàn)代信息技術、幾何直觀和物理原型詮釋抽象的概念；強調(diào)概念與方法的來源、不同概念間的內(nèi)在聯(lián)系，著重科學思維和科學方法的訓練。通過微分方程的應用這一模塊的教學討論和穿插靈活多樣的課程報告，培養(yǎng)學生學習興趣，拓展應用視野。最后，注重科研和教學相結合。課程組學科平臺厚實，科研實力雄厚，授課過程中將自己的科研成果注入到課堂教學中，著力培養(yǎng)學生科學素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。同時，引進數(shù)學軟件培養(yǎng)學生利用數(shù)學軟件科學有效地學習和解決實際問題。

通過很多案例的分析和解決，學生們也認識到學好”常微分方程“對解決實際問題起著至關重要的作用。通過融入思政元素對課程模塊的重新劃分，培養(yǎng)出具備這種活學活用、能夠解決實際問題能力的學生更是關鍵所在。因此，為培養(yǎng)創(chuàng)新型、復合型、應用型人才的需要，本課程應以立德樹人為根本宗旨[6]，本著以學生能力發(fā)展為目的，采用微積分和數(shù)學建模的思想，利用代數(shù)學、幾何學和物理學的理論知識，指導學生應用常微分方程的理論和方法去分析和解決各個學科中呈現(xiàn)出的實際問題，進而讓學生掌握并靈活運用常微分方程課程中所學的基礎理論知識和方法，為后續(xù)課程學習、從事數(shù)學或應用研究、教學工作以及繼續(xù)深造奠定良好的基礎；與此同時，這門課程的學習和在實際問題上的訓練，使得學生們學會了一些數(shù)學建模的基本方法，對現(xiàn)代自然科學和社會科學中的一些數(shù)學問題有了初步了解，在分析和解決實際問題方面，培養(yǎng)了學生熟練應用常微分方程的理論和方法的能力。