孔春明，靳亞盛，黃茗涵，田友偉

(1.南京郵電大學貝爾英才學院，南京 210023；2.南京郵電大學理學院，南京 210023)

1 引言

自1960年第一臺激光器問世以來，學者們一直致力于提高激光的強度和性能。20世紀60年代中期，調Q技術[1,2]和鎖模技術[3,4]的出現(xiàn)在一定程度上滿足了人們對于高峰值功率、窄脈寬激光脈沖的需求。20世紀80年代末期，G.Mourou等人提出啁啾脈沖放大(Chirped pluse amplification，縮寫：CPA)技術[5]，啁啾技術的出現(xiàn)使得激光脈沖的品質得到了快速的提升，激光脈沖的寬度現(xiàn)已可以被壓縮至飛秒(fs)量級，峰值功率也可達到TW-PW量級[6-7]。

近年來隨著超短超強啁啾激光脈沖的不斷發(fā)展，電子在相對論光強的激光作用下產生的非線性湯姆遜散射引起了人們極大的關注。現(xiàn)今已有不少理論和實驗的研究，討論了激光脈沖與電子相互作用的空間輻射特性[8-14]。Salamin和Faisal[15]在研究非線性湯姆遜后向散射產生的阿秒和則秒X射線脈沖時發(fā)現(xiàn)激光束束腰的變化會影響該過程的脈沖形狀和單色性。近年來Yu[16]和Wu[17]等人也對激光束腰半徑的變化對湯姆遜散射特性的影響進行了一些探究。

但值得注意的是，Yu等人研究的是線偏振激光，吳悅等人雖然研究的是圓偏振激光，但是對空間輻射特性的研究局限于某一個特定的θ角(90°)。本文在二人研究的基礎上，根據(jù)洛倫茲方程、電子能量方程、電子輻射基本方程和圓偏振電子場中高能電子對撞過程中的全時間運動方程探究了高能電子的全空間運動，并在此基礎上用MATLAB模擬了不同束腰半徑下高能電子與激光脈沖對撞的輻射，分析了束腰半徑對電子輻射峰值功率的影響。深入探究了圓偏振激光束腰半徑的改變對高能電子與激光脈沖在全空間對撞產生的輻射峰值功率的影響。旨在尋找不同的束腰半徑值對電子輻射峰值功率所產生影響的規(guī)律，以及觀測的最佳角度。

2 電子與激光作用模型

2.1 圓偏振聚焦高斯脈沖的矢量勢

在三維坐標系中[18]，圓偏振聚焦激光脈沖的相位φ可以表示為

φ=η+c0η2+φR-φG+φ0

(1)

聚焦高斯脈沖激光電場的歸一化矢勢a通?？梢杂孟旅娴氖阶颖硎綶19]：

(2)

2.2 電子運動的基本方程

(3)

其中θ=π-tan-1(z/zf)，假設激光的傳播方向與z軸正方向一致，電子的運動方向與z軸的負方向一致，兩者的對撞圖如圖1所示。

圖1 單電子與圓偏振激光對撞示意圖

電子在電磁場中的運動可以用拉格朗日方程和電子的能量方程描述：

dt(p-a)=-?a(u·a)

(4)

dtγ=u·?ta

(5)

其中u是用光速c歸一化的電子速度，a是用mc2/e歸一化的矢勢，p=γu是用mc歸一化的電子動量，γ=(1-u2)-1/2是相對論因子，也是用mc2歸一化的電子能量，方程(4)中的?a只作用于a上。

結合式子(4)和(5)及進行相關代數(shù)運算，可以得到電子運動的微分方程：

(6)

其中ux，uy，uz是電子在x，y，z方向上的速度分量，通過MATLAB不斷迭代計算，求解出上面的四個偏微分方程的解，就可以得到電子在激光場中的坐標、速度、加速度以及能量隨時間的變化過程。

2.3 電子輻射的基本方程

由動力學知識可知，做相對論加速運動的電子會放出電磁輻射，單位立體角內的輻射功率為

(7)

t=t′+R0-n·r

(8)

其中R0是觀察點和電子與激光脈沖作用點之間的距離，我們認為觀測點離作用區(qū)域足夠遠。

電子與激光脈沖相互作用的過程中，其單位立體角單位頻率間隔的輻射能公式可以用下列公式表示：

(9)

3 數(shù)值模擬結果及討論

前面已經(jīng)提到，做相對論加速運動的電子會放出電磁輻射，通過MATLAB繪制了束腰半徑b0=λ0的情況下全空間電子輻射功率的分布，如圖2所示?？梢钥闯觯椛涔β试诳臻g中的分布是不均勻的，尤其是在θ方向上，輻射功率主要集中在120°～180°之間，且不同θ角之間的功率差異也較大。本文主要針對最大峰值輻射功率進行研究，將激光束腰半徑在λ0到10λ0的范圍內每次變化1λ0，然后分別用MATLAB進行數(shù)值計算，記錄各自的最大峰值功率。數(shù)據(jù)顯示，當激光束腰半徑從λ0變化到3λ0時，輻射功率值由3.1511×109先增加至3.2163×109然后又回落到3.2136×109，而在束腰半徑從3λ0增加至10λ0的過程中，電子輻射峰值功率值呈現(xiàn)緩慢下降的趨勢。

圖2 b0=λ0時全空間電子輻射功率的分布

我們對最大輻射功率所對應的束腰半徑很感興趣，將其記為b0m。由現(xiàn)有數(shù)據(jù)推斷出，當束腰半徑從λ0增加到10λ0時，該范圍內的最大輻射峰值功率所對應的束腰半徑bm必定處于λ0～3λ0的范圍中。于是，進一步將束腰半徑的變化步長精細化，在λ0～3λ0的范圍內每次變化 0.1λ0，然后用MATLAB計算峰值功率值，結果如圖3所示。

根據(jù)圖3和MATLAB模擬得到的數(shù)據(jù)可以得到b0m=1.7λ0，同時可以得出這樣的結論：考慮激光脈沖的束腰半徑在1λ0～10λ0的范圍內的情況，當激光脈沖的束腰半徑小于最大輻射功率所對應的束腰半徑b0m時，電子的輻射峰值功率隨著入射激光束腰半徑的增大而增大，且增長的幅度在不斷減小。當束腰半徑取b0m=1.7λ0時可以獲得最大電子輻射峰值功率。而在激光脈沖的束腰半徑較大時，束腰半徑的變化對電子輻射峰值功率的影響相對較小，電子輻射峰值功率會隨著束腰半徑的增大而緩慢減小。理論上而言，這意味著較小的束腰半徑就可以獲得最高的輻射峰值功率。該結論對于實際的激光實驗具有一定的借鑒意義。

圖3 不同束腰半徑下最大輻射功率的詳細分布

為了進一步探究，將峰值輻射功率所對應的觀測方向(θ,φ)定義為最大能量輻射方向，記為(θmax,φmax)。數(shù)據(jù)顯示b0=1.7λ0所對應的最大能量輻射方向為(146.25°,358.5°)。我們繪制了b0=1.7λ0情況下最大輻射方向上電子輻射時間譜和頻譜圖如圖4所示。

圖4 a.(146.25°,358.5°)方向上單位立體角電子輻射功率的時間譜;b.圖4(a)中最高峰的放大;c.(146.25°,358.5°)方向上單位立體角電子輻射功率的頻譜。其他參數(shù):b0= 1.7λ0

由于我們的數(shù)值模擬都是為了實驗探究提供全時間、全空間的數(shù)值模擬依據(jù)，考慮到實驗器械角度的偏差和操作的便利性，結合全空間電子輻射功率的分布特點，我們決定尋找一個最佳的觀測角度區(qū)間以方便觀測。我們發(fā)現(xiàn)φ的微小變化對輻射功率并不會產生較大的影響，故最佳觀測角度區(qū)間主要針對θ角來進行研究。對最佳觀測θ角區(qū)間定義如下：使得觀測者在該觀測角度區(qū)間內均能觀測到單個電子與圓偏振激光脈沖的正面碰撞所產生的超短阿秒脈沖，并且電子輻射功率能夠大于(或接近)在最大能量輻射方向上電子輻射功率的一半。

圖5 不同θ角對應的峰值輻射功率的時間譜。a.θ=144°;b.θ=146.25°; c.θ=151.5°.其他參數(shù):b0=1.7λ0,φ=358.5°

分析時間譜可以發(fā)現(xiàn)θ=144°時，時間譜基本和146.25°時類似，只是最高峰的數(shù)值只有146.25°時的一半左右。θ=151.5°時時間譜的三峰結構仍然存在，但是主峰高度反而遠低于左右兩次峰，輻射能量有所分散，不過通過數(shù)值模擬我們可以發(fā)現(xiàn)在該角度觀測到的輻射功率為1.5924×109，接近在146.25°觀測到的最大功率的一半。

圖6 圖5中最高峰的放大圖。a.θ=144°;b.θ=146.25°; c.θ=151.5°.其他參數(shù)與圖5一致

圖7 不同θ角對應的峰值輻射功率的頻譜。a.θ=144°;b.θ=146.25°; c.θ=151.5°.其他參數(shù)與圖5一致

通過以上分析，我們可以得出這樣的結論：束腰半徑為1.7λ0時，在φ為358.5°的情況下，以俯仰角146.25°去觀測得到的電子輻射功率是最大的。同時我們發(fā)現(xiàn)在φ為358.5°，θ∈[144°,151.5°]這一觀測范圍內，電子與圓偏振激光脈沖的對撞同樣也能產生超短阿秒脈沖，且觀測到的最大電子輻射功率均很可觀。所以我們認為實際實驗時在極角φ為358.5°，俯仰角θ∈[144°,151.5°]這一觀測范圍內去進行觀測電子與圓偏振激光脈沖的對撞的效果是比較好的。

4 結論

本文建立了單個逆流電子與圓偏振激光脈沖的對撞模型，并基于理論和數(shù)值模擬研究了特定初始條件下不同束腰半徑下的電子輻射峰值功率(采用的激光的歸一化振幅a0=6，電子的歸一化初始能量γ0=10)。研究結果顯示，當激光脈沖的束腰半徑在1λ0～10λ0的范圍內變化時，存在著一個b0m使得電子輻射峰值功率達到最大。在本文的條件下，激光脈沖的束腰半徑小于1.7λ0時，電子的輻射峰值功率隨著入射激光束腰半徑的增大而減速增大。當束腰半徑取1.7λ0時可以獲得最大電子輻射峰值功率。而當激光脈沖的束腰半徑大于1.7λ0時，束腰半徑再增大時對電子輻射峰值功率的影響較小，電子輻射峰值功率會隨著束腰半徑的增大而緩慢減小。進一步研究發(fā)現(xiàn)，在束腰半徑等于1.7λ0時，(146.25°,358.5°)為最大能量輻射方向，而φ為358.5°左右，θ∈[144°，151.5°]為最佳觀測角度區(qū)間，可以觀測到一個持續(xù)時間為阿秒級別的超強脈沖。通過本文的研究，研究人員能夠在實驗中通過使用合適束腰半徑的激光脈沖來產生較好的阿秒脈沖，為進一步的湯姆孫散射研究和需要超短X射線的行業(yè)帶來一些幫助。未來，我們將進一步研究不同初始條件對最大電子輻射峰值功率所對應的束腰半徑的影響規(guī)律。