江勝華

(西南大學 工程技術學院，重慶 400715)

0 引言

磁性目標的磁場梯度張量定位技術，作為一種被動的定位技術，具有更豐富更深入的特征信息，包括梯度、張量不變量、特征值和模量等，其最大的優(yōu)點是可以很大程度上克服地球磁場等背景磁場的影響，且不易受測量系統(tǒng)中朝向誤差的影響，可以提高對磁性目標的定位精度[1-5]。其中，磁場梯度張量的不變量、模量和特征值等，與坐標軸方向無關，非常適合磁性目標的實時定位[6-8]，已逐漸應用在水下/地下爆炸物探測、水下磁性物體探測、入侵物體探測、室內(nèi)定位、體內(nèi)微型診療裝置定位[9-10]等多個領域。另一方面，鐵磁金屬試件可視為無數(shù)個微小的磁偶極子的組合，微小的磁偶極子與磁場傳感器之間的關系可近似借鑒磁場定位的相關理論，磁場梯度張量可應用在金屬缺陷、銹蝕、應力等損傷檢測技術[11-12]。將磁場梯度張量的不變量、模量和特征值等進一步處理后，可得到更加豐富、細致和深入的定位特征信息。隨著全張量磁力梯度儀的研制成功，為了適應不同的定位情景，也出現(xiàn)了各種不同構造和組合的全張量磁力梯度儀[13-14]。相應地，諸多學者發(fā)展了1階磁場梯度張量的測量原理和算法，且已經(jīng)應用在不同的領域。目前2階磁場梯度張量亦開始逐漸應用在磁性物體的定位。Schmidt等[15]認為2階磁場梯度張量比1階磁場梯度張量在磁測反演時具有更高的分辨率。Clark[16]結(jié)合2階和1階磁場梯度張量計算了磁場梯度張量的特征值和不變量的導數(shù)，并應用在管道定位和礦床的幾何形態(tài)及鉆孔交點的定位，磁場反演結(jié)果與實際情況一致。Sui等[17]采用安裝在一個旋轉(zhuǎn)圓盤上的磁傳感器進行了2階磁場梯度張量的測量，認為2階磁場梯度張量和1階磁場梯度張量相結(jié)合使用，在一定程度上可降低定位時非唯一解和非真實解導致求解的模糊性。Li等[18]提出一種2階磁場梯度測量系統(tǒng)，并采用2階磁場梯度張量和歐拉方程進行磁場定位，結(jié)果表明2階磁場梯度張量具有更強的消除背景磁場和抗干擾的能力。張濤等[19]通過十字型陣列、六面體陣列及9個傳感器形成的菱形陣列3種全張量磁傳感系統(tǒng)，在2 m×2 m的正方形區(qū)域內(nèi)進行數(shù)值模擬，比較了1階和2階磁場梯度張量，結(jié)果顯示：在消除地磁場方面，2階磁場梯度張量更優(yōu)；在消除干擾噪聲方面，1階磁場梯度張量略優(yōu)。由于全張量磁力梯度儀的研制成功及發(fā)展，研究2階磁場梯度張量，并與1階磁場梯度張量結(jié)合使用，在磁場定位中將具有重要的研究意義和應用價值。

鑒于1階和2階磁場梯度張量測量設備的逐漸發(fā)展，同時2階磁場梯度張量在磁測反演擁有更高的分辨率，處理特征值和不變量時具有更豐富、更細致的信息，更強的消除背景磁場和抗干擾的能力，可降低定位時非唯一解和非真實解導致求解的模糊性等多方面的優(yōu)點，針對2階磁場梯度張量的理論尚不夠完善的現(xiàn)狀，本文提出基于磁偶極子的2階磁場梯度張量縮并方法，包括全局縮并和局部縮并的方法，提出2階磁場梯度張量的全局模量和局部模量的計算公式，進行仿真分析，研究全局模量和局部模量及相關參數(shù)的三維空間分布規(guī)律，給出相關參數(shù)的近似計算公式，并比較2階和1階磁場梯度張量及模量隨距離的規(guī)律。

1 基于磁偶極子的2階磁場梯度張量

如磁性物體簡化為磁偶極子，在測試系統(tǒng)處激發(fā)的磁感應強度矢量[20]為

(1)

式中：μ0為介質(zhì)磁導率；m為磁性目標的磁矩m=(mx,my,mz)，其中mx、my和mz分別為磁矩m沿著x軸、y軸和z軸3個方向的分量；r為磁偶極子至測量系統(tǒng)的位置矢量，r為r的模，r=|r|，即磁偶極子至測量系統(tǒng)的距離。磁感應強度矢量B可以用笛卡爾分量表示，即沿x軸、y軸和z軸3個方向的磁感應強度Bx、By和Bz。

磁偶極子的1階磁場梯度張量[4,17]為

(2)

(3)

式中：i,j=x,y,z。

1階磁場梯度張量G中共有9個參數(shù)，即Bxx、Bxy、Bxz、Byx、Byy、Byz、Bzx、Bzy和Bzz，分別為磁感應強度Bx、By和Bz沿x軸、y軸和z軸3個方向的梯度。9個參數(shù)中僅有5個獨立的參數(shù)，即Bxx、Bxy、Bxz、Byy和Byz。

磁偶極子的1階磁場梯度張量的全局模量CG為

(4)

式中：Gij表示矩陣Gij中的參數(shù)。

1階磁場梯度張量的全局模量與磁偶極子的磁矩的模、磁偶極子至測量系統(tǒng)的距離等之間的關系[21-22]為

(5)

磁偶極子的2階磁場梯度張量[17]為

(6)

δ=(δil,δjl,δkl)

(7)

式中：k,l=x,y,z。

磁偶極子的2階磁場梯度張量展開成3個矩陣Hx、Hy和Hz：

(8)

式中：主對角元素滿足：

Hxxx+Hyyx+Hzzx=0

(9)

Hx矩陣中共9個參數(shù)，但僅有5個獨立的參數(shù)，即Hxxx、Hxyx、Hxzx、Hyyx和Hyzx。

(10)

式中：主對角元素滿足：

Hxxy+Hyyy+Hzzy=0

(11)

Hy矩陣中共9個參數(shù)，但僅有5個獨立的參數(shù)，即Hxxy、Hxyy、Hxzy、Hyyy和Hyzy。

(12)

式中：主對角元素滿足：

Hzzz=-Hxxz-Hyyz

(13)

Hz矩陣中共9個參數(shù)，但僅有5個獨立的參數(shù)，即Hxxz、Hxyz、Hxzz、Hyyz和Hyzz。

2階磁場梯度張量H中共27個參數(shù)，由于(9)式、(11)式和(13)式，且考慮對稱性，僅有7個獨立的參數(shù)，即Hxxx、Hyyy、Hxxy、Hxxz、Hyyx、Hyyz和Hxyz。

2 基于磁偶極子的2階磁場梯度張量縮并

定義磁偶極子的2階磁場梯度張量的全局模量為

(14)

(14)式即為2階磁場梯度張量全局縮并，將2階磁場梯度張量H的全部27個元素變?yōu)橐粋€標量CH。

定義磁偶極子的2階磁場梯度張量局部模量CHx、CHy、CHz、CHxy、CHxz及CHyz，具體公式如下：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(15)式至(20)式為2階磁場梯度張量局部縮并，將2階磁場梯度張量H的若干元素變?yōu)闃肆緾Hx、CHy、CHz、CHxy、CHxz及CHyz。

根據(jù)(6)式可知，2階磁場梯度張量的27個參數(shù)均與磁矩的模M呈正比，與距離的5次方r5呈反比，即H∝M/r5。根據(jù)(14)式，進一步得到全局模量CH亦與磁矩的模M呈正比，與距離的5次方r5呈反比，即CH∝M/r5。結(jié)合1階磁場梯度張量的全局模量與磁偶極子的磁矩的模、磁偶極子至測量系統(tǒng)的距離等之間的關系[21-22]，給出2階磁場梯度張量的全局模量與磁偶極子的磁矩的模、磁偶極子至測量系統(tǒng)的距離等之間的關系為

(21)

式中：kH為僅與磁偶極子的軸線及磁性目標至測量系統(tǒng)連線夾角相關的參數(shù)。

由于H∝M/r5，通過(15)式～(20)式進一步得到局部模量亦與磁矩的模M呈正比，與距離的5次方r5呈反比，即CHx∝M/r5、CHy∝M/r5、CHz∝M/r5、CHxy∝M/r5、CHxz∝M/r5及CHyz∝M/r5。結(jié)合1階磁場梯度張量的局部模量與磁偶極子磁矩的模、磁偶極子至測量系統(tǒng)的距離等之間的關系[21-22]，給出2階磁場梯度張量的局部模量CHx、CHy、CHz、CHxy、CHxz及CHyz與磁偶極子的磁矩的模、磁偶極子至測量系統(tǒng)的距離等之間的關系為

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

式中：kHx、kHy、kHz、kHxy、kHxz及kHyz為與磁偶極子的軸線和磁性目標至測量系統(tǒng)連線的夾角及r/r二者相關的參數(shù)。

3 基于磁偶極子的2階磁場梯度張量縮并的仿真分析

由(2)式和(6)式，可分別計算1階和2階磁場梯度張量，以Bxx、Byy、Bxy和Hxxx、Hyyy、Hxyz為例比較1階磁場梯度張量和2階磁場梯度張量，計算結(jié)果如圖1～圖2所示。在圖1和圖2中，計算Bxx、Byy、Bxy和Hxxx、Hyyy、Hxyz時，為比較二者的三維空間分布規(guī)律，取M=1.0 A·m2，r=|r|=1.0 m。由于1階和2階磁場梯度張量均與磁矩的模M呈正比的線性關系，當磁矩的模取其他值時，對關于1階和2階磁場梯度張量比較得出的結(jié)論沒有影響；對于后續(xù)1階和2階磁場梯度張量的全局模量及相關參數(shù)的空間分布、相關參數(shù)具體取值的公式，以及1階和2階磁場梯度張量的全局模量與距離的關系比較得出來的結(jié)論，同樣適用于磁矩的模取其他值的情況。

圖1 1階磁場梯度的三維空間分布Fig.1 3D spatial distribution of first-order magnetic gradient

圖2 2階磁場梯度的三維空間分布Fig.2 3D spatial distribution of second-order magnetic gradient

由圖1和圖2可得，1階磁場梯度Bxx、Byy和Bxy的范圍分別為±4.13×10-7T/m、±4.13×10-7T/m和±2.88×10-7T/m；2階磁場梯度Hxxx、Hyyy和Hxyz的范圍分別為±1.58×10-6T/m2、±1.58×10-6T/m2和±9.64×10-7T/m2。在M=1.0 A·m2、r=|r|=1.0 m的情況下，Hxxx、Hyyy和Hxyz的絕對值最大值為Bxx、Byy和Bxy的絕對值最大值的3.35～3.83倍。

由(4)式和(14)式分別計算1階和2階磁場梯度張量的全局模量，即CG和CH，如圖3～圖4所示。在計算CG和CH時，取M=1.0 A·m2，r=|r|=1.0 m。

圖3 1階磁場梯度張量的全局模量CG的 三維空間分布Fig.3 3D spatial distribution of first-order magnetic gradient’s modulus CG

圖4 2階磁場梯度張量的全局模量CH的三維空間分布Fig.4 3D spatial distribution of second-order magnetic gradient’s modulus CH

由圖3和圖4可知，2階磁場梯度張量的全局模量CH與1階磁場梯度張量的全局模量CG極值分布相同：當?=0°時(cos ?=m·r/(Mr)，表示磁偶極子的軸線與磁性目標至測量系統(tǒng)連線夾角)，CH與CG取最大值；當?=90°時，CH與CG取最小值。

1階磁場梯度張量的全局模量CG的范圍為4.242 6×10-7～7.348 5×10-7T/m；2階磁場梯度張量的全局模量CH的范圍為23.238×10-7～37.947×10-7T/m2。在M=1.0 A·m2，r=|r|=1.0 m的情況下，CH最大值為CG最大值的5.16～5.48倍，其倍數(shù)大于磁場梯度張量(3.35～3.83倍)。

由(6)式、(14)式和(21)式，可計算kH值，其三維空間分布規(guī)律如圖5所示，部分數(shù)值見表1。在計算kH時，取M=1.0 A·m2，r=|r|=1.0 m。

圖5 kH值的三維空間分布Fig.5 3D spatial distribution of parameter kH

表1 kH值的理論反演值

由圖4和圖5可知，kH的三維空間分布規(guī)律與全局模量CH相同。同時，由表1可知，kH與距離r無關，只與?有關。?=0°時kH取最大值37.947 3；?=90°時kH取最小值為23.237 9。

將kH值與角度?之間進行擬合，則擬合公式為

kH=37.973 7-0.003 695?2+2.315 1×10-7?4

(28)

當90°≤?≤180°時，參數(shù)kH的取值與0°≤?≤90°對應的取值對稱。

kH的理論值分布曲線與擬合公式計算值的比較如圖6所示。

圖6 kH值的擬合Fig. 6 Fitting curve of parameter kH

由圖6可得：kH的理論值與擬合公式(28)式的計算值高度一致；理論反演值與擬合公式計算值誤差的最大值為0.028 31，均值為0.016 88，標準差為0.008 256。

2階磁場梯度張量的局部模量CHx、CHy、CHz、CHxy、CHxz、CHyz與M、r及?有關，在特殊情況下，當磁偶極子軸線與坐標軸的某個軸相同時，例如為z軸時，則CHz和CHxy僅與M、|r|及?相關，顯然在磁場梯度張量定位時更為簡便快速，因此，后面分析磁偶極子軸線方向為z軸方向時CHz和CHxy及參數(shù)kHz和kHxy，其三維空間分布規(guī)律如圖7～圖10所示。參數(shù)kHz和kHxy的具體取值如表2所示。

圖7 CHxy的空間分布Fig.7 Spatial distribution of parameter CHxy

圖8 kHxy值的空間分布Fig.8 Spatial distribution of parameter kHxy

圖9 CHz的空間分布Fig.9 Spatial distribution of parameter CHz

圖10 kHz值的空間分布Fig.10 Spatial distribution of parameter kHz

由圖7可知，對于相等距離r的測量位置：在0°≤?≤90°時，CHxy先增大、后減少；在?=35°時CHxy取最大值；在?=90°時CHxy取最小值。由圖8可知，kHxy的三維分布趨勢與CHxy一致。同時，由表2可知，kHxy和r無關，只和?有關。在?=0°時kHxy為24.000 0；在?=35°時kHxy取最大值25.806 7；在?=90°時kHxy取最小值17.492 9。

由圖9可得，對于相等距離r的測量位置：在0°≤?≤90°時CHz先減少后增加；在?=0°時Cz取最大值；在?=71°時CHz取最小值。通過圖10可知，kHz的三維分布與CHz相同。同時，由表2可知，kHz和r無關，只和?有關。在?=0°時，kHz取最大值29.3939；在?=71°時，kHz取最小值14.967 3；在?=90°時，kHz為15.297 1。

kHxy和kHz與r無關，只與?相關，kHxy和kHz可表示為

表2 kHxy和kHz值的理論反演值Table 2 Theoretical inversion value of parameterskHxy and kHz

kHxy=24.146 6-6.160 4×10-2?+9.320 3× 10-3?2-2.218 8×10-4?3+1.297 4×10-6?4

(29)

(30)

參數(shù)kHxy和kHz的理論分布曲線及其和擬合公式(29)式、(30)式的計算值的比較如圖11和圖12所示。

圖11 kHxy值的擬合Fig.11 Fitting curve of parameter kHxy

圖12 kHz值的擬合Fig.12 Fitting curve of parameter kHz

由圖11可得，kHxy的理論反演值與擬合公式(29)式計算值高度吻合；理論反演值與擬合公式計算值誤差的最大值為0.146 6，均值為0.032 49，標準差為0.021 36。

由圖12可得，kHz的理論反演值與擬合公式(30)式計算值高度吻合；理論反演值與擬合值誤差的最大值為0.182 0，均值為0.050 35，標準差為0.039 69。

4 基于磁偶極子的1階和2階磁場梯度張量及全局模量與距離的關系

取M=1.0 A·m2，當距離r=0.01 m、0.1 m、1 m、10 m、100 m、1 000 m時，由(2)式和(6)式，可分別計算不同距離情況下的1階和2階磁場梯度張量，以Bxx、Bxy和Hxxx、Hxyz為例，進行仿真分析，給出各自的取值范圍，比較1階磁場梯度張量和2階磁場梯度張量與距離r的規(guī)律，結(jié)果如表3所示。其中比值范圍為max(|Hxxx|)/max(|Bxx|)和max(|Hxyz|)/max(|Bxy|)中取值的最大值和最小值。

表3 1階和2階磁場梯度張量與距離的關系Table 3 Relationship between magnetic gradient and distance

由表3可知：

1)當距離從0.01 m增加到1 000 m時，1階磁場梯度Bxx的范圍從±4.13×10 T/m衰減到±4.13×10-19T/m，Bxy的范圍從±2.88×10 T/m衰減到±2.88×10-19T/m，Bxx和Bxy與距離的四次方呈反比，與(2)式中1階磁場梯度和距離的關系一致；2階磁場梯度張量Hxxx的范圍從±1.58×104T/m2衰減到±1.58×10-21T/m2，Hxyz的范圍從±9.64×103T/m2衰減到±9.64×10-22T/m2，Hxxx和Hxyz與距離的5次方呈反比，與(6)式中2階磁場梯度和距離的關系一致。

2)當距離為0.01 m、0.1 m、1 m時，2階磁場梯度張量的絕對值最大值大于1階磁場梯度張量，且在距離越小時，2階與1階磁場梯度張量的比值越大；即在較小距離時，2階磁場梯度張量比1階在數(shù)值上更大更敏感；距離越小，2階磁場梯度張量越敏感。

3)當距離為10 m、100 m、1 000 m時，2階磁場梯度張量的絕對值最大值小于1階磁場梯度張量，且距離越大，2階與1階磁場梯度張量的比值越?。患丛诰嚯x較大時，2階磁場梯度張量比1階在數(shù)值上更小且衰減更快，相對而言，此時1階磁場梯度張量更敏感。

4)由上所述可知，在磁性物體的探測過程中，如距離較遠，則采用1階磁場梯度張量更靈敏，如距離較近，則采用2階磁場梯度張量更靈敏；在磁測過程為了消除干擾磁場，當干擾磁場較遠時，采用2階磁場梯度張量更易消除干擾磁場，當干擾磁場較近時，采用1階磁場梯度張量更易消除干擾磁場。在實際應用時，可結(jié)合1階和2階磁場梯度張量進行使用，有助于同時提高靈敏度和消除地磁場等干擾磁場。

取M=1.0 A·m2，當距離r=0.01 m、0.1 m、1 m，10 m、100 m、1 000 m時，由(4)式和(14)式進行仿真分析，分別計算不同距離情況下的1階和2階磁場梯度張量的全局模量，即CG和CH，給出CG和CH的取值范圍，比較1階和2階磁場梯度張量的全局模量與距離的關系，結(jié)果如表4所示。

由表4可知：

1)當距離從0.01 m增加到1 000 m時，1階磁場梯度張量的全局模量CG的范圍從4.242 6×10～7.348 5×10 T/m衰減到4.242 6×10-19～7.348 5×10-19T/m，與距離的4次方呈反比，與(5)式中1階磁場梯度張量的全局模量和距離的關系一致；2階磁場梯度張量的全局模量CH的范圍從2.323 8×104～3.794 7×104T/m2衰減到2.323 8×10-21～3.794 7×10-21T/m2，與距離的5次方呈反比，與(21)式中2階磁場梯度張量的全局模量和距離的關系一致。

表4 1階和2階磁場梯度張量的全局模量與距離的關系Table 4 Relationship between magnetic gradient’s full modulus and distance

2)當距離為0.01 m、0.1 m、1 m時，2階磁場梯度張量的全局模量的最大值大于1階磁場梯度張量的全局模量，且在距離越小時，2階與1階磁場梯度張量的全局模量的比值越大；即在較小距離時，2階磁場梯度張量全局模量比1階在數(shù)值上更大更敏感；距離越小，2階磁場梯度張量的全局模量越敏感。

3)當r=10 m、100 m、1 000 m時，2階磁場梯度張量的全局模量最大值小于1階，且距離越大，2階與1階磁場梯度張量的全局模量的比值越小；即在r較大時，2階磁場梯度張量的全局模量在數(shù)值上比1階更小且衰減更快，相對而言，此時1階磁場梯度張量的全局模量更敏感。

4)由上述可知，在磁性物體的探測過程中，當距離較遠時，采用1階磁場梯度張量的全局模量更靈敏，當距離較近時，采用2階磁場梯度張量的全局模量更靈敏；在磁測過程為了消除干擾磁場，當干擾磁場較遠時，采用2階磁場梯度張量的全局模量更易消除干擾磁場，當干擾磁場較近時，采用1階磁場梯度張量的全局模量更易消除干擾磁場。在實際應用時，可結(jié)合1階和2階磁場梯度張量的全局模量進行使用，有助于同時提高靈敏度和消除地磁場等干擾磁場。

由(5)式和(21)式，可得到1階和2階磁場梯度張量的全局模量的比值與距離的關系式，即

(31)

由(31)式可知，對于同一個測點(由角度?和距離r確定)，若1階和2階磁場梯度張量的全局模量相等，則相應的距離r取值如下：

(32)

由于參數(shù)kH和kG均僅與?有關，則1階和2階磁場梯度張量的全局模量相等時對應的距離也僅與?相關，如表5所示。

表5 1階和2階磁場梯度張量的全局模量 相等時的距離Table 5 Relationship between angle and distance when CG=CH

由表5可得，如1階和2階磁場梯度張量的全局模量相等，則距離在5.164～5.477 m之間，具體數(shù)值僅與?相關。

由(32)式可知，當距離rCG，即2階磁場梯度張量的全局模量大于1階，距離越小，CH/CG的值越大；當距離r>kH/kG時，CHCG，2階磁場梯度張量的全局模量小于1階，距離越大，CH/CG的值越小。此規(guī)律與表4中的數(shù)據(jù)一致。

5 結(jié)論

1)本文提出了基于磁偶極子的2階磁場梯度張量縮并方法，探討了全局模量、局部模量及參數(shù)kH的三維空間分布，給出了相關參數(shù)kH、kHxy和kHz的近似計算公式，比較了1階和2階磁場梯度張量及全局模量與距離的關系。

2)0°≤?≤90°時，全局模量CH及參數(shù)kH隨著?增大而減小，在?=0°時最大，在?=90°時最小。0°≤?≤90°時，局部模量CHxy和kHxy隨?先增加后減少，當?=35°時最大，當?=90°時最??；局部模量CHz和kHz隨?先減少、后增加，當?=71°時最小，當?=0°時最大。

3)給出了2階磁場梯度張量的全局模量和局部模量的計算中相關參數(shù)kH、kHxy和kHz的近似計算公式，且理論反演值和擬合值吻合度極高。

4)在距離較近時，2階磁場梯度張量更敏感，2階磁場梯度張量及全局模量的取值大于1階；在距離較遠時，1階磁場梯度張量更敏感，2階磁場梯度張量及全局模量的取值小于1階。在實際應用時，可結(jié)合1階和2階磁場梯度張量的全局模量進行使用。

5)鑒于2階磁場梯度張量在磁場定位方面的應用價值，2階磁場梯度張量縮并方法有必要進一步的試驗驗證。