李旭東，張向文

（桂林電子科技大學電子工程與自動化學院，廣西 桂林 541004）

鋰離子電池是電動汽車的主要動力來源，其健康狀態(tài)(state of health，SOH)嚴重影響著電動汽車的安全性和續(xù)航里程[1-2]。電池管理系統(tǒng)(battery management system，BMS)通過監(jiān)測電池的狀態(tài)變化可以有效提高電池安全性并延長其使用壽命[3]。SOH是BMS監(jiān)測的重要信息，SOH可以反映電池的老化程度、剩余使用壽命和儲存電量能力。通過SOH 的準確估計，可以實現(xiàn)對電池退化性能的實時跟蹤，及時發(fā)現(xiàn)性能退化的電池單體并采取應對措施，延長電池組的使用壽命，提高電池組的使用安全性[4]。電池老化過程是一個長期緩慢的非線性變化過程，受充放電過程中溫度、充放電倍率、充放電深度及車輛行駛過程中振動等多種因素的影響，進行電池SOH的準確估計難度很大。

近年來國內(nèi)外研究人員對鋰離子電池SOH估計方法進行了廣泛深入的研究，主要的方法包括基于模型的方法和數(shù)據(jù)驅(qū)動方法[5-7]?；谀Ｐ偷姆椒ɡ秒姵氐牡刃щ娐纺Ｐ团c電化學模型進行SOH估計。等效電路模型不考慮電池內(nèi)部復雜的老化機理，將鋰離子電池等效為一個簡化的電路模型，故其不能全面反映鋰離子電池的動態(tài)變化過程，模型準確性不高。電化學模型通過對鋰離子電池老化機理的深入研究建立動態(tài)高階微分方程，模型復雜度較高，參數(shù)辨識求解比較困難，因此，基于模型的估計方法難度較大且估計精度不高?；跀?shù)據(jù)驅(qū)動的方法通過外部輸入特征，利用神經(jīng)網(wǎng)絡[8]、支持向量回歸(support vector regression，SVR)[9]和極限學習機(extreme learning machine，ELM)[10]等智能算法進行電池SOH 的估計。數(shù)據(jù)驅(qū)動優(yōu)越的非線性映射能力使數(shù)據(jù)驅(qū)動方法成為目前鋰離子電池SOH估計的熱門方法。

李超然等[11]利用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡的卷積核提取電壓、電流和溫度曲線中的共有特征信息，進行SOH的估計。徐超等[12]建立了等放電電壓差時間間隔與SOH 之間的映射模型，利用改進的動態(tài)布谷鳥搜索來優(yōu)化粒子濾波算法，實驗結(jié)果表明所提方法具有良好的適應性與精確性。郭永芳等[13]選擇不同擱置時間端電壓降作為老化特征，建立了一種加權(quán)混合型神經(jīng)網(wǎng)絡模型，提高了SOH 模型估計的魯棒性。Yang 等[14]從鋰離子電池老化循環(huán)的充電曲線中提取4個特征，采用灰色關(guān)聯(lián)度分析方法計算所選特征與SOH 之間的相關(guān)性，利用改進的高斯過程回歸模型進行SOH估計。Li等[15]從充放電曲線中提取現(xiàn)有SOH估計常用的重要特征共計69個，利用灰色關(guān)聯(lián)度分析計算與SOH的相關(guān)度，研究發(fā)現(xiàn)大多數(shù)特征與SOH的相關(guān)度在0.9以上。戴彥文等[16]從充電曲線中提取與SOH高度相關(guān)的特征，利用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡提取健康特征的局部特征，最終建立了自適應權(quán)重的長短期記憶網(wǎng)絡(long short-term memory，LSTM)與門控循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡模型，實驗結(jié)果表明該方法相較單一模型具有更高的估計精度。

由以上研究可以看出，數(shù)據(jù)驅(qū)動方法能對SOH進行較為準確的估計，但上述方法仍存在以下問題：①特征方面：單一特征難以準確反映鋰離子電池因容量再生現(xiàn)象引起的復雜退化趨勢，而采用多維特征時，特征之間的冗余降低了SOH 估計的效率；②模型方面：不同模型選擇的數(shù)據(jù)特征不同，并且在不同電池測試數(shù)據(jù)集的估計結(jié)果存在一定的差異，缺少具有良好泛化性能的數(shù)據(jù)驅(qū)動模型。

神經(jīng)網(wǎng)絡具有良好的非線性[17]，特別是Elman神經(jīng)網(wǎng)絡，在反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡的基礎上引入承接層，增強了系統(tǒng)的時變特性和動態(tài)特性，能夠以任意精度逼近任意非線性映射，具有一定的泛化性能。在鋰離子剩余使用壽命預測[18-19]中已經(jīng)得到了應用，但傳統(tǒng)的Elman網(wǎng)絡容易陷入局部最優(yōu)。

基于以上分析，本工作考慮Elman網(wǎng)絡的泛化性能和鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm，WOA)不易陷入局部最優(yōu)的特點，提出了一種基于主成分分析(principal component analysis，PCA)與WOA-Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡模型的鋰離子電池SOH估計方法。該方法利用PCA對所選特征進行降維，減小特征之間的冗余度。利用WOA算法優(yōu)化Elman神經(jīng)網(wǎng)絡的初始權(quán)值與初始閾值，提升Elman神經(jīng)網(wǎng)絡的準確性與泛化性。最后，利用3組電池實驗測試數(shù)據(jù)交替作為訓練集和測試集，對建立的基于WOA-Elman 的SOH 估計模型進行測試驗證。同時，通過與常用的LSTM、SVR和ELM以及未優(yōu)化的Elman模型比較，驗證本工作方法的準確性和泛化性能。

1 算法原理

1.1 PCA算法原理

PCA方法把由線性相關(guān)變量表示的特征轉(zhuǎn)換為少數(shù)幾個由線性無關(guān)變量表示的特征，線性無關(guān)變量表示的特征稱為主成分。分別計算每個主成分的貢獻率及主成分的累計貢獻率，當累計貢獻率達到85%以上時認為找到了可以近似表示原始特征的主成分[20]，因此，PCA方法在數(shù)據(jù)特征降維的同時可以獲得原始數(shù)據(jù)特征的大部分信息[21]。

利用PCA 方法對本工作所選特征進行降維，假設給定m×n的樣本特征矩陣H，hj表示第j列的樣本特征變量，其中，j= 1,2,…,n，PCA 的具體步驟如下：

（1）數(shù)據(jù)去中心化

根據(jù)式(1)對給定樣本特征數(shù)據(jù)進行去中心化處理，得到去中心化后的樣本特征矩陣H'。

（2）求協(xié)方差矩陣

根據(jù)式(2)計算去中心化后的樣本特征矩陣H'的協(xié)方差矩陣Ε。

（3）求協(xié)方差矩陣E的特征值與特征向量

通過求解式(3)得到協(xié)方差矩陣特征值的同時求出第j列樣本特征對應的特征向量aj。

式中，λ是特征值，特征值的個數(shù)為n個，I為單位矩陣。

（4）求樣本特征矩陣的γ個主成分

假定主成分個數(shù)為γ，則γ個主成分的累計貢獻率需要達到設定值。i= 1,2,…,γ個主成分的貢獻率與γ個主成分的累計貢獻率，按照式(4)～(5)進行計算。

當確定累計貢獻率達到設定值的主成分個數(shù)γ時，由式(6)可以計算樣本特征矩陣主成分。

1.2 Elman神經(jīng)網(wǎng)絡

Elman神經(jīng)網(wǎng)絡作為一種遞歸型神經(jīng)網(wǎng)絡，其輸出不僅與當前的輸入特征與權(quán)矩陣有關(guān)還與上一時刻輸出數(shù)據(jù)的反饋有關(guān)，通常包括輸入層、隱含層、承接層和輸出層。Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 Elman神經(jīng)網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of Elman neural network

Elman神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出神經(jīng)元可以用下面的非線性函數(shù)表示：

式中，v為輸出節(jié)點向量；x為隱含層節(jié)點單元向量；w3為隱含層到輸出層連接權(quán)值；g(*)為輸出神經(jīng)元的傳遞函數(shù)。

隱含層神經(jīng)元可以表示為：

式中，xd為反饋狀態(tài)向量；u為輸入向量；w1為承接層到隱含層的連接權(quán)值；w2為輸入層到隱含層連接權(quán)值；f(*)為隱含層神經(jīng)元的傳遞函數(shù)。

隱含層的輸出通過承接層的延遲和存儲，自聯(lián)到隱含層的輸入，因此存在下面的關(guān)系：

傳統(tǒng)的Elman神經(jīng)網(wǎng)絡由于初始權(quán)重與初始閾值的隨機性，訓練的網(wǎng)絡往往魯棒性不強，并且導致收斂速度變慢并容易陷入局部最優(yōu)。為了提高Elman神經(jīng)網(wǎng)絡模型的預測精度與穩(wěn)定性，需要對初始的權(quán)值與初始閾值進行優(yōu)化。

1.3 WOA算法原理

WOA是2016年Mirjalili等[22]在對鯨魚捕食獵物過程中個體相互協(xié)作和信息共享行為研究而提出的智能優(yōu)化算法，具有魯棒性好和不易陷入局部最優(yōu)的特點。WOA算法的具體尋優(yōu)步驟如下：

（1）包圍捕食

假定當前獵物被認為是最佳候選獵物，即將當前目標獵物作為可行解，對鯨魚初始位置向量進行更新，如式(10)所示。

式中，X(t+ 1)與X(t)分別為下一次迭代時鯨魚的位置與當前鯨魚的位置向量，A為隨機系數(shù)矩陣向量，D為當前迭代次數(shù)下鯨魚位置X(t)與最優(yōu)個體之間的距離。

隨機矩陣A與當前迭代次數(shù)下鯨魚位置X(t)與最優(yōu)個體X*(t)之間的距離D可以由式(11)～(13)表示。

式中，t為迭代次數(shù)，t= 1,2,…,T；在搜尋過程中收斂因子a由2 線性下降到0；C= 2r2；r1,r2是范圍在[0,1]之間隨機生成的向量。

（2）泡泡網(wǎng)更新環(huán)繞模式中的位置

鯨魚在撲食獵物的過程中不斷吐出氣泡，形成螺旋狀的“泡泡網(wǎng)”，進而將獵物越逼越緊，直至能一口吞下。在此過程中，鯨魚分別以相等的概率p通過包圍機制與螺旋上升兩種方式更新位置向獵物移動，其數(shù)學模型如下。

式中，D' =|X*(t) -X(t)|為鯨魚當前位置與獵物之間的距離；b為常數(shù)，l是范圍在[-1,1]之間的隨機數(shù)，p是[0,1]之間的隨機數(shù)。

（3）獵物搜索

WOA 算法從一系列初始可行解開始，通過不斷迭代改變位置，隨機矩陣A隨著迭代次數(shù)的增加不斷減小，當|A|≥1 時，鯨魚會擴大搜索范圍，隨機選擇一個可行解來更新鯨魚位置向量；當|A|< 1 時，鯨魚會選擇當前最優(yōu)解來更新鯨魚位置向量。

1.4 WOA算法優(yōu)化Elman

本工作選擇Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡作為鋰離子電池SOH估計的基本模型，利用WOA算法優(yōu)化Elman神經(jīng)網(wǎng)絡的權(quán)值與閾值，使其初始權(quán)值與閾值達到最優(yōu)，利用優(yōu)化后的Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡建立電池SOH估計模型。

WOA-Elman優(yōu)化的具體步驟如下：

①參數(shù)初始化，在Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡中隨機產(chǎn)生N組初始權(quán)值與初始閾值，并將初始權(quán)值與初始閾值作為鯨魚的位置向量，設置WOA 算法的最大迭代次數(shù)為T，種群數(shù)量為N。

②計算種群適應度，本工作選擇均方誤差作為適應度函數(shù)。

③記錄每次迭代的最優(yōu)適應度的個體位置，將優(yōu)化后的權(quán)值與閾值輸入Elman神經(jīng)網(wǎng)絡計算適應度值，最后記錄本次迭代中最優(yōu)適應度的個體位置。

④根據(jù)個體位置更新策略及個體位置。

⑤判斷終止條件。若迭代次數(shù)小于T，則循環(huán)執(zhí)行②～④，若大于等于迭代次數(shù)T或均方誤差小于設定值則輸出最優(yōu)解。

1.5 PCA與WOA-Elman的SOH估計框架

根據(jù)前面的PAC方法、WOA優(yōu)化方法和Elman神經(jīng)網(wǎng)絡，可以設計鋰離子電池的SOH 估計框架如圖2所示。

圖2 SOH估計框架Fig.2 The framework of SOH estimation

具體實現(xiàn)過程如下：

①獲取鋰離子電池老化過程的電壓電流變化數(shù)據(jù)，對電流電壓變化趨勢進行分析；

②從測量的電壓和電流數(shù)據(jù)中提取與SOH 相關(guān)度較高的特征，將測量數(shù)據(jù)劃分為訓練數(shù)據(jù)集和測試數(shù)據(jù)集；

③針對訓練集和測試集，分別利用皮爾森相關(guān)系數(shù)法對所選特征與SOH 的相關(guān)性進行判斷，計算特征之間的冗余度并對所選特征進行PCA降維；

④通過訓練集PCA 降維的特征建立Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡，利用WOA 優(yōu)化算法對Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡的初始權(quán)值與初始閾值進行優(yōu)化，建立WOA-Elman的SOH估計模型；

⑤將測試集數(shù)據(jù)經(jīng)過特征處理后獲得的PCA特征輸入訓練好的SOH 估計模型，進行鋰離子電池SOH估計算法的測試驗證。

2 實驗過程與特征處理

2.1 實驗過程

電池老化實驗是測試電池循環(huán)充放電過程容量逐漸下降至失效閾值的過程。電池SOH 常用鋰離子電池當前最大放電容量與出廠時的最大可用容量的比值進行定義[23]，即

式中，Qrate是當前周期下鋰離子電池可放出的最大容量，Qnew是初始最大放電容量。

采用三支同規(guī)格的松下三元NCR18650B鋰離子電池在室溫下進行老化實驗，分別標記為B01、B02、B03。鋰離子電池主要參數(shù)如表1所示。

表1 鋰離子電池主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of Li-ion battery

實驗過程的充放電策略如下：充電階段，在恒流(constant current，CC)階段以0.5 C(1600 mA)電流充電至截止電壓4.2 V，然后進入恒壓(constant voltage，CV)階段，電壓恒定在4.2 V恒壓充電，當電流降至0.01 C(32 mA)時，認為充電完成；放電階段，以1 C電流(3200 mA)放電至截止電壓。CC-CV充滿電后靜置30 min，然后進入放電階段，放電完畢后靜置30 min。老化測試流程如圖3所示，具體步驟如下：

圖3 老化測試流程Fig.3 Diagram of aging test

①首先進行初始最大放電容量的標定，根據(jù)充放電策略循環(huán)充放電3 次，以初始循環(huán)3 次的放電容量平均值作為初始最大放電容量。

②充放電循環(huán)測試。初始最大放電容量結(jié)束后進行充放電循環(huán)測試。根據(jù)充放電策略循環(huán)充放電。充電階段，在CC階段充電至截止電壓4.2 V，然后進入CV階段；靜置30 min后進入放電階段，當放電至截止電壓時靜置30 min。若本步驟循環(huán)次數(shù)等于20次則轉(zhuǎn)到步驟③，否則循環(huán)進行。

③混合脈沖功率特性(hybrid pulse power characteristic，HPPC)測試[24]，每重復20次充放電循環(huán)，進行一次HPPC測試。

④實驗停止條件：若SOH≤80%，則停止實驗，否則循環(huán)②～③步驟。

老化實驗測試系統(tǒng)實物圖如圖4所示，老化實驗充放電設備采用新威CT-4008T檢測系統(tǒng)，實驗數(shù)據(jù)實時上傳到上位機。圖5為三支電池的容量衰減曲線，可以看出容量衰減過程存在明顯的容量再生現(xiàn)象。

圖4 實驗測試系統(tǒng)實物圖Fig.4 Physical diagram of test system

圖5 電池的容量衰減曲線Fig.5 Capacity decay curves

2.2 特征提取

實際工況下CC充電階段和CV充電階段相對放電階段的電流電壓更為可控，故本工作利用CC-CV階段電壓電流變化曲線提取特征。為了方便分析CC階段與CV階段的電壓電流變化趨勢，根據(jù)B01號鋰離子電池的老化過程測量數(shù)據(jù)，詳細繪制了不同循環(huán)次數(shù)下的CC階段充電電壓變化曲線和CV階段的充電電流變化曲線。

CC 階段充電電壓的變化曲線如圖6 所示。以每60 次循環(huán)曲線的變化進行老化分析。隨著循環(huán)次數(shù)的增加，CC 充電階段充電時間TCC變短；CC階段的平均電壓VCC即為CC階段各時刻電壓值的總和與充電時間TCC的比值，隨著充電時間TCC的減小，平均電壓VCC增大。

圖6 CC階段充電曲線Fig.6 CC phase charging curves

CV 階段充電電流的變化曲線如圖7 所示。以每60次循環(huán)曲線的變化進行老化分析。隨著循環(huán)次數(shù)的增加，CV充電階段充電時間TCV變長；CV階段的平均電流ICV即為CV階段各時刻電流值的總和與充電時間TCV的比值，隨著充電時間TCV的增大，平均電流ICV減小。

圖7 CV階段充電曲線Fig.7 CV phase charging curves

通過對老化實驗CC-CV 階段鋰離子電池電壓與電流曲線的趨勢分析，可以看出CC 充電階段的充電時間TCC與平均電壓VCC，CV充電階段的充電時間TCV與平均電流ICV與循環(huán)次數(shù)有著明顯的相關(guān)性。

如表2所示為本工作選擇的CC與CV階段的特征，同時參考文獻[25]選擇從3.5 V上升到4.0 V等壓升時間差TDVF和電流從0.5 A下降到0.1 A的等電流降時間差TDIF也作為本工作特征。

表2 CC與CV階段特征Table 2 CC-CV features

2.3 PCA特征降維

特征降維是為了提取維度低、冗余度小并且能最大化地反映原始數(shù)據(jù)的主要特征。下面分別計算三組鋰離子電池所選特征與實際SOH 的皮爾森相關(guān)系數(shù)，然后對所選特征之間進行冗余度判斷，最后利用PCA對所選特征進行降維。

皮爾森相關(guān)系數(shù)可以按照下式計算：

式中，COV(F,SOH)表示特征F與SOH 的協(xié)方差，σF與σSOH分別為特征F與SOH的標準差。ρ表示相關(guān)系數(shù)，其趨近于-1或者1時代表兩者具有較強的相關(guān)性[26]，正負號分別表示正相關(guān)與負相關(guān)，ρ為0時則表示二者相互獨立。

利用式(16)分別計算三組鋰離子電池所選的6個特征與SOH之間的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表3所示?？梢钥闯?，不同特征與SOH 之間均存在較高的相關(guān)度，說明了所選特征的有效性與泛化性。

表3 特征與SOH的相關(guān)度Table 3 Correlation between features and SOH

為判斷特征之間的冗余度，利用方差膨脹因子(variance inflation factor，VIF)對所選特征進行共線性診斷。VIF 是以每個特征分別作為因變量，被其余特征作為自變量進行回歸解釋，以此來判斷是否存在多重共線性的一種方法。一般認為VIF>10時特征之間冗余度比較嚴重。

VIF計算公式如式(17)所示：

式中，R2是當前特征被其余特征建立的多元線性回歸模型描述的決定系數(shù)。

利用式(17)分別計算三組鋰離子電池所選的6 個特征之間的VIF，結(jié)果如表4 所示。可以看出，在三組鋰離子電池中所選特征VIF均大于10，說明了所選特征之間存在較高的冗余度即特征之間存在共線性關(guān)系。

表4 特征之間的VIFTable 4 VIF features between

為了降低特征之間的冗余度，利用PCA 方法對特征進行降維，如表5所示為三組鋰離子電池的特征經(jīng)過PCA降維后得到的主成分貢獻率，可以看出在三組電池數(shù)據(jù)中，主成分1的貢獻率均已經(jīng)超過了95%，即主成分1能較好的反映原始數(shù)據(jù)的主要特征。

表5 主成分貢獻率Table 5 Contribution rate of principal component

為了驗證主成分1對SOH的表達能力，計算三組鋰離子電池中使用PCA 方法得到的主成分與SOH實際值的皮爾森相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表6所示?？梢钥闯?，降維后得到的主成分1與SOH存在較高的相關(guān)度，說明PCA方法得到的主成分1能夠有效反映鋰離子電池的退化趨勢，因此，下面利用主成分1進行SOH估計方法的研究。

表6 主成分1與SOH的相關(guān)度Table 6 Correlation between principle component 1 and SOH

3 實驗驗證與結(jié)果分析

3.1 WOA-Elman模型的建立

將PCA降維后得到的主成分1作為模型的輸入，對應的SOH作為訓練集的輸出，建立Elman模型，利用WOA 對Elman 模型的初始權(quán)值與初始閾值進行優(yōu)化，建立SOH估計的WOA-Elman模型。經(jīng)過多次對比實驗，最終選擇Elman 與WOA 的參數(shù)如表7～8所示。

表7 Elman網(wǎng)絡參數(shù)設置Table 7 Parameters of Elman

表8 WOA參數(shù)設置Table 8 Parameters of WOA

為了驗證WOA-Elman 模型的有效性及準確性，以B01號鋰離子電池特征的主成分1作為輸入特征，對應的SOH作為模型的輸出，得到鋰離子電池老化過程中主成分1與SOH的映射關(guān)系，進行模型的訓練。訓練過程中，模型的適應度變化曲線如圖8所示，可以看出，模型迭代23次就趨向于穩(wěn)定。

圖8 個體適應度Fig.8 Individual fitness

利用訓練好的模型，通過B02和B03號鋰離子的數(shù)據(jù)作為測試集進行測試驗證。驗證時，模型的輸入為電池降維后的主成分1，輸出分別為B02和B03鋰離子電池的SOH估計值。

B02號鋰離子電池的SOH估計結(jié)果如圖9所示，可以看出，相比于Elman模型，WOA-Elman模型具有更優(yōu)的估計跟蹤能力，估計準確性更好。

圖9 B02號鋰離子電池的SOH估計結(jié)果Fig.9 SOH estimation results of B02

為了對估計結(jié)果進行定量評價，定義如式(18)～(20)所示的均方根誤差(root mean square error，RMSE)、平均絕對百分誤差(mean absolute percentage error，MAPE)和平均絕對誤差(mean absolute error，MAE)作為估計結(jié)果準確性的誤差量化標準。

式中，yc和y?c為第c次循環(huán)次數(shù)SOH的實際值和估計值，c= 1,2,…,C。

3.2 模型有效性分析

為了進一步驗證本工作方法的優(yōu)越性，將本工作方法與LSTM、SVR 和ELM 這三種目前常見的SOH估計模型以及未優(yōu)化的Elman模型進行對比。B02 號鋰離子電池的SOH 估計誤差量化結(jié)果比較如表9所示。

表9 B02號鋰離子電池的誤差量化結(jié)果Table 9 Error quantization results of B02 battery

由表9可知，本工作所使用的方法的RMSE較Elman 模型、LSTM 模型、SVR 模型和ELM 模型分別降低了24.9%、25.3%、26.9%和26.5%，MAPE較Elman模型、LSTM模型、SVR模型和ELM模型分別降低了25.0%、13.0%、24.4%和26.8%，MAE較Elman模型、LSTM模型、SVR模型和ELM模型分別降低了24.4%、13.9%、23.3%和26.1%。

為了驗證以B01號鋰離子電池數(shù)據(jù)集訓練的模型的泛化性，利用同樣的模型對B03號鋰離子電池的SOH 進行測試驗證，不同模型的估計誤差量化結(jié)果如表10所示。

表10 B03號鋰離子電池的誤差量化結(jié)果Table 10 Error quantization results of B03 battery

由表10可知，本工作所使用的方法的RMSE較Elman 模型、LSTM 模型、SVR 模型和ELM 模型分別降低了8.7%、39.6%、10.8%和10.4%，MAPE較Elman模型、LSTM模型、SVR模型和ELM模型分別降低了17.5%、31.3%、20.3%和19.9%，MAE較Elman模型、LSTM模型、SVR模型和ELM模型分別降低了16.9%、33.2%、19.9%和19.6%。

由表9與表10的分析可知，相比于Elman模型、LSTM模型、SVR模型和ELM模型，本工作所使用的WOA-Elman模型在B02號與B03號鋰離子電池SOH估計中誤差最小，另外，未經(jīng)優(yōu)化的Elman模型在B03號電池估計中誤差接近WOA-Elman模型，但在B02 號電池中誤差遠大于WOA-Elman 模型，說明未經(jīng)優(yōu)化的Elman模型適應性不強，因此，本工作所提WOA-Elman模型具有較好的泛化性能。

3.3 模型的穩(wěn)定性和泛化性分析

為了進一步驗證所提方法的準確性與泛化性，下面分別采用B02號電池和B03號電池作為訓練集進行模型的訓練，然后，利用對應的B01號電池與B03號電池以及B01號電池與B02號電池作為測試集進行模型的驗證。

為了更直觀的顯示不同模型的估計誤差，分別繪制B02 號電池數(shù)據(jù)訓練模型估計B01 號電池和B03號電池的誤差柱狀圖，如圖10和11所示。

圖10 B01號鋰離子電池的誤差柱狀圖Fig.10 Error histogram of B01

利用B03號電池數(shù)據(jù)訓練模型估計B01和B02號電池SOH，其誤差柱狀圖如圖12和13所示。

圖11 B03號鋰離子電池的誤差柱狀圖Fig.11 Error histogram of B03

圖12 B01號鋰離子電池的誤差柱狀圖Fig.12 Error histogram of B01

圖13 B02號鋰離子電池的誤差柱狀圖Fig.13 Error histogram of B02

對以上3組電池以其中一組為訓練集建立模型對其余兩組作為測試集進行模型驗證。在以B01號電池為訓練集建立模型估計B02 號電池結(jié)果來看，其中均方根誤差由小到大排序依次為WOA-Elman、Elman、LSTM、ELM 和SVR；估計B03 號電池，其中均方根誤差由小到大排序依次為WOA-Elman、Elman、ELM、SVR和LSTM。可以看出WOA-Elman模型的穩(wěn)定性較好，估計誤差都是最小的，而LSTM、ELM和SVR模型估計誤差相對較小，但在兩個不同測試集下誤差存在波動，對B02號電池，LSTM優(yōu)于ELM和SVR，而對B03號電池，ELM和SVR優(yōu)于LSTM。

在以B02號電池為訓練集建立模型估計B01號電池結(jié)果來看，其中均方根誤差由小到大排序依次為WOA-Elman、SVR、Elman、ELM和LSTM；從估計B03號電池結(jié)果可知，其中均方根誤差由小到大排序依次為WOA-Elman、SVR、LSTM、Elman和ELM?？梢钥闯鯳OA-Elman模型的誤差仍然保持最小，而LSTM、ELM和SVR模型誤差相對較小但存在波動，對B01號電池，ELM優(yōu)于LSTM，對B03號電池，LSTM優(yōu)于Elman和ELM。

在以B03號電池為訓練集建立模型估計B01號電池結(jié)果來看，其中均方根誤差由小到大排序依次為WOA-Elman、SVR、Elman、ELM和LSTM；估計B02號電池，其中均方根誤差由小到大排序依次為WOA-Elman、SVR、Elman、ELM和LSTM?？梢钥闯鰧蓚€電池，WOA-Elman模型估計誤差都最小，并且LSTM、ELM和SVR模型誤差在兩次測試中誤差排序一致，但誤差均大于WOA-Elman模型。

為了更清楚顯示不同電池訓練集對算法估計結(jié)果的影響，分析不同算法的泛化性能，本工作選擇誤差量化標準中的典型代表RMSE作為估計偏差的判斷依據(jù)，任意選擇兩組電池測試數(shù)據(jù)分別建立模型估算第三組電池的SOH，計算估算結(jié)果的RMSE的差的絕對值進行這種估計算法偏差的評價。計算得到不同算法估計三組電池的偏差結(jié)果如表11所示。

表11 不同算法估計三組電池的偏差Table 11 Estimation deviation of three batteries with different algorithms

由表11可知，WOA-Elman模型對三組電池的估計偏差都最小，B01號電池偏差為0.1483%，B02號偏差為0.0585%，B03 號電池的偏差為0.1771%。LSTM 模型對三組電池的估計偏差比WOA-Elman模型稍大，也比較穩(wěn)定，而Elman、SVR和ELM在不同電池中的偏差波動比較大，因此，WOA-Elman模型具有最好的泛化性能，訓練集對模型的影響最小，而訓練集對Elman、SVR和ELM模型的影響比較大，沒有很好的泛化性能。

綜上所述，通過分別選擇不同的電池訓練集建立的模型對其他電池測試集進行估計分析，發(fā)現(xiàn)WOA-Elman模型的SOH估計誤差最小，并且不同訓練集對估計結(jié)果的影響最小，即WOA-Elman模型的泛化性能最好，估計結(jié)果的穩(wěn)定性最好。

4 結(jié)論

（1）從鋰離子電池恒流恒壓充電曲線中提取了與SOH高度相關(guān)的6個特征：TCC、VCC、TDVF、TCV、ICV、TDIF，計算所選特征在三組鋰離子電池中與SOH 的皮爾森相關(guān)系數(shù)均在0.95 以上并且特征之間的VIF最小為22，因此，不同特征之間存在嚴重的共線性，利用PCA 方法對特征進行降維，降低特征之間的冗余度，降維后的三組電池的主成分1與SOH皮爾森相關(guān)系數(shù)均在0.97以上，表明PCA方法得到的主成分1能夠有效反映鋰離子電池的衰退趨勢，可以用于SOH的估計。

（2）利用WOA 對Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡的初始權(quán)值與初始閾值進行了優(yōu)化，建立了WOA-Elman模型，將降維后得到的主成分1作為輸入，以B01號電池測試數(shù)據(jù)訓練模型，利用B02與B03號電池進行驗證，通過與常見的LSTM、SVR 和ELM 以及未優(yōu)化的Elman四種SOH估計模型比較，結(jié)果顯示，WOAElman 模型在B02 與B03 號電池SOH 估計中誤差最小，RMSE最大僅為1.2113%與0.9057%，表明WOA-Elman模型具有更高的估計精度。

（3）交替使用三組電池數(shù)據(jù)作為訓練集建立SOH估計模型，估計其余兩組電池的SOH，通過比較不同模型估計誤差的偏差分析模型的泛化性能，結(jié)果顯示，相對于常用的LSTM、SVR和ELM以及未優(yōu)化的Elman 模型，WOA-Elman 模型在三組電池中的估計誤差的偏差都最小，其SOH 的RMSE估計偏差分別僅為0.1483%、0.0585%和0.1771%，表明WOA-Elman模型具有更好的泛化性能。

（4）與LSTM、SVR 和ELM 以及未優(yōu)化的Elman模型相比，本工作所提出的方法具有更高的精度與泛化性能，在后續(xù)工作中，會進一步探索更多智能算法模型估計SOH，進一步提升SOH 估計的精度與模型的泛化性能。