趙 蒙,王明宇,王 健,喬 睿
(1.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院, 西安 710051; 2. 93792部隊(duì), 河北 廊坊 065000)
彈道導(dǎo)彈具有射程遠(yuǎn)、速度快、威力大、突防能力強(qiáng)、打擊精度高等特點(diǎn),已經(jīng)成為現(xiàn)代高科技戰(zhàn)爭(zhēng)中的殺手锏武器。由于彈道導(dǎo)彈彈頭RCS非常小而且還攜帶有強(qiáng)電磁干擾,一般預(yù)警雷達(dá)系統(tǒng)難以穩(wěn)定的跟蹤目標(biāo),為此,如何獲取相對(duì)準(zhǔn)確的彈道數(shù)據(jù)是眾多研究者關(guān)注的熱點(diǎn)之一[1-5]。目前主要有2種途徑,一種是通過衛(wèi)星、雷達(dá)等設(shè)備的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來擬合、外推彈道目標(biāo)的彈道軌跡;另一種是通過數(shù)據(jù)仿真的方法來生成目標(biāo)彈道軌跡[6-7]。事實(shí)上,在戰(zhàn)前幾乎無(wú)法通過第一種手段獲敵方彈道導(dǎo)彈彈道軌跡數(shù)據(jù),為此彈道仿真技術(shù)成為分析對(duì)手彈道數(shù)據(jù)的首選方法。近些年來,國(guó)內(nèi)外學(xué)者在彈道仿真方面開展了大量研究工作,但是不同程度的存在一些不足之處,文獻(xiàn)[8-9]根據(jù)彈道目標(biāo)運(yùn)動(dòng)規(guī)律,分別建立了彈道目標(biāo)動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程用于彈道飛行軌跡的預(yù)測(cè),但是所建模型中沒有包含彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段模型。文獻(xiàn)[10]根據(jù)彈道導(dǎo)彈性能建立了包含不同飛行階段的彈道模型,但是該方法沒有考慮彈道導(dǎo)彈在主動(dòng)段的飛行特性。文獻(xiàn)[11]在分析導(dǎo)彈各階段受力情況的基礎(chǔ)上,建立了參數(shù)時(shí)變的多級(jí)彈道模型,但是該模型只是在導(dǎo)彈速度矢量和位置矢量所決定的平面內(nèi)建立二維的運(yùn)動(dòng)模型。文獻(xiàn)[12]在分析常用彈道仿真模型的基礎(chǔ)上,提出了一種基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型與歷史實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的彈道仿真方法,但該模型無(wú)法實(shí)現(xiàn)全彈道的仿真,并且仿真精度還受到測(cè)量數(shù)據(jù)的影響。文獻(xiàn)[13]以流體力學(xué)原理為基礎(chǔ),提出一種適用于彈道實(shí)時(shí)仿真的低空風(fēng)切變復(fù)合模型,但該模型適用范圍有限,只能應(yīng)用近地上空彈道仿真。文獻(xiàn)[14]依據(jù)彈道導(dǎo)彈不同階段的運(yùn)動(dòng)特性建立了6自由度仿真模型,并利用遺傳算法研究了彈道參數(shù)優(yōu)化問題,但是忽略了主動(dòng)段飛行程序的部分約束條件。
本文在深入分析彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段飛行方案的基礎(chǔ)上,分三步設(shè)計(jì)了彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段運(yùn)動(dòng)程序,根據(jù)彈道導(dǎo)彈在主動(dòng)段、自由飛行階段和再入段的受力情況,聯(lián)合主動(dòng)段飛行程序,構(gòu)建了包含了攝動(dòng)力、大氣阻力等因素的彈道導(dǎo)彈全彈道動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,并對(duì)彈道導(dǎo)彈在各階段的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了仿真研究,以期為反導(dǎo)攔截系統(tǒng)研究分析彈道導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)特性、規(guī)律提供一定的參考和借鑒。
彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段飛行程序是指導(dǎo)彈主動(dòng)段俯仰角隨時(shí)間變化的規(guī)律,主動(dòng)段飛行程序的設(shè)計(jì)是彈道導(dǎo)彈總體設(shè)計(jì)工作中的重要組成部分,直接影響導(dǎo)彈戰(zhàn)術(shù)、技術(shù)指標(biāo)能力的有效發(fā)揮[15-16]。設(shè)飛行過程中導(dǎo)彈傾角為φ(t)、彈道傾仰角為φ(t)、導(dǎo)彈攻角為α(t),三者關(guān)系如下:
φ(t)=φ(t)+α(t)
(1)
在主動(dòng)段由于導(dǎo)彈要穿越稠密大氣層、克服大氣阻力,為了減小空氣動(dòng)力對(duì)彈道的影響,彈道在整個(gè)主動(dòng)段飛行過程中攻角α(t)一般都趨近于零(不大于3°),一般可忽略不計(jì),因此可認(rèn)為彈道導(dǎo)彈在主動(dòng)段飛行過程中其推力方向始終與速度方向一致。主動(dòng)段不僅要盡快使導(dǎo)彈穿越稠密大氣層以減小阻力帶來的速度損失,還要考慮導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎時(shí)的法向過載使導(dǎo)彈具備較高的操縱效率。為了滿足這些要求,彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段飛行程序通常又細(xì)分為3個(gè)階段,分別為垂直上升段、轉(zhuǎn)彎段、瞄準(zhǔn)段,最終使導(dǎo)彈在主動(dòng)段終點(diǎn)達(dá)到理想的彈道傾角φe(t)和速度矢量Ve。對(duì)于單級(jí)導(dǎo)彈,其主動(dòng)段的飛行程序通常按以下方式設(shè)計(jì)。
垂直上升段(0~t1):垂直起飛能夠讓導(dǎo)彈快速穿越稠密大氣層減小空氣阻力的影響,但是時(shí)間t1不宜過大也不能太小,過大不僅容易造成彈道轉(zhuǎn)彎過載增大,而且還會(huì)增加重力帶來的速度損失。t1取值過小,無(wú)法保證導(dǎo)彈推力發(fā)動(dòng)機(jī)在t1時(shí)刻達(dá)到額定工作狀態(tài)。在0~t1時(shí)間內(nèi),導(dǎo)彈傾角、彈道傾仰角、導(dǎo)彈攻角分別為:
(2)
t1通常是根據(jù)導(dǎo)彈的重推比確定,一般來說導(dǎo)彈的重推比越小,導(dǎo)彈的推力就越大,所以主動(dòng)段的加速度就越大,導(dǎo)彈就可以在較短時(shí)間內(nèi)達(dá)到相應(yīng)的高度,因此垂直上升段時(shí)間t1就可適當(dāng)取小一點(diǎn)。反之導(dǎo)彈的重推比越大,t1的取值應(yīng)該大一些。
轉(zhuǎn)彎段(t1~t2):在t1~t2時(shí)間段由于導(dǎo)彈開始按照飛行程序角進(jìn)入轉(zhuǎn)彎狀態(tài),導(dǎo)彈的攻角α(t)不等于零,為了減小空氣對(duì)導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎的影響,必須控制攻角α(t)的大小。在轉(zhuǎn)彎段飛行程序設(shè)計(jì)時(shí),通常要依據(jù)導(dǎo)彈的飛行狀態(tài)控制攻角的幅度,在這個(gè)階段導(dǎo)彈傾角、攻角由式(3)確定。
(3)
瞄準(zhǔn)段(t3~tend):為了便于彈道導(dǎo)彈在主動(dòng)段結(jié)束時(shí)刻tend處順利實(shí)施頭體分離、減小彈頭的落點(diǎn)散布,該段時(shí)間中導(dǎo)彈的傾角φ(t)設(shè)計(jì)為一常值,因此也可稱為常值飛行段。該階段內(nèi)導(dǎo)彈的傾角基本保持不變,即
φ(t)=φ(t3)
(4)
上述內(nèi)容為彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段飛行程序設(shè)計(jì)的一般工程實(shí)踐方法,對(duì)于擔(dān)負(fù)具體作戰(zhàn)任務(wù)的彈道來講,需要根據(jù)具體的作戰(zhàn)需求設(shè)計(jì)滿足要求的飛行程序。
在導(dǎo)彈的實(shí)際飛行過程中,由于實(shí)際的物理現(xiàn)象和過程往往非常復(fù)雜,為了便于建立模型,需要對(duì)一些過程和變量進(jìn)行近似等效。建模過程中將導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)視為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng),導(dǎo)彈在主動(dòng)段飛行過程中,主要受到推力、地心引力、空氣阻力、升力、柯式慣性力、牽連慣性力、攝動(dòng)力等,下面對(duì)彈道導(dǎo)彈的受力情況進(jìn)行分析。
在主動(dòng)段,為了保持導(dǎo)彈的穩(wěn)定性彈道導(dǎo)彈的攻角非常小,基本是一個(gè)重力轉(zhuǎn)彎過程,而發(fā)動(dòng)機(jī)推力的方向始終沿著彈體軸線方向,所以推力加速度方向與導(dǎo)彈的速度方向一致。設(shè)導(dǎo)彈的發(fā)動(dòng)機(jī)推力為P,則推力加速矢量為:
(5)
空氣阻力的矢量方向始終與導(dǎo)彈速度矢量的方向相反,空氣阻力加速度可以表達(dá)為:
(6)
式中:Cd是阻力系數(shù);S為導(dǎo)彈的等效橫截面積;ρ為大氣密度;m(t)為導(dǎo)彈的瞬時(shí)質(zhì)量。
大氣密度ρ是高度的函數(shù),可表達(dá)為
ρ=ρ0e-kh
(7)
其中:h為導(dǎo)彈距離地面的高度;ρ0=1.22 kg/m3;k=0.141 41×10-2m-1。
導(dǎo)彈的瞬時(shí)質(zhì)量m(t)與導(dǎo)彈起飛質(zhì)量、燃料消耗率、燃燒時(shí)間有關(guān),可表示為
(8)
地心引力加速度伴隨著導(dǎo)彈的整個(gè)飛行過程,由于導(dǎo)彈與地球的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于與其他星球的距離,因此其他星球?qū)?dǎo)彈的引力相對(duì)于地球?qū)?dǎo)彈的引力非常小,可忽略不計(jì)。設(shè)導(dǎo)彈的位置矢量為r,則其重力加速度矢量為:
(9)
在彈道導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)過程中,除受到重力、推力、空氣阻力之外還受到柯式慣性力、牽連慣性力、攝動(dòng)力的影響。由于柯式慣性力、牽連慣性力對(duì)導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡影響很小,基本可忽略,因此只考慮地球攝動(dòng)力影響,有
(10)
式中:J2=1.082 63×10-3;re為地球半徑;rx、ry、rz分別為r在各軸的分量。
所以彈道導(dǎo)彈在主動(dòng)段的加速度向量可表示為:
a=ap+ag+ad+ah=
(11)
在地心慣性坐標(biāo)系下,設(shè)彈道發(fā)射時(shí)的方位角為θ,忽略導(dǎo)彈的橫向運(yùn)動(dòng),根據(jù)彈道導(dǎo)彈在助推段飛行過程中的受力情況,可得助推段彈道導(dǎo)彈質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程為
(12)
在主動(dòng)段,彈道導(dǎo)彈的傾角主要是按照飛行程序的設(shè)計(jì)進(jìn)行變化。
(13)
其中n為迭代步長(zhǎng)。因此給定彈道導(dǎo)彈目標(biāo)參數(shù)及其初值,利用Runge-Kutta積分就可以得到任意時(shí)刻目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)信息。
一般情況下,在彈道導(dǎo)彈的主動(dòng)段發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)之后,彈道導(dǎo)彈進(jìn)入自由飛行階段,此時(shí)彈道導(dǎo)彈基本已經(jīng)穿過大氣層,近似在真空中飛行,大氣對(duì)彈道導(dǎo)彈的阻力幾乎為零,所以在自由飛行段彈道導(dǎo)彈只受到重力和攝動(dòng)力的影響,因此自由飛行段彈道導(dǎo)彈質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程為
(14)
在自由飛行段,彈道導(dǎo)彈傾角主要是在重力的作用下緩慢變化,在導(dǎo)彈高度上升段逐漸減小,達(dá)到彈道最高點(diǎn)時(shí)彈道傾角為零。在導(dǎo)彈高度下降段導(dǎo)彈的傾角值為負(fù)并且不斷減小。φ(t)由t時(shí)刻導(dǎo)彈的位置矢量r和速度矢量v決定,具體可通過式(15)計(jì)算。
(15)
在彈道導(dǎo)彈再次進(jìn)入大氣層后,彈道導(dǎo)彈主要受到大氣阻力、地心引力和攝動(dòng)力的影響,彈道導(dǎo)彈的彈頭既有縱向的運(yùn)動(dòng)、又有橫向的運(yùn)動(dòng),當(dāng)橫向運(yùn)動(dòng)比較小并被忽略時(shí),在彈頭再入大氣層運(yùn)動(dòng)過程中,始終認(rèn)為彈頭在再入大氣層時(shí)的速度矢量和再入大氣層時(shí)的位置所決定的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。因此再入段彈道導(dǎo)彈質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程為
(16)
該階段的導(dǎo)彈傾角與自由飛行段的彈道傾角計(jì)算方法相同。
以射程3 000 km左右、兩級(jí)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的彈道導(dǎo)彈為例,在地心慣性坐標(biāo)系下對(duì)模型的有效性進(jìn)行仿真驗(yàn)證,設(shè)彈道導(dǎo)彈的發(fā)射點(diǎn)坐標(biāo)為(-323 637,-5 144 076,3 744 779),地理坐標(biāo)為東經(jīng)86.40°、北緯36.06°,彈道導(dǎo)彈的仿真參數(shù)見表1所示。
表1 仿真參數(shù)
按照彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段飛行程序設(shè)計(jì),主動(dòng)段的飛行程序主要是導(dǎo)彈飛行傾角隨時(shí)間的變化規(guī)律。多級(jí)火箭助推的彈道導(dǎo)彈其轉(zhuǎn)彎段主要由一級(jí)火箭實(shí)現(xiàn),主要原因是在該階段內(nèi)導(dǎo)彈的飛行速度相對(duì)較小,有利于實(shí)現(xiàn)快速轉(zhuǎn)彎。根據(jù)彈道導(dǎo)彈的相關(guān)參數(shù),設(shè)置主動(dòng)段的垂直上升時(shí)間t1=15 s,轉(zhuǎn)彎時(shí)間t2=40 s,瞄準(zhǔn)段時(shí)間t3=10+2+50 s。其中2 s是一級(jí)火箭與二級(jí)火箭助推器級(jí)間分離時(shí)間,50 s是二級(jí)火箭燃燒時(shí)間,主動(dòng)段飛行程序如圖1所示。由圖1可見,所設(shè)計(jì)的飛行程序在彈道導(dǎo)彈垂直起飛段結(jié)束后開始執(zhí)行程序轉(zhuǎn)彎,轉(zhuǎn)彎開始時(shí)導(dǎo)彈的速度較小,此時(shí)彈道以較大的角速度進(jìn)行轉(zhuǎn)彎,實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈的快速轉(zhuǎn)彎。到轉(zhuǎn)彎后期隨著導(dǎo)彈速度的不斷增大,轉(zhuǎn)彎的角速度逐漸減小,導(dǎo)彈進(jìn)入緩慢轉(zhuǎn)彎狀態(tài),達(dá)到了轉(zhuǎn)彎過程中保持導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的要求。
圖1 主動(dòng)段飛行程序曲線Fig.1 Flight program curve of the active phase
根據(jù)彈道導(dǎo)彈在各階段的運(yùn)動(dòng)方程,使用四階Runge-Kutta積分解算彈道方程,根據(jù)計(jì)算得到彈道導(dǎo)彈的落點(diǎn)坐標(biāo)為(-867 878,-2 935 684,5 587 847),地理坐標(biāo)為東經(jīng)73.53°、北緯61.41°,射程為2 954 km,總飛行時(shí)間為1 222 s,彈道最大高度為1 058 km,到達(dá)彈道最高點(diǎn)的時(shí)間為648 s。
圖2為彈道導(dǎo)彈主體彈道各個(gè)飛行階段導(dǎo)彈的飛行軌跡。根據(jù)圖2可見,彈道導(dǎo)彈的主動(dòng)段和再入段在整個(gè)彈道導(dǎo)彈飛行過程中占比很小,大部分時(shí)間彈道導(dǎo)彈都處于自由飛行段,在1 222 s的飛行過程中主動(dòng)段飛行時(shí)間只有117 s,基本只占整個(gè)彈道的1/10。圖3是導(dǎo)彈彈頭和兩級(jí)助推器在地心慣性坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)軌跡,一級(jí)助推器相對(duì)于二級(jí)助推器飛行過程很短,這主要是因?yàn)橐患?jí)助推器分離時(shí)速度和高度相對(duì)較小。圖4是彈頭和兩級(jí)助推器飛行高度隨時(shí)間的變化曲線,由圖4可見,在主動(dòng)段導(dǎo)彈的高度隨時(shí)間變化比較緩慢,并且能夠清楚的獲得彈道最高點(diǎn)高度和到達(dá)彈道最高點(diǎn)的飛行時(shí)間。
圖2 主體彈道飛行軌跡Fig.2 Main body trajectory
圖3 彈頭和助推器的飛行軌跡Fig.3 Trajectory of warheads and boosters
圖4 彈頭和助推器飛行高度曲線Fig.4 Variation curve of flight altitude with time
圖5是速度曲線,主要反映了彈頭、一級(jí)和二級(jí)助推器速度的變化情況,根據(jù)彈頭速度的變化情況可明顯看出主動(dòng)段結(jié)束時(shí)刻以及彈道導(dǎo)彈進(jìn)入大氣層的再入時(shí)刻。在主動(dòng)段結(jié)束時(shí)刻彈頭的運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到4 750 m/s,隨后逐漸減小至彈道最高點(diǎn),過了彈道最高點(diǎn)之后又逐漸增大,直至進(jìn)入大氣層的再入時(shí)刻,在進(jìn)入大氣層后,由于受到大氣阻力的作用速度迅速減小直至落地。通過導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)速度變化規(guī)律,能夠清楚地判斷出彈頭和助推器的運(yùn)動(dòng)階段。
圖5 彈頭和助推器飛行速度曲線Fig.5 Variation curve of flight speed with time
圖5中藍(lán)色的曲線是二級(jí)助推器飛行軌跡,如果不考慮器彈道系數(shù)和大氣阻力對(duì)其影響,二級(jí)助推器應(yīng)該和彈頭飛行速度相同,但實(shí)際上二級(jí)火箭與彈頭分離之前兩者之間有一定的相對(duì)速度差,另外由于助推器的橫截面積大于彈頭的等效橫截面積,相對(duì)于彈頭而言助推器受到的大氣阻力更大,所以在兩者分離之后且未到達(dá)彈道最高點(diǎn)時(shí)刻,二級(jí)助推器速度減速比彈頭的要明顯,這也就是圖中兩者產(chǎn)生較大差異的原因。
圖6是兩級(jí)助推器的推力加速度曲線,一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火后其推力加速度大約為2g,隨著彈道燃料的消耗,一級(jí)助推器關(guān)機(jī)時(shí)刻推力加速度達(dá)到6g左右。二級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火后其推力加速度大約為4g,到主動(dòng)段結(jié)束時(shí)刻推力加速達(dá)到13.5g。
圖6 助推器推力加速度曲線Fig.6 Thrust acceleration curve of booster with time
圖7是彈道導(dǎo)彈飛行全程導(dǎo)彈傾角(與投影點(diǎn)處平面的夾角)曲線,導(dǎo)彈在主動(dòng)段結(jié)束后的自由飛行段彈道傾角逐漸緩慢的減小,在達(dá)到彈道最高點(diǎn)的時(shí)刻導(dǎo)彈傾角為0°,而后繼續(xù)減小,到達(dá)再入點(diǎn)后,由于受到大氣阻力的影響增大,彈道傾角變化速度加劇,落地時(shí)刻彈道傾角達(dá)到72°左右,所以通過彈道傾角的變化規(guī)律也能夠快速判斷彈道的運(yùn)動(dòng)階段。
圖7 導(dǎo)彈傾角曲線Fig.7 Missile inclination curve with time
彈道導(dǎo)彈彈頭的跟蹤識(shí)別是彈道導(dǎo)彈防御體系的核心環(huán)節(jié),提前研究彈道導(dǎo)彈的飛行軌跡和運(yùn)動(dòng)規(guī)律、特點(diǎn),將更有利于開展彈道導(dǎo)彈彈頭的跟蹤和識(shí)別。通過仿真得到了彈道導(dǎo)彈的一些運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及彈道的關(guān)鍵參數(shù),這些仿真得到的彈道數(shù)據(jù)基本能夠全面反映彈道導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律,相關(guān)的結(jié)論可供彈道導(dǎo)彈彈道設(shè)計(jì)、目標(biāo)識(shí)別的技術(shù)人員參考和借鑒。
導(dǎo)彈彈道仿真技術(shù)是開展彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)模擬對(duì)抗的關(guān)鍵技術(shù)之一,在有效獲取敵方彈道目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡數(shù)據(jù)之前,迫切需要通過模擬仿真手段來檢驗(yàn)彈道防御系統(tǒng)的反導(dǎo)攔截效能。本文針對(duì)部分文獻(xiàn)的不足,在設(shè)計(jì)彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段飛行程序的基礎(chǔ)上,根據(jù)彈道導(dǎo)彈在不同運(yùn)動(dòng)階段的受力情況,充分考慮大氣阻力、攝動(dòng)力等因素,構(gòu)建了彈道導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)模型,通過仿真計(jì)算得到了彈道導(dǎo)彈的彈道高點(diǎn)、射程、最大速度、飛行時(shí)間、落點(diǎn)位置等關(guān)鍵彈道參數(shù),分析了整個(gè)飛行過程中彈道導(dǎo)彈飛行高度、速度、傾角、加速度等隨時(shí)間的變化規(guī)律,仿真結(jié)果能夠全面地反映彈道導(dǎo)彈助推器、彈頭在幾個(gè)不同運(yùn)動(dòng)階段的運(yùn)動(dòng)特性。仿真結(jié)果和結(jié)論可以為彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)研究分析彈道導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)特性、規(guī)律提供參考和借鑒。