柳 松，張德權(quán)，吳錦輝，張 寧，劉海濤

（河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300401）

0 引言

隨著工業(yè)自動(dòng)化水平的提高，工業(yè)機(jī)器人逐漸成為自動(dòng)化生產(chǎn)領(lǐng)域的核心裝備[1]。定位精度是影響工業(yè)機(jī)器人性能的重要指標(biāo)之一，包括重復(fù)定位精度和絕對(duì)定位精度。與重復(fù)定位精度相比，工業(yè)機(jī)器人的絕對(duì)定位精度更低，因此其更能反映機(jī)器人性能的好壞。影響工業(yè)機(jī)器人重復(fù)定位精度的因素有很多，如加工制造精度不足、工作環(huán)境溫度、負(fù)載變化以及運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差等等。工業(yè)機(jī)器人在運(yùn)行過程中的結(jié)構(gòu)磨損、材料老化、齒輪齒隙變大等也會(huì)造成工業(yè)機(jī)器人的絕對(duì)定位精度會(huì)逐漸降低，從而影響產(chǎn)品的加工制造精度，而采用誤差補(bǔ)償方法提高工業(yè)機(jī)器人的絕對(duì)定位精度是一種行之有效的方法[2]。

在工業(yè)機(jī)器人末端的定位誤差來源中，80%～90%是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差所引起的定位誤差[3]。因此在對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行誤差補(bǔ)償時(shí)，主要通過對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的補(bǔ)償來提高機(jī)器人的絕對(duì)定位精度。針對(duì)工業(yè)機(jī)器人的精度補(bǔ)償，已有不少學(xué)者開展了相關(guān)研究。王一等[4]以修正的D-H模型（即MD-H模型[5]）為基礎(chǔ)，提出一種基于相對(duì)定位誤差的工業(yè)機(jī)器人誤差補(bǔ)償模型，并考慮機(jī)器人負(fù)載和自重造成柔度誤差的影響，對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行誤差補(bǔ)償。周煒等[6]在傳統(tǒng)機(jī)器人參數(shù)標(biāo)定方法的基礎(chǔ)上，提出一種基于空間插值的工業(yè)機(jī)器人精度補(bǔ)償方法，并利用試驗(yàn)對(duì)方法的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證。該方法通過對(duì)工業(yè)機(jī)器人的工作空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并根據(jù)定位誤差相似度，實(shí)現(xiàn)對(duì)工業(yè)機(jī)器人的精度補(bǔ)償，但當(dāng)立方體網(wǎng)格太大時(shí)，該方法的補(bǔ)償精度有所下降。洪鵬等[7]提出一種基于空間網(wǎng)格化的工業(yè)機(jī)器人變參數(shù)誤差模型，并利用激光跟蹤儀對(duì)KUKA機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定，驗(yàn)證了方法的補(bǔ)償效果。該方法考慮了工業(yè)機(jī)器人的定位誤差在空間分布不均勻以及連桿柔度誤差，但網(wǎng)格劃分的數(shù)量極大地影響了該方法的補(bǔ)償效果。齊飛等[8]基于工業(yè)機(jī)器人的位姿誤差模型，通過冗余參數(shù)分析和最小二乘法修正了機(jī)器人的幾何參數(shù)，并通過迭代補(bǔ)償提高工業(yè)機(jī)器人的定位精度。該方法增加了機(jī)器人幾何參數(shù)辨識(shí)的魯棒性和準(zhǔn)確性，但其在x坐標(biāo)方向和y坐標(biāo)方向的補(bǔ)償精度較低。Wang等[9]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)能力和容錯(cuò)性好的特點(diǎn)，提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的工業(yè)機(jī)器人定位誤差估計(jì)方法，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能夠有效地提高工業(yè)機(jī)器人的定位精度，并具有實(shí)時(shí)性，但神經(jīng)網(wǎng)路的訓(xùn)練需要大量的數(shù)據(jù)，在進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用時(shí)增加了測(cè)量工作。Chen等[10]考慮到工業(yè)機(jī)器人的絕對(duì)定位誤差與x，y，z軸上的定位誤差具有空間相似性，提出一種基于co-Kriging的精度補(bǔ)償方法，并以航空鉆孔機(jī)器人為研究對(duì)象進(jìn)行了實(shí)際補(bǔ)償試驗(yàn)。Zeng等[11]提出一種基于誤差相似度的機(jī)器人誤差補(bǔ)償方法，利用半方差函數(shù)對(duì)工業(yè)機(jī)器人定位誤差進(jìn)行量化，并結(jié)合激光跟蹤儀進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。該方法在一定程度上提高了工業(yè)機(jī)器人的絕對(duì)定位誤差，但該方法的補(bǔ)償效果受到半方差函數(shù)類型的影響。

針對(duì)上述問題，本文提出一種基于Kriging模型的工業(yè)機(jī)器人定位精度補(bǔ)償方法。該方法根據(jù)工業(yè)機(jī)器人的名義位置及對(duì)應(yīng)的定位誤差，建立兩者之間的Kriging模型，進(jìn)而預(yù)測(cè)工業(yè)機(jī)器人在工作空間任意位置的定位誤差。將預(yù)測(cè)的定位誤差逆補(bǔ)償至名義位置上，從而對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行精度補(bǔ)償，提高工業(yè)機(jī)器人的絕對(duì)定位精度。該方法可全面考慮各種影響工業(yè)機(jī)器人定位精度的因素，建模過程簡(jiǎn)單，補(bǔ)償精度高，適用廣泛。

1 工業(yè)機(jī)器人定位誤差模型

1.1機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

D-H模型[12]常用來對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。設(shè)ai表示連桿i的長度，di表示連桿i-1到連桿i的偏置距離，αi表示連桿i的扭角，θi表示關(guān)節(jié)i的轉(zhuǎn)角，則連桿i-1到連桿i的齊次變換矩陣Ai可描述為

引入姿態(tài)矢量和位置矢量，式（1）可轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

式中：ni，oi，ai為3個(gè)姿態(tài)矢量，表示連桿i的坐標(biāo)系相對(duì)于連桿i-1坐標(biāo)系的方向余弦；Pi為連桿i相對(duì)于連桿i-1的位置矢量。

對(duì)于n自由度的工業(yè)機(jī)器人，機(jī)器人末端坐標(biāo)系相對(duì)于機(jī)器人基坐標(biāo)系的變換矩陣為

1.2 定位誤差模型

由1.1節(jié)描述可知，齊次變換矩陣Ai依賴于它的4個(gè)參數(shù)ai、di、αi和θi。當(dāng)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)微分理論，對(duì)式（1）兩邊取微分，可得

由式（1）和式（4）可得，Qa，Qα，Qd和Qθ分別可表示為

式（4）也可表示為dAi=Ai·δAi，δAi為Ai的誤差矩陣，其表達(dá)式為

將式（5）代入式（6）可得

式中：cαi、sαi分別為cosαi、sinαi的縮寫；δxiA、δyiA和δziA表示相對(duì)于i關(guān)節(jié)坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)誤差；dxiA、dyiA和dziA表示相對(duì)于i關(guān)節(jié)坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸的位置誤差。

根據(jù)式（7）可得，相對(duì)于i關(guān)節(jié)坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸的位置誤差矢量和旋轉(zhuǎn)誤差矢量分別為

參照式（4），相對(duì)于i關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的位置誤差可用位置矢量Pi的微分形式表達(dá)，即

對(duì)于六軸工業(yè)機(jī)器人，Δθ、Δa、Δα和Δd均由6個(gè)元素組成的矢量，當(dāng)工業(yè)機(jī)器人轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，a、α和d中的元素均為常數(shù)，只有關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ為變量。因此，機(jī)器人末端的位置誤差ΔP可表示為關(guān)于θ的函數(shù)，即

2 基于Kriging模型的定位精度補(bǔ)償

2.1 Kriging基本理論

Kriging模型是以變異函數(shù)理論為基礎(chǔ)，并基于協(xié)方差函數(shù)對(duì)隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)的回歸算法[13]。其表達(dá)式為

式中：g(x)為實(shí)際函數(shù)值；f(x)為回歸函數(shù)，表示模型的全局近似；β為回歸系數(shù)；z(x)為服從正態(tài)分布N(0,σ2)的平穩(wěn)高斯過程，表示對(duì)回歸模型的偏差。z(x)的協(xié)方差為

式中，Rθ(xi,xj)為樣本點(diǎn)xi與xj的相關(guān)函數(shù)，最常用的形式是高斯相關(guān)函數(shù)[14]，其表達(dá)式為

式中：n為設(shè)計(jì)樣本空間的維數(shù)；m表示θ、xi和xj的第m個(gè)元素。

給定n維訓(xùn)練樣本集x1,x2,…,xn及對(duì)應(yīng)的實(shí)際響應(yīng)值g，其中g(shù)=[g1,g2,…,gn]T，則對(duì)于待測(cè)點(diǎn)x，其Kriging預(yù)測(cè)值為

式中：β?為β的廣義最小二乘解，如式（15）所示；r(x)表示待測(cè)點(diǎn)x與其他訓(xùn)練點(diǎn)xi(i=1,2,…,n)之間的相關(guān)函數(shù)向量，可由式（16）表示。

考慮到Kriging模型可以給出空間最佳線性無偏估計(jì)[13]，本文采用Kriging模型建立工業(yè)機(jī)器人的名義位置與對(duì)應(yīng)的定位誤差之間的映射關(guān)系，從而預(yù)測(cè)工業(yè)機(jī)器人在工作空間任意點(diǎn)的定位誤差。

2.2 基于Kriging模型的誤差補(bǔ)償

由于工業(yè)機(jī)器人零部件的加工制造誤差，齒輪尺側(cè)的間隙，機(jī)械臂與關(guān)節(jié)的柔性及結(jié)構(gòu)部件的磨損等因素，造成工業(yè)機(jī)器人末端執(zhí)行器實(shí)際位置與名義位置之間產(chǎn)生誤差，從而使工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)生定位誤差。設(shè)機(jī)器人末端執(zhí)行器在點(diǎn)P的定位誤差為e(P)，其表達(dá)式為

式中：ex(P)，ey(P)和ez(P)分別為P點(diǎn)定位誤差在x，y，z3個(gè)方向的誤差分量；ed(P)為P點(diǎn)的絕對(duì)定位誤差，其表達(dá)式為

由式（18）可知，P點(diǎn)的絕對(duì)定位誤差ed(P)是關(guān)于ex(P)，ey(P)和ez(P)的函數(shù)，因此，確定P點(diǎn)各坐標(biāo)方向的誤差之后，P點(diǎn)的絕對(duì)定位誤差即可求得。

根據(jù)已測(cè)得的工業(yè)機(jī)器人的名義位置Pt及對(duì)應(yīng)的定位誤差e(P)，并以名義位置Pt為輸入，定位誤差e(P)為輸出，建立Kriging模型，則工業(yè)機(jī)器人在工作空間的任意位置的定位誤差均可由已建立的Kriging模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。將工業(yè)機(jī)器人擬到達(dá)的名義位置輸入Kriging模型中，即可得到定位誤差的預(yù)測(cè)值e?(P)。根據(jù)得到的e?(P)對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行誤差補(bǔ)償，補(bǔ)償后機(jī)器人所要到達(dá)的名義位置如式（19）所示。補(bǔ)償后的名義位置為工業(yè)機(jī)器人的實(shí)際到達(dá)點(diǎn)位，從而提高了工業(yè)機(jī)器人的絕對(duì)定位精度。

3 仿真驗(yàn)證

對(duì)該方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證時(shí)，主要考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差對(duì)工業(yè)機(jī)器人定位精度的影響。以KUKA KR150-2型工業(yè)機(jī)器人為研究對(duì)象，如圖1所示，采用基于Kriging的誤差補(bǔ)償方法對(duì)其進(jìn)行定位精度補(bǔ)償，從而驗(yàn)證本文所提方法的有效性。其D-H參數(shù)如表1所示。

采用KUKA KR150-2型工業(yè)機(jī)器人對(duì)本方法進(jìn)驗(yàn)證時(shí)，采用以下步驟。

第1步，給定工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的幾何誤差值。參考文獻(xiàn)[15]給定的工業(yè)機(jī)器人幾何參數(shù)誤差值，如表2所示，建立該型號(hào)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型。

第2步，在工業(yè)機(jī)器人工作空間中隨機(jī)選定若干個(gè)定位點(diǎn)，記為工業(yè)機(jī)器人的名義位置Pt。應(yīng)用表1中工業(yè)機(jī)器人的名義D-H參數(shù)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，得到對(duì)應(yīng)的名義關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θt。

圖1 KUKA KR150-2型工業(yè)機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖[2]Fig.1 The structural diagram of KUKA KR150-2

第3步，將名義關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θt輸入含誤差的D-H模型中，即表1和表2對(duì)應(yīng)參數(shù)值相加，然后進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，從而得到工業(yè)機(jī)器人實(shí)際到達(dá)點(diǎn)Pa。此時(shí)，工業(yè)機(jī)器人的定位誤差為e(P)=Pa-Pt。

第4步，以工業(yè)機(jī)器人的名義位置Pt為輸入，定位誤差的各坐標(biāo)方向分量ex(P)、ey(P)、ez(P)分別為輸出，建立Kriging模型。

第5步，采用其他定位點(diǎn)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。將待測(cè)點(diǎn)的名義位置P′輸入第4步建立的Kriging模型中，得到對(duì)應(yīng)的定位誤差補(bǔ)償預(yù)測(cè)值e?(P′)，比較e(P′)與e?(P′)，從而判斷基于Kriging模型的誤差補(bǔ)償方法的有效性。

為驗(yàn)證方法的正確性，對(duì)該方法進(jìn)行舉例說明。采用拉丁超立方抽樣在工業(yè)機(jī)器人工作空間中隨機(jī)抽取150個(gè)定位點(diǎn)，然后根據(jù)上述步驟采用任意50個(gè)點(diǎn)的名義位置和對(duì)應(yīng)的定位誤差建立Kriging模型，并以剩余100個(gè)點(diǎn)作為待測(cè)點(diǎn)，用來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性。結(jié)果如圖2所示。對(duì)比圖2a）～2c）可發(fā)現(xiàn)，對(duì)于含誤差的D-H模型，工業(yè)機(jī)器人在y方向的定位誤差預(yù)測(cè)值最大，最大值為1.879 3 mm，平均誤差預(yù)測(cè)值為1.574 5 mm，z方向的平均誤差預(yù)測(cè)值最小，僅為0.267 4 mm，預(yù)測(cè)結(jié)果如表3所示。由表3可知，該型號(hào)工業(yè)機(jī)器人在y方向的定位精度最差，而z方向的定位精度最好，波動(dòng)范圍最小，由Kriging模型預(yù)測(cè)的單點(diǎn)定位誤差平均值為1.677 8 mm。Kriging模型預(yù)測(cè)的精度補(bǔ)償值與實(shí)際精度補(bǔ)償值的對(duì)比如圖2中紅線和黑線所示。從圖2中可以看出，實(shí)際的精度補(bǔ)償值和預(yù)測(cè)的精度補(bǔ)償值基本相同，且對(duì)比結(jié)果在表4有所體現(xiàn)。由表4可知，采用Kriging模型的精度補(bǔ)償方法所預(yù)測(cè)的精度補(bǔ)償值與工業(yè)機(jī)器人的實(shí)際精度補(bǔ)償值相比，單坐標(biāo)方向和單點(diǎn)的對(duì)比誤差均小于0.01 mm，最小值均為0 mm。圖2中的藍(lán)線為采用預(yù)測(cè)的補(bǔ)償值對(duì)工業(yè)機(jī)器人末端位置進(jìn)行補(bǔ)償后的結(jié)果。經(jīng)過精度補(bǔ)償后，KUKA KR150-2型工業(yè)機(jī)器人的末端實(shí)際位置與名義位置基本重合，單坐標(biāo)方向的最大誤差僅為0.008 2 mm，單點(diǎn)最大補(bǔ)償后誤差為0.008 4 mm。經(jīng)過仿真驗(yàn)證，基于Kriging模型的定位精度補(bǔ)償方法在工程上是可行的，經(jīng)過補(bǔ)償后工業(yè)機(jī)器人的實(shí)際位置與名義位置基本重合，有效地提高了工業(yè)機(jī)器人的絕對(duì)定位精度水平。

表1 KUKA KR150-2型工業(yè)機(jī)器人D-H參數(shù)表Tab.1 D-H parameters of KUKA KR150-2

表2 KUKA KR150-2型工業(yè)機(jī)器人幾何參數(shù)誤差Tab.2 Geometric parameters error of KUKA KR150-2

圖2 定位精度補(bǔ)償仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of positioning accuracy compensation

表3 模型預(yù)測(cè)精度補(bǔ)償值Tab.3 The value of model predicted accuracy compensation

表4 預(yù)測(cè)補(bǔ)償值與實(shí)際補(bǔ)償值的對(duì)比Tab.4 Comparison of predicted compensation and actual compensation

4 結(jié)論

本文針對(duì)工業(yè)機(jī)器人絕對(duì)定位精度低的特點(diǎn)，提出一種基于Kriging模型的定位精度補(bǔ)償方法。根據(jù)工業(yè)機(jī)器人所要到達(dá)的名義位置及對(duì)應(yīng)的定位誤差建立Kriging模型，從而對(duì)工業(yè)機(jī)器人的定位誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)，進(jìn)而根據(jù)預(yù)測(cè)的定位誤差對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行精度補(bǔ)償。

1）與傳統(tǒng)的精度補(bǔ)償方法不同，本方法根據(jù)建立的Kriging模型預(yù)測(cè)任意位置的定位誤差，將預(yù)測(cè)值逆補(bǔ)償至名義位置上。根據(jù)補(bǔ)償后的名義位置進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解求得對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，使工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，從而提高其絕對(duì)定位精度。

2）以KUKA KR150-2工業(yè)機(jī)器人為研究對(duì)象，對(duì)本方法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。由結(jié)果可知，工業(yè)機(jī)器人在任意點(diǎn)的定位誤差預(yù)測(cè)值與實(shí)際定位誤差基本相同，最大偏差僅為0.005 5 mm。經(jīng)過補(bǔ)償后，工業(yè)機(jī)器人的絕對(duì)定位精度在單坐標(biāo)方向的最大值為0.008 2 mm，單點(diǎn)絕對(duì)定位精度最大值為0.008 4 mm，平均值為0.001 8 mm。

3）仿真驗(yàn)證時(shí)主要考慮了運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差對(duì)定位精度的影響，在實(shí)際工作過程中，工業(yè)機(jī)器人定位精度還會(huì)受到其他因素影響，如負(fù)載變化、環(huán)境溫度和零部件磨損等，在后續(xù)工作中會(huì)進(jìn)一步研究。

表5 補(bǔ)償后機(jī)器人實(shí)際位置與名義位置的誤差Tab.5 The error of actual position and nominal position after compensation