王朝祥

(北京市第八十中學(xué))

基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點也稱強基計劃,主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生.從考查內(nèi)容和能力要求來看,強基試題延續(xù)了自主招生試題的特點,并進一步突出對學(xué)生數(shù)學(xué)、物理等基礎(chǔ)學(xué)科的考查,要求學(xué)生能運用數(shù)學(xué)思想方法分析解決物理問題.

函數(shù)描述一個量隨其他量的變化關(guān)系,變量是函數(shù)的基礎(chǔ),對應(yīng)(映射)是函數(shù)的本質(zhì).函數(shù)思想的應(yīng)用是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.普遍聯(lián)系和運動變化的觀點是函數(shù)思想的精髓.高中物理常用的函數(shù)有一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù),涉及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、極值等問題.實際應(yīng)用中,不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、定積分等問題也屬于函數(shù)范疇.本文重點討論函數(shù)思想在強基試題中的應(yīng)用,闡述利用函數(shù)思想解決問題的一般思路.

1 利用導(dǎo)數(shù)思想,拓展解決問題的思路

函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率,稱為函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0),即

導(dǎo)數(shù)f′(x0)反映函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的增減趨勢和變化快慢.在圖像中,導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義為曲線y＝f(x)在x＝x0處切線的斜率.

高中物理中,很多物理量都是通過變化率定義的,例如,速度是位移對時間的變化率,加速度是速度對時間的變化率,力是動量對時間的變化率,功率是能量對時間的變化率,感應(yīng)電動勢是磁通量對時間的變化率.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)對自變量的瞬時變化率,將導(dǎo)數(shù)思想引入物理實際問題,能有效拓寬學(xué)生的思路,并能化解僅用初等數(shù)學(xué)知識難以解決的問題,提升學(xué)生運用數(shù)學(xué)工具處理物理問題的能力.現(xiàn)結(jié)合一些常見問題舉例說明.

例1 (2011年華約自招)如圖1所示,紙面內(nèi)兩根足夠長的細桿ab、cd都穿過小環(huán)M,桿ab兩端固定,桿cd可以在紙面內(nèi)繞過d點并與紙面垂直的定軸轉(zhuǎn)動.若細桿cd從圖示位置開始,按照圖中箭頭所示方向,以勻角速度轉(zhuǎn)動,則小環(huán)M的加速度( ).

圖1

A.逐漸增加

B.逐漸減小

C.先增加后減小

D.先減小后增加

圖2

例2 (2015年清華領(lǐng)軍計劃)在距離水面高度為h的岸上,有人用繩子經(jīng)定滑輪拉著小船靠岸,人收繩子的速率恒為v0,當(dāng)小船與岸邊的水平距離為s時,其速度、加速度分別多大?

圖3

2 利用定積分化解連續(xù)函數(shù)求和問題

定積分的本質(zhì)是連續(xù)函數(shù)的求和,其在高中物理中的應(yīng)用涉及速度或位移的計算、液體壓力的計算、變力做功問題、物理量的平均值問題、轉(zhuǎn)動慣量問題、連續(xù)帶電體電勢的計算、交流電有效值的計算等.在物理教學(xué)中適當(dāng)滲透定積分“分割—建立微元—求和”的思想方法,有助于學(xué)生對物理概念的準(zhǔn)確理解和辨析,進而提升學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力,拓展思維空間.

例3 (2017年北大綜合營)一盛水的容器繞豎直中心軸勻速轉(zhuǎn)動,求容器內(nèi)水面形狀.

如圖4所示,取旋轉(zhuǎn)液面表面任意位置(x,y)處的小水珠,質(zhì)量記為m,該處液面切線與水平方向夾角記為θ.在旋轉(zhuǎn)的非慣性系中分析水珠受力,考慮慣性力,三力平衡,且有

圖4

3 函數(shù)思想在極值問題中的應(yīng)用

分析物理中的極值問題常涉及代數(shù)、幾何、向量、微積分等多個數(shù)學(xué)分支,對學(xué)生的分析綜合能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力要求較高.解決極值問題的一般思路是認真分析物理情境,根據(jù)物理中的定理或定律建立因變量與自變量之間的函數(shù)關(guān)系,再利用數(shù)學(xué)方法求極值.在上述過程中,函數(shù)構(gòu)建是解決問題的關(guān)鍵.

例6 一均勻細桿置于粗糙地面上,人對其一端施力,力與桿始終垂直,要將桿無滑動地慢慢抬到豎直位置,則桿與地面之間的靜摩擦因數(shù)至少應(yīng)該多大?

如圖5所示,對桿受力分析,列共點力平衡方程有Fcosα＋FN＝mg,Fsinα＝Ff,以A點為軸,由轉(zhuǎn)動平衡有

圖5

若n個數(shù)x1、x2、x3、…、xn的和為定值,當(dāng)這n個數(shù)都相等時,它們的積有最大值;若n個數(shù)x1、x2、x3、…、xn的積為定值,當(dāng)這n個數(shù)都相等時,它們的和有最小值.

例7 (2013年華約自招)明理同學(xué)平時注意鍛煉身體,力量很大,最多能提起m＝50kg的物體.一重物放置在傾角θ＝15°的粗糙斜面上,重物與斜面間

如圖6 所示,設(shè)該同學(xué)拉動重物的力F的方向與斜面成角度α,根據(jù)力的平衡,若重物剛好能被拉動(a＝0),在垂直于斜面方向有

圖6

本題考查共點力的平衡,要求學(xué)生能熟練列出力的平衡方程,并能運用三角函數(shù)知識求極值,對數(shù)學(xué)運算能力要求較高.

若引入摩擦角和全反力的概念,本題可以采用矢量圖解法分析,解題思路大為簡化.

如圖7所示,斜面對重物的支持力FN與最大靜摩擦力Ffm的合力稱為全反力R,全反力與支持力的夾角φ稱為摩擦角,tanφ＝μ,用R等效代替FN與Ffm,本題轉(zhuǎn)化為三力平衡問題.

圖7

綜上所述,函數(shù)思想在強基試題中有廣泛的應(yīng)用.利用函數(shù)思想解決物理實際問題的一般思路如下:1)根據(jù)物理情境梳理相關(guān)物理量之間的函數(shù)關(guān)系,從而把物理模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型;2)經(jīng)過數(shù)學(xué)演算、推理得出結(jié)果;3)再結(jié)合物理情境討論數(shù)學(xué)結(jié)果的物理意義,得出符合實際的結(jié)論.在上述環(huán)節(jié)中,函數(shù)構(gòu)建是解決問題的關(guān)鍵.