鄒正平，張

1. 北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，北京 100191

2. 北京航空航天大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，北京 100191

采取薄壁、整體結(jié)構(gòu)的輕質(zhì)結(jié)構(gòu)是實現(xiàn)輕量化制造的重要措施之一[1]。在此背景之下，管材充液成形(Tube-Hydroforming)及其相關(guān)技術(shù)憑借著其成形精度高、成形極限高、表面質(zhì)量好等優(yōu)點在航空、航天、高鐵及汽車等相關(guān)制造領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用[2]。隨著管材充液成形應(yīng)用范圍的不斷擴大及相關(guān)數(shù)值模擬技術(shù)的不斷發(fā)展，管材力學(xué)性能正越來越被學(xué)者所重視。相較于板材，管材制備過程中存在滾彎、擠壓、焊接等制備工藝所帶來的一定的初始塑性變形行為。與原始板料相比，其力學(xué)性能發(fā)生了一定的變化。這也意味著，通過測試同種板材試驗結(jié)果來近似代替管材的力學(xué)性能存在著較大誤差[3]。

依據(jù)試驗原理的不同，可將管材力學(xué)性能測試分為直接法和間接法[4-7]。其中，環(huán)向拉伸試驗是間接法的主要方式之一，而管材液壓脹形試驗(Tube Bulging Test)則是直接法的代表。然而，間接法均需對管坯進行如切割等加工制備，從而影響了該材料的力學(xué)性能。相反，管材液壓脹形試驗具有試驗方法簡單、設(shè)備要求低、可控變量多等優(yōu)勢，且其能更好地反映材料在流體面力作用下的變形規(guī)律及其成形極限。但是，精準(zhǔn)測量管材液壓脹形試驗中自由區(qū)域軸向及周向曲率難度較大。因此，國內(nèi)外諸多學(xué)者通過對軸向輪廓提出假設(shè)(余弦曲線、圓弧曲線或橢圓曲線)，進而計算測量時刻的軸向及周向應(yīng)變。Fuchizawa假設(shè)管材脹形輪廓為圓弧形，并通過脹形試驗獲得了管材的本構(gòu)方程[8]。Strano等認(rèn)為脹管輪廓形狀更滿足余弦函數(shù)，在計算軸向曲率半徑時還結(jié)合了能量法和管材軸向靜力平衡方程[9]，獲得了對應(yīng)的材料性能參數(shù)。Hwang等則假設(shè)脹形輪廓具有橢圓的連續(xù)性，并結(jié)合橢圓方程簡化軸向曲率半徑的計算[10]。郎利輝等通過測量兩端軸向進給量并利用超聲波測厚儀對頂點處壁厚進行實時測量，再利用脹形輪廓假設(shè)得出了軸向和周向半徑[11]。苑士劍等提出脹形最高點壁厚線性分布模型，并認(rèn)為圓弧曲線是描述STKM11A鋼管自由脹形區(qū)域輪廓的最佳函數(shù)，給出了不同各向異性系數(shù)對管材脹形試驗的影響[12]。Vitu等通過分別對304不銹鋼、鎳基鐵合金和銅管進行脹形試驗，驗證了Boudeau-Malécot計算模型在數(shù)據(jù)中的正確性[13]。何祝斌等對管材自由脹形及固定脹形試驗進行了分析，分別探究了上述兩種情況下所獲取的成形極限曲線上的差異，并給出了長徑比大小對最終結(jié)果的影響[14]。然而，上述方法均對軸向輪廓進行了假設(shè)，其具體形貌尚未確定，這給后續(xù)力學(xué)分析及計算引入了不確定因素，亟待解決。此外，采用傳統(tǒng)網(wǎng)格法測量管材脹破時的軸向及周向應(yīng)變時，存在由液壓沖擊現(xiàn)象而引入的偏大現(xiàn)象[15]，即所得成形極限曲線(Forming Limit Curve，F(xiàn)LC)較真實曲線分布更加“偏上”。

值得注意的是，趙赫等利用數(shù)字圖像相關(guān)法(DIC)方法對304不銹鋼薄壁管的環(huán)向拉伸進行測試，驗證了環(huán)向拉伸試驗方法的可靠性[16]。張清慧利用DIC方法對薄管的屈曲行為進行了測量，并給出了不同幾何尺寸及沖擊速度對結(jié)果的影響規(guī)律[17]。Sadlowska等利用DIC對管材脹形過程中的應(yīng)變進行了測量，結(jié)果顯示該方法具備良好的測量精度[15]。

因此，首先采用三維數(shù)字圖像相關(guān)法作為非接觸測量方式，對5A02鋁合金管材液壓脹形試驗中自由區(qū)域管材外形貌數(shù)據(jù)進行測量，以確定其軸向輪廓表達形式。其次，通過假設(shè)自由區(qū)域管材內(nèi)外壁軸向輪廓具有相同表達形式，結(jié)合塑性變形體積不變準(zhǔn)則，給出了自由區(qū)域管材壁厚分布的計算方法。再次，通過調(diào)整自由區(qū)域管材長徑比來實現(xiàn)控制軸向及周向應(yīng)變比值，以獲得管材液壓脹形作用下的管材左側(cè)成形極限圖。最后，利用有限元方法對上述結(jié)果進行對照驗證，驗證上述測試方法及計算方法的準(zhǔn)確性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 管材液壓脹形力學(xué)模型

管材液壓脹形試驗是一種將管材兩端約束密封，按照一定加載路徑(軸向力和內(nèi)壓力)迫使管材發(fā)生顯著變形，觀察并記錄自由區(qū)域管材軸向及周向的輪廓變化情況，并結(jié)合理論計算獲取管材力學(xué)性能參數(shù)的試驗方法。根據(jù)管材液壓脹形試驗原理，給出其自由區(qū)域端中點處微元體應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，如圖1所示[18-20]。

對圖1中微元體進行應(yīng)力應(yīng)變分析，由變形條件可知，脹形最高點處的周向及厚向應(yīng)變?yōu)?/p>

(1)

(2)

式中：εθ為周向應(yīng)變;ro為管材初始外徑值，rθ為任意時刻脹形最高點處周向曲率半徑；εt為厚向應(yīng)變；ti為任意時刻脹形最高點處材料厚度；to為管材初始厚度。

考慮到材料塑性變形過程中體積不變原則，有

εz=-(εθ+εt)

(3)

式中：εz為軸向應(yīng)變。

本試驗中，任意時刻脹形最高點處周向曲率半徑同該點處厚度滿足如下條件：

(4)

則可認(rèn)為脹形最高點處微元體無彎矩作用，由薄膜理論[14,21]有

(5)

式中：σθ為脹形最高點處軸向應(yīng)力;σz為脹形最高點處周向應(yīng)力;pi為任意時刻內(nèi)壓大小。若采取自由脹形試驗，即管材僅受流體內(nèi)壓作用，由靜力平衡有

F+2πrθσzti=π(rθ-ti)2pi

(6)

式中：F為側(cè)推力。

聯(lián)立式(1)～式(6)，則脹形最高點處的周向應(yīng)力和軸向應(yīng)力可以表示為

(7)

(8)

考慮到脹形最高點處微元體處于平面應(yīng)力狀態(tài)，忽略該材料的面內(nèi)異性[11]，根據(jù)Von-Mises準(zhǔn)則，則該點處等效應(yīng)力與等效應(yīng)變可表示為

(9)

(10)

若已得到軸向和周向應(yīng)變，則式(2)可以表示為

ti=toeεt=toe-(εz+εθ)

(11)

1.2 管材液壓脹形幾何模型

對于管材液壓脹形來講，其自由區(qū)域輪廓可以表示為

Ψ(P,θ,x)=0

(12)

若忽略材料各向異性的影響，考慮到脹形過程中其任意一點處的軸向輪廓為圓[22]，如圖2所示，輪廓函數(shù)Ψ(P,θ,x)退化為二元函數(shù)F(P,x)，則有

rθ=ro+hmax

(13)

圖2 自由區(qū)域軸向輪廓

(14)

式中：hmax是脹形最高點處脹形高度值。

對于內(nèi)壓P=Pi時，脹形自由區(qū)域任意位置的軸向曲率半徑rz可以表示為

(15)

特別的，當(dāng)式(15)中x=xE時，rz為最高點處軸向曲率半徑，其中xE為脹形最高點處橫坐標(biāo)。

若式(15)已知，則軸向應(yīng)變可以表示為

(16)

式中：LO為自由區(qū)域原始長度;xS為內(nèi)壓P=Pi時，曲線2與原始管坯輪廓曲線相切點PS的橫坐標(biāo)。

對于任意一個P=Pi時刻，管材外表輪廓函數(shù)退化為一元函數(shù)f(x)來表示?？紤]到邊界約束處的圓角作用，輪廓曲線2可以近似為圓弧表示，將f(x)用分段函數(shù)來表示，且考慮到兩曲線一階連續(xù),則有

f(x)=F(P,x)|P=Pi=

(17)

(18)

式中：rd為軸向約束裝置圓角半徑;xT為曲線2與曲線1相切點PT的橫坐標(biāo)。

假設(shè)內(nèi)輪廓h(x)同外輪廓f(x)有相同表達形式，則有

(19)

式中：rD為軸向約束裝置在內(nèi)壁輪廓處圓角半徑;xN為曲線3和曲線4過渡點PN橫坐標(biāo)。

考慮到曲線3和曲線4一階連續(xù)，則有

xN=xT+tTsin(θ)

(20)

式中：tT為曲線1和曲線2過渡點處法向厚度。

若忽略約束圓角處材料流動，則有

tT=to

(21)

結(jié)合塑性變形體積不變準(zhǔn)則，則有

(22)

聯(lián)立式(15)～式(22)可得自由區(qū)域壁厚分布。

1.3 三維數(shù)字圖像相關(guān)法

三維數(shù)字圖像相關(guān)方法測量技術(shù)是一種雙目立體視覺技術(shù)與數(shù)字散斑相關(guān)方法相結(jié)合的光學(xué)測量技術(shù)，其作為非接觸測量方式具備測量精度高、數(shù)據(jù)采集簡單及使用范圍廣等優(yōu)點[23-24]。

1.3.1 形函數(shù)及亞像素插值函數(shù)

對于管材脹形試驗來講，其參考子集除了發(fā)生剛性平移還有轉(zhuǎn)動及扭曲等形變，故采用二階形函數(shù)來表征：

(23)

式中:u、v為中心參考點在水平和豎直方向的位移(即剛性位移);(xi,yi)及(x′i,y′i)為子集內(nèi)任一點變形前后位置坐標(biāo)；Δx和Δy分別為參考點和任一點初始時刻水平和豎直方向距離；各階偏導(dǎo)表示參考子集目標(biāo)點的應(yīng)變梯度。

在進行數(shù)字圖像相關(guān)匹配時往往需要像素與像素之間的灰度值進行相關(guān)運算，相較于其他方法，雙3次樣條插值法能有效地提升計算精度，計算效率相對較高，且更符合自然光照在空間內(nèi)的變化規(guī)律[25-27]。因此，選取雙3次樣條函數(shù)作為插值函數(shù)，其表達式為

G(x*,y*)=a00+a01(y′)+a02(y′)2+

a03(y′)3+a10(x′)+a11(x′)(y′)+

a12(x′)(y′)2+a13(x′)(y′)3+a20(x′)2+

a21(x′)2(y′)+a22(x′)2(y′)2+

a23(x′)2(y′)3+a30(x′)3+a31(x′)3(y′)+

a32(x′)3(y′)2+a33(x′)3(y′)3

(24)

式中：G(x*,y*)為插值點處灰度值;a00～a33為待定系數(shù)。

1.3.2 相關(guān)函數(shù)及相關(guān)搜索算法

相關(guān)函數(shù)是定量表征參考子集與變形子集相似程度的評價標(biāo)準(zhǔn)。合適的相關(guān)函數(shù)有利于提高測量精度與加快收斂速度。選取受光照影響小的相關(guān)函數(shù)，其形式如式(25)所示[25]：

(25)

當(dāng)相關(guān)函數(shù)取得極值時，即認(rèn)為獲得最佳匹配。通過一定的搜索算法從相關(guān)系數(shù)分布中找到最佳匹配點的過程稱作相關(guān)搜索。相關(guān)因子定義為

(26)

式中：Cr為相關(guān)函數(shù)，當(dāng)S=0時相關(guān)，當(dāng)S=1時不相關(guān)。

易知S=Smin的必要條件為

(27)

圖3 Newton-Raphson迭代算法流程圖

1.3.3 應(yīng)變計算

對于上述采取3次樣條插值得到的位移場，采取方網(wǎng)格-三角形節(jié)點法進行應(yīng)變計算[27]，如圖4所示。取目標(biāo)計算點P周圍的4個點建立4個三角形網(wǎng)格，分別求每個三角形的拉格朗日應(yīng)變，加權(quán)平均后即可得到P點應(yīng)變大小。

圖4 應(yīng)變計算原理圖

(28)

式中：li為v1和v2的模長。

有柯西-格林張量同拉格朗日應(yīng)變轉(zhuǎn)換關(guān)系為

C=I+2E

(29)

式中：I為單位矩陣，且有

(30)

則真實應(yīng)變可表示為

(31)

式中：Emax和Emin為矩陣E中的最大和最小元素。

2 管材脹形試驗系統(tǒng)

按照管材脹形試驗要求，可將其分為液壓裝置、密封工裝和測量系統(tǒng)，試驗系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5所示。其中，試驗過程中液壓加載路徑控制由實時控制系統(tǒng)控制，三維數(shù)字圖像測量系統(tǒng)實時觀測待測區(qū)域形貌。

圖5 管材液壓脹形試驗系統(tǒng)結(jié)構(gòu)原理圖

2.1 液壓系統(tǒng)及密封工裝

液壓系統(tǒng)可分為高、低壓系統(tǒng)兩部分，其中低壓部分(額定壓力為25 MPa)作用于左右側(cè)推缸及鎖緊裝置，并為高壓增壓缸提供動力。而高壓增壓缸產(chǎn)生的高壓部分(額定壓力為150 MPa)主要作用于待測管坯，為脹形試驗提供內(nèi)壓力。上述壓力系統(tǒng)均通過電控系統(tǒng)進行控制。

密封工裝的形式會影響管材脹形試驗中的邊界條件，常見的邊界條件有自由邊界和固定邊界。密封工裝原理及三維結(jié)構(gòu)圖如圖6所示。其中，在管端施加精確的雙向軸向力和軸向位移，從而實現(xiàn)脹形區(qū)域的應(yīng)力應(yīng)變精確控制。同時，在向心鎖緊力F的作用下，管材兩端材料被完全約束，材料不能進入脹形區(qū)域，以保證其滿足自由脹形條件，即近似滿足式(22)。

圖6 邊界條件原理圖

2.2 三維數(shù)字圖像測量系統(tǒng)

三維數(shù)字圖像測量系統(tǒng)是測量脹形過程中管坯外形貌的主要機構(gòu)。該系統(tǒng)組成主要涵蓋CCD相機、照明裝置、信號觸發(fā)器、支架和數(shù)據(jù)處理裝置，如圖7所示。其中，CCD相機型號為GT1920,分辨率為1 936×1 456 PPI，像素尺寸為4.54 μm×4.54 μm，采集頻率為40 fps，選取Gige作為數(shù)據(jù)傳輸方式，觸發(fā)方式為脹形試驗系統(tǒng)增壓伺服系統(tǒng)信號控制的硬觸發(fā)模式，其詳細(xì)性能參數(shù)如表1所示。鏡頭選取為LM25JC5M2，其焦距為25 mm，其詳細(xì)參數(shù)如表2所示。照明光源選取DH-RIW120-W環(huán)形光源，額定功率為120 W，其所搭配的DH-AP1024F-1控制器可方便調(diào)節(jié)光照強弱。此外，選取型號為CC-076-O-4的陶瓷基材料標(biāo)定板。其表面經(jīng)過漫反射處理，能有效降低正面光源直射帶來的放光或斑點。其中心距為4.0 mm，精度為0.001 5 mm，陣列方式為13×12。

圖7 三維數(shù)字圖像測量系統(tǒng)

表1 GT1920 CCD相機參數(shù)

表2 LM25JC5M2型號鏡頭參數(shù)

3 管材脹形試驗

3.1 樣件制備

采取外徑為26.13 mm、壁厚為1.5 mm的5A02鋁合金管材作為試驗原料。將其切割成150 mm長的管坯，并在管坯兩端進行倒角處理，而后在其表面噴涂白色啞光漆以降低光源帶來的強反射噪點，最終在其表面噴涂人工散斑點，如圖8所示。

圖8 試驗樣件制備

3.2 測量系統(tǒng)設(shè)定

像素坐標(biāo)同世界坐標(biāo)存在對應(yīng)關(guān)系可以表示為[29]

s[u,v,1]T=H[X,Y,1]T

(32)

式中：s為比例因子;[u,v,1]T為像素坐標(biāo);[X,Y,1]T為角點世界坐標(biāo);矩陣H為單應(yīng)性矩陣，其表示相機的內(nèi)參參數(shù)及外參參數(shù)。

利用常見的“張氏標(biāo)定法”對其本系統(tǒng)左右兩相機進行標(biāo)定，如圖9所示。其中，左、右相機單應(yīng)性矩陣HL、HR分別為

(33)

圖9 相機標(biāo)定

由于網(wǎng)格大小會影響自由區(qū)域表面重建精度和計算時間，即過大的網(wǎng)格會降低輪廓精度；而過小的網(wǎng)格會極大增加計算量[30]，本文取值為20像素，參考子區(qū)大小為41×41，如圖10所示。

圖10 定義網(wǎng)格

3.3 測量精度檢測

初始管材軸線和點云的距離可以表示為

(34)

當(dāng)式(35)取最小值時，可以確定s。

(35)

本文中s=[1,-0.009,-0.086]，將采集輪廓點分別代入式(35)，得到不同點相對軸線向量的距離，如圖11所示。其中，管材外徑利用千分尺進行測量，其3次測量的平均值為26.13 mm；而采取本文測量裝置的測量結(jié)果中，最大值為26.517 mm，最小值為25.740 mm，即偏差上限為1.48%，偏差下限為1.50%?？傮w偏差小于1.5%，說明本測量系統(tǒng)有較高的測量精度。

圖11 管材初始點相對距離

3.4 軸向輪廓擬合

圖12 軸向輪廓擬合

對制備的管坯進行自由脹形試驗，其內(nèi)壓加載速率為0.5 MPa/s，當(dāng)內(nèi)壓小于10 MPa時，該樣件無顯著變形，故選脹形壓力為12 MPa時對中部長70 mm的自由區(qū)域的軸向輪廓曲線進行擬合。其中，管材軸向方向向量s不變，利用式(35)對其進行計算。采用最小二乘法對余弦函數(shù)、橢圓函數(shù)及圓弧函數(shù)進行擬合，如圖12所示。其中，三角函數(shù)擬合的可決系數(shù)R-square為0.999，大于圓弧的0.886和橢圓的0.996。即對于5A02鋁合金管材自由脹形來講，其軸向輪廓曲線采取三角函數(shù)擬合效果最好，其一般表達形式為f(x)=acos(b(x-c))+r0，橢圓函數(shù)擬合效果次之，圓弧最差。分別選取內(nèi)壓為10.25、10.75、11.75、12.00、12.25、13 MPa時，對其進行擬合計算。聯(lián)立式(11)～式(15)，計算脹形最高點軸向曲率半徑rz和周向曲率半徑rθ，如表3所示。

表3 不同壓力下軸向輪廓函數(shù)參數(shù)值

聯(lián)立式(1)～式(3)，對不同壓力下(10.25、10.75、11.75、12.00、12.25、13 MPa)的應(yīng)變進行計算，得到3個應(yīng)變同脹形壓力及軸向相對位置的云圖分布，如圖13所示。其中，從上至下依次為εθ、εz和εt。

圖13 應(yīng)變分布云圖

3.5 本構(gòu)方程建立

(36)

式中：K為強度系數(shù)；n為應(yīng)變硬化指數(shù);ε0為初始應(yīng)變。

擬合結(jié)果顯示，強度系數(shù)K為440.7，硬化指數(shù)n為0.299，初始應(yīng)變ε0為0.008 1。將其代入到ABAQUS軟件中進行有限元(FEM)計算，其在12.0 MPa內(nèi)壓作用下的Mises等效應(yīng)力分布如圖14所示。

圖14 等效應(yīng)力分布云圖

圖15 本構(gòu)方程

根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果對材料本構(gòu)方程進行反求，得強度系數(shù)為421.2，硬化指數(shù)為0.276，初始應(yīng)變?yōu)?.007 4，如圖15所示。其中，兩者強度系數(shù)K的相對誤差為4.63%，硬化指數(shù)n的相對誤差為8.33%，初始應(yīng)變ε0的相對誤差為9.46%。

3.6 壁厚分布計算

聯(lián)立式(16)～式(22)，可以得到不同脹形壓力(10.25、10.75、11.75、12.00、12.25、13 MPa)作用下的脹形自由區(qū)域壁厚同脹形壓力及軸向位置的分布，如圖16所示。其中，黑點為脹形最高點處壁厚測量值，曲面為計算結(jié)果。當(dāng)內(nèi)壓為11.75 MPa時，計算和實際測量結(jié)果出現(xiàn)最大偏差。即最大絕對誤差為0.023 mm，最大相對誤差為1.71%。

圖16 壁厚分布云圖

3.7 管材FLC建立

在管材成形領(lǐng)域中，常見的缺陷可分為起皺和破裂。而當(dāng)前工程實踐中常用的破裂判斷準(zhǔn)則為成形極限曲線，即FLC。目前，F(xiàn)LC獲取方式可以分為理論方式和試驗測試方法兩類。本文采取試驗法進行FLC的獲取。

圖17 5A02鋁合金管材左側(cè)FLC

4 結(jié) 論

首先建立了管材液壓脹形的力學(xué)模型和幾何模型，推導(dǎo)了自由區(qū)域壁厚分布計算的一般方法，給出了利用管材自由脹形試驗求解本構(gòu)方程的計算流程。其次，介紹了三維數(shù)字圖像相關(guān)法基本理論，完成了管材自由脹形系統(tǒng)的搭建及測試。再次，完成了5A02鋁合金管材的自由脹形試驗及FLC試驗。最后，借助有限元方法對上述結(jié)果進行了驗證，結(jié)果表明：

1) 通過擬合驗證了余弦函數(shù)是表征5A02鋁合金管材軸向輪廓的最佳擬合函數(shù)，可決系數(shù)R-square達0.999。計算了不同壓力下自由區(qū)域中壁厚的分布，理論值同實測值的相對誤差小于2%。

2) 對5A02鋁合金進行了液壓脹形試驗，獲取了帶初始應(yīng)變的冪指數(shù)形式的本構(gòu)方程。利用ABAQUS軟件對其進行了對照驗證，兩者相對誤差小于10%。

3) 通過控制自由區(qū)域管材長度，完成了5A02鋁合金管材左側(cè)FLC的建立。