山東省鄒平市第一中學(xué) 李 猛

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，建模能力是學(xué)生核心素養(yǎng)之一，借助建模教學(xué)能鍛煉學(xué)生創(chuàng)造性思維，最重要的是對所學(xué)知識形成深入理解，為更好地應(yīng)用知識分析和解決問題奠定基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)預(yù)期課程教學(xué)目標(biāo)。

一、借助問題情境

情境教學(xué)是課堂教學(xué)常見方式，高中數(shù)學(xué)教師可運(yùn)用問題情境開展建模教學(xué)，促使學(xué)生在探索、思考、提問、分析以及建模等一系列過程中高效解決問題，并對所學(xué)知識產(chǎn)生深入理解，鍛煉思維能力。學(xué)生思維在問題情境驅(qū)動下相對開放，他們在此過程中提出各種抽象復(fù)雜且創(chuàng)新性問題，這對數(shù)學(xué)教師綜合素養(yǎng)和知識技能等提出較高的要求。教師需要積極思考該如何引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)，因此需要在為學(xué)生傳授知識和技能的同時不斷延伸自身知識儲備深度與廣度。

對此，教師可從以下方面借助問題情境開展建模教學(xué)。首先，借助問題情境導(dǎo)入新知。教師在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)愉悅、和諧的課堂環(huán)境并積極鼓勵學(xué)生大膽想象和思考，使不同思維和意見觀點(diǎn)在良好課堂氛圍中發(fā)生碰撞并產(chǎn)生智慧火花，不斷提升學(xué)生思維層次。例如，在學(xué)習(xí)均值不等式定理相關(guān)知識時，教師設(shè)置以下問題：“某超市在中秋節(jié)開展促銷活動，為吸引客源，共涉及以下三種降價(jià)銷售方案：①首次打a折，第二次打b折銷售；②首次打b折銷售，第二次打a折銷售。③兩次銷售均打折，請問，上述三種打折銷售方案哪種最為劃算?！睂W(xué)生經(jīng)思考和相互討論后得出以下解題要點(diǎn)：即對ab與大小進(jìn)行比較。上述題目緊貼學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活，教師為學(xué)生設(shè)置抽象概括且符合學(xué)生實(shí)際情況的問題情境，以生動形象方式為學(xué)生呈現(xiàn)生硬抽象的均值不等式定理。大部分高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題在解答中都需運(yùn)用均值不等式，故而，創(chuàng)設(shè)緊貼生活的問題情境導(dǎo)入新知識能調(diào)動學(xué)生探究知識積極性，更能活躍學(xué)生數(shù)學(xué)思維。其次，挖掘純數(shù)學(xué)問題生活原型，不斷增強(qiáng)學(xué)生建模意識。現(xiàn)實(shí)生活生產(chǎn)蘊(yùn)含大量數(shù)學(xué)問題，將數(shù)學(xué)知識和技能結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活生產(chǎn)能增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識能力。例如，某制造廠今年一共生產(chǎn)近5萬噸產(chǎn)品，如果每年平均產(chǎn)量高于上一年10%，請問從今年起在幾年內(nèi)能實(shí)現(xiàn)總產(chǎn)量30萬噸目標(biāo)？教師在講解題目時要先指導(dǎo)學(xué)生分析前幾年產(chǎn)量，即今年為5萬噸，明年則是5+5×10%＝5×1.1，那么后年則為5×1.1+5×1.1×10%＝5×1.12，學(xué)生在觀察中歸納總金額公比q＝1.1后構(gòu)建等比數(shù)列模型。雖然上述解答過程較為緩慢，然而能促使學(xué)生深入理解問題，提升建模能力。

二、借助信息技術(shù)

事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)生活中涵蓋大量數(shù)學(xué)知識，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識目的之一也在于更好地解決實(shí)際問題，尤其會應(yīng)用幾何圖形、函數(shù)、方程等知識，故而運(yùn)用“互聯(lián)網(wǎng)+建?！蹦苤苯咏档皖}目難度，提高解題效率。檢驗(yàn)和完善解題模型是數(shù)學(xué)建模思想下重要思維環(huán)節(jié)之一，類似于常規(guī)學(xué)習(xí)總結(jié)與檢驗(yàn)，有利于幫助學(xué)生充分把握自身在數(shù)學(xué)建?；顒又谐霈F(xiàn)的解題錯誤和認(rèn)知不足，促使學(xué)生高效理解和掌握不同類型解題模型使用條件，并在歸納總結(jié)、反思、糾正等一系列活動中建立正確建模認(rèn)識，為提升建模素養(yǎng)做好鋪墊。例如，在學(xué)習(xí)數(shù)列相關(guān)知識時，教師結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活常見的銀行存款本息計(jì)算設(shè)計(jì)問題，需要學(xué)生結(jié)合真實(shí)銀行存款月利率與本息計(jì)算公式對某個周期內(nèi)本息總和進(jìn)行計(jì)算，在此過程中應(yīng)用數(shù)列知識。教師在教學(xué)過程中運(yùn)用信息技術(shù)為學(xué)生建立模型并基于此凸顯數(shù)列模型思想，促使學(xué)生運(yùn)用等比數(shù)列求和規(guī)律分析和解決實(shí)際問題。與此同時，鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考問題，再以小組形式相互討論分析，遇到疑惑之處可運(yùn)用平板和互聯(lián)網(wǎng)中的學(xué)生端口發(fā)送給教師，隨即教師為學(xué)生實(shí)時答疑解惑，還可在學(xué)生小組討論時參與其中，提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率。

三、借助小組合作

小組合作是課堂教學(xué)主要方式，能較好地體現(xiàn)學(xué)生主體作用，匯集多元思維，幫助學(xué)生深入理解所學(xué)知識，提升學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量。在建模教學(xué)中應(yīng)用小組合作學(xué)習(xí)能增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題能力，在合作中實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)目標(biāo)。

以“貨船進(jìn)出港時間問題”教學(xué)為例，該知識點(diǎn)重點(diǎn)為引導(dǎo)學(xué)生觀察和詳細(xì)分析數(shù)據(jù)并在此基礎(chǔ)上建立三角函數(shù)模型，促使學(xué)生敢于想象和表達(dá)。表1為某港口在某季節(jié)每日時間與水深關(guān)系。

表1 時間與水深關(guān)系

問題①選取一個函數(shù)對該港口的水深與時間函數(shù)關(guān)系進(jìn)行近似描述并給出整點(diǎn)水深近似數(shù)值。問題②若一條貨船吃水深度為4米，在安全規(guī)定下要求船底與洋底間距離具有1.5米安全間隙，請問該條船在何時才能駛?cè)敫劭?？在港口停留多少時間？問題③若某條船吃水深度為4米，設(shè)置1.5米的安全間隙，于2：00時卸貨，其中該船吃水速度以每小時0.3米速度不斷減少，請問該船在何時需停止卸貨并將船駛向深水域？

具體建模教學(xué)活動如下。（1）活動要求：將全體學(xué)生分為5個小組討論分析上述三個問題，每個小組選派一名學(xué)生上臺匯報(bào)討論成果并闡述心得體會。（2）觀察／分析以及模擬圖象。A小組：“我們認(rèn)為該函數(shù)為具有周期性變化特征的函數(shù)。”D小組：“為何會產(chǎn)生此猜想？”B小組：“將時間和水深分別設(shè)為橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)并在直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖，如圖1所示?！?/p>

圖1 時間與水深散點(diǎn)圖

教師：大家觀察散點(diǎn)圖后是否能繪制出對應(yīng)函數(shù)圖像？F組：“該函數(shù)圖像為一條平移變換后形成的復(fù)合型三角函數(shù)圖象，如圖2所示?！苯處煟赫堦U述理由。F組：“運(yùn)用平滑曲線連接后發(fā)現(xiàn)振幅與初相都發(fā)生不同程度變化?！苯處煟和评淼煤芎侠?，如果想解決第一個問題需作出相應(yīng)函數(shù)解析式。

圖2 時間與水深復(fù)合型三角函數(shù)圖形

（3）猜想驗(yàn)證、推理論證以及建立模型。在此之前已順利作出三角函數(shù)模型圖象，隨即讓學(xué)生回憶之前所學(xué)三角函數(shù)模型并寫出。隨即有學(xué)生寫出：三角函數(shù)模式y(tǒng)＝A sin（ωx+φ）+h。教師：通過數(shù)據(jù)與圖象并在討論中計(jì)算該題目函數(shù)模型。由A組學(xué)生解析：從函數(shù)圖象和數(shù)據(jù)得知：A＝2.5，h＝5，T＝5，φ＝0，由得故而可運(yùn)用表示港口水深y與時間x關(guān)系。建立函數(shù)模型目的在于解決問題，數(shù)學(xué)教師可鼓勵學(xué)生積極大膽猜想并運(yùn)用數(shù)據(jù)對函數(shù)圖象進(jìn)行模擬，在合作交流中有效推導(dǎo)、計(jì)算、驗(yàn)證函數(shù)模型，以此強(qiáng)化學(xué)生邏輯推理能力。

四、結(jié)語

總之，建模在學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)中發(fā)揮著不可小覷的作用。通過開展建模教學(xué)能簡化學(xué)生理解知識難度，并強(qiáng)化邏輯思維和創(chuàng)新思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)和數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，對學(xué)生未來發(fā)展有著重要現(xiàn)實(shí)意義。