寧波市北侖中學(xué)

竺吳輝 范東暉

1 引言

隨著評價范式的轉(zhuǎn)型，在“為了學(xué)習(xí)的評價”的教學(xué)評價理念下，以學(xué)生為主體的評價方式被越來越多的研究者和教師所關(guān)注.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》(以下簡稱《標準》)指出：評價既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程.開發(fā)合理的評價工具，將知識技能的掌握與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達成有機結(jié)合，建立目標多元、方式多樣、重視過程的評價體系[1].數(shù)學(xué)建模活動是一類重“過程”，強調(diào)“活動”的學(xué)習(xí)模式，部分教師可能會直接跳過這塊內(nèi)容，將時間投入到可以有效增加分數(shù)的模塊上，這與素質(zhì)教育的初衷是相悖的.本文中結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平的三個維度和四個方面，以“測量學(xué)校內(nèi)外建筑物的高度”的數(shù)學(xué)建?；顒訛槔?，對模型建立、模型求解以及模型檢驗三個模塊構(gòu)建了綜合量化評價表，闡釋了對“形成性評價”的理解和教學(xué)實踐.

2 研究基礎(chǔ)

2.1 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的內(nèi)涵

《標準》中指出：數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)[1].數(shù)學(xué)建模過程如圖1所示，主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.若現(xiàn)實結(jié)果符合實際，直接將模型應(yīng)用于現(xiàn)實問題(步驟7)；若不滿足實際情況(轉(zhuǎn)步驟6)，重復(fù)之前的流程，直到模型滿足實際情況為止.

從數(shù)學(xué)建模定義的描述來看，其內(nèi)涵包含三個要素[2]：一是對現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)抽象，二是用數(shù)學(xué)語言表達問題，三是用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型解決問題.因此，數(shù)學(xué)建模是構(gòu)建現(xiàn)實世界和數(shù)學(xué)世界的重要橋梁，在經(jīng)歷完整建模流程的基礎(chǔ)上，進而發(fā)展“四能”，達到“三會”.它不僅是一個數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的問題，在解決問題的過程中還蘊含著方法、思想、價值判斷與選擇，乃至數(shù)學(xué)的精神和態(tài)度.

2.2 形成性評價的內(nèi)涵

評價最重要的意圖不是為了證明學(xué)生學(xué)得有多好，而是為了幫助學(xué)生更好地了解自身的學(xué)習(xí)情況，改進自身的學(xué)習(xí)方法，促進和激勵學(xué)生高效學(xué)習(xí).形成性評價并非只注重過程，不注重結(jié)果，而是更注重從被評價者的需要出發(fā)，重視學(xué)習(xí)的過程，重視學(xué)生在學(xué)習(xí)中的體驗與成長.評價的過程和學(xué)生學(xué)習(xí)的過程交互在一起，這種關(guān)注“過程”和“發(fā)展”的價值取向，是形成性評價的理念基礎(chǔ).

3 素養(yǎng)水平劃分與兩項評價原則

《標準》中將每一個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)都劃分為三個水平，并對每一個水平通過情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思這四個方面進行表述.量化方式可參考文獻[3],結(jié)合每個水平的具體表現(xiàn)，構(gòu)建數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的評價方案(見表1)，此評價方案需提前告知學(xué)生，讓學(xué)生明確努力與評價的方向.

表1 基于三個維度的數(shù)學(xué)建模評價方案(部分)

《標準》同時也指出，在具體評價數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平層次時，還需遵循滿意原則和加分原則.“滿意”原則是針對“最優(yōu)化”原則提出來的，在復(fù)雜多變的建?；顒又?，大部分問題是沒有最優(yōu)解的，學(xué)生只需根據(jù)自己的知識儲備以及學(xué)習(xí)能力，獲得一個基本符合要求的結(jié)果即可.而“加分原則”可以理解為針對數(shù)學(xué)建模過程的完整性、數(shù)學(xué)建模方法的創(chuàng)新性、模型的創(chuàng)新性、語言表達的準確性等方面進行適當(dāng)加分.

4 案例呈現(xiàn)

筆者選取了人教版普通高中數(shù)學(xué)教科書必修第二冊第54頁拓廣探索中的第23題作為案例開展數(shù)學(xué)建模活動.考慮到新高一學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的整個環(huán)節(jié)比較陌生，本文中重點闡述學(xué)生在“建模內(nèi)循環(huán)”(即建模、解模、驗?zāi)Ｈ齻€環(huán)節(jié))過程中的行為表現(xiàn)，并給予恰當(dāng)?shù)男纬尚栽u價.

4.1 分析問題構(gòu)建模型

本次數(shù)學(xué)建模活動課僅考慮高度問題，匯總之后大致可分為3類測量對象，如表2.

表2 測量對象與特點

第一類對象的高度問題本文不考慮.對于高度不可測的問題，高中學(xué)生很容易聯(lián)想到利用三角形的知識來解決，但是當(dāng)遇到水平距離不可測時，需要小組實踐，考慮通過什么方式測定其對應(yīng)高度，并完成表3.(總評成績=學(xué)生評分×40%+教師評分×60%.)

表3 測量方案評價表

小組合作(準備階段)：

(1)2～3名學(xué)生一個單位，自由分組，討論本小組的測量目標、小組成員的具體分工、需要準備的測量工具.(下發(fā)表2和表3，讓學(xué)生明確努力的方向.)

(2)小組成員采用“頭腦風(fēng)暴”的形式集思廣益，充分討論，對需要測量的對象給出不同的測量方案.測量方案可要求盡可能多一些，通過討論或?qū)嵺`后再來確定最后的測量方案.確定任意一種方案的具體實施細節(jié)，弄清楚要測量哪些數(shù)據(jù)，哪些因素會使測量結(jié)果“失真”.

不管是測量學(xué)校內(nèi)旗桿的高度或者是樹的高度，從數(shù)學(xué)角度來看，本質(zhì)上是一個解三角形問題.因此，可以將一個高度測量問題化歸為解三角形的問題，這類“模型”的核心是測量一個(或幾個)“角”和“距離”.以測量本校旗桿的高度為例，呈現(xiàn)學(xué)生的討論成果，如圖2所示.

圖 2 四種測量方案

上述四種測量方案的計算都較為簡潔，方案一、二、三對觀測點與被測物之間的水平距離必須可測.與方案一、三相比，方案二、四[4]在計算過程中更容易產(chǎn)生測量和計算誤差，根據(jù)實際情況要進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整修正.

師生活動(討論階段)：

教學(xué)與評價是促進學(xué)生有效學(xué)習(xí)的“雙通道”.因此，在實施實地測量之前，每個小組需委派一名發(fā)言人對本小組的測量方案進行必要的說明，其他小組成員以及任課教師根據(jù)該組成員的匯報情況對其進行評分(見表3).

模型建立環(huán)節(jié)是十分重要的一個步驟，關(guān)乎著整個建?；顒邮欠衲軌蛘＿M行.小組匯報與互評工作，首要目標是讓所有參與數(shù)學(xué)建模活動的成員明確自己的分工，明晰建模研究的方向.其次，教師和小“評委”可以大致了解整個大團隊會涉及哪些模型來測量高度，通過聆聽匯報，準確依據(jù)評價方案給予評分，并結(jié)合“滿意原則”和“加分原則”適當(dāng)調(diào)整分數(shù).例如，某團隊在匯報過程中，給出了3種解決方案，且有明確的符號說明，并給出了合理的解釋，但未提前預(yù)設(shè)操作過程可能會遇到的各類問題.根據(jù)滿意原則，學(xué)生已經(jīng)達到了理想情況，評分屬于8～10分檔，但學(xué)生并沒有對模型進行比較，也未提出操作過程中可能存在的問題，因此它不滿足加分原則，最終教師評分判定為8分.最后，這種“互掐”式的互評模式必然會讓所有同學(xué)的思路更為開闊，思維更加嚴謹.

4.2 確定參數(shù) 計算求解

小組合作(測量階段)：

在測量過程中，通過有效的測量策略減少系統(tǒng)誤差是非常必要的.系統(tǒng)誤差可分為：方法誤差、儀器誤差以及操作誤差等.其中儀器誤差是不可控的，但是方法誤差和操作誤差卻可以通過理性分析與多次測量，以達到降低誤差的效果.

小組合作(計算階段)：

利用小組構(gòu)建的模型，完成測量報告，并用多種形式展示小組的成果和創(chuàng)意.通過實踐觀察與詢問，發(fā)現(xiàn)某小組成員在測量過程中，沒有考慮到測量誤差，但給出了相應(yīng)的測算結(jié)果，故其滿足滿意原則；在實際測量過程中，學(xué)生能根據(jù)實際情況進行有效的模型與方法選擇，故其滿足加分原則.因此，教師對該組評分判定為6分.

4.3 檢驗結(jié)果 評估模型

旗桿的實際測量高度為16.81 m，某團隊對方案二、三進行計算及穩(wěn)定性分析，其中ΔH表示通過模型計算獲得的旗桿高度與實際高度的絕對誤差，ΔH*表示當(dāng)測量數(shù)據(jù)發(fā)生變化時高度的相對變化量(取正)，觀察模型的穩(wěn)定性，如表4.

表4 模型二、三的穩(wěn)定性分析

通過后續(xù)的討論，該小組學(xué)生得到如下結(jié)論：(1)在測量過程中，測量長度所帶來的誤差要小于量角器所帶來的誤差.這是由于學(xué)生的操作不規(guī)范以及儀器的精度不夠?qū)е碌?，建議減少引入角度變量或選用精度較高的量角儀器.(2)通過二個方案的測算結(jié)果，方案三更接近真實值，且該模型的穩(wěn)定性明顯優(yōu)于方案二.該組成員對自身建立的模型不僅給出了穩(wěn)定性分析，還從分析的結(jié)論中得出一些有用的信息,但不足之處是未說明模型的適用范圍，因此教師評分可判定為9分.

5 教學(xué)思考

5.1 形成性評價幫助學(xué)生的目標設(shè)定

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷接近或突破自己預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)目標時，他們的自我效能感和內(nèi)在興趣都將得以激發(fā)，從而進一步增強其學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.因此，目標設(shè)定是決定學(xué)習(xí)表現(xiàn)和結(jié)果的關(guān)鍵環(huán)節(jié).在本次數(shù)學(xué)建?；顒舆^程中，學(xué)生一直圍繞評價方案表，有目的性地開展活動，操作起來也就更為順暢了.在數(shù)學(xué)建?；顒娱_展的過程中，若不事先設(shè)定好目標，大部分學(xué)生會迷失方向，這樣數(shù)學(xué)建?；顒拥男Ч痛蟠蛘劭?，而且容易挫傷學(xué)生的積極性.當(dāng)然教師和學(xué)生理解的目標應(yīng)當(dāng)是匹配和重合的，這樣學(xué)生才能夠主動將來自同伴和教師的反饋信息與自己的目標聯(lián)系起來.

5.2 形成性評價增強學(xué)生的自我監(jiān)控

自我監(jiān)控是指記錄或評價自己的行為，通過記錄和評價等手段影響未來行為上的一系列變化.形成性評價過程中發(fā)現(xiàn)的問題，更能引起學(xué)生的注意力，進一步促使學(xué)生思考自身的學(xué)習(xí)行為以及策略方法是否得當(dāng).在本次數(shù)學(xué)建模活動中，當(dāng)團隊完成自己的評價方案時，會將當(dāng)前自身的表現(xiàn)水平與標準進行比較，通過采取適當(dāng)?shù)男袆觼砜s小兩者之間的差距.同伴間的相似性，能夠用更同質(zhì)化的語言進行解釋和建議，讓學(xué)生看到不同的看法和策略，共同探討策略的運用與問題的解決，還能將同伴的理解轉(zhuǎn)化為自己學(xué)習(xí)的評價，進而對自己的學(xué)習(xí)方式進行修正和補充.

5.3 形成性評價發(fā)展學(xué)生的高階思維

高階學(xué)習(xí)過程表現(xiàn)為學(xué)生在基于真實任務(wù)或復(fù)雜問題的情境中，為達到高層次的學(xué)習(xí)目標，積極主動、堅持不懈開展建構(gòu)性學(xué)習(xí)活動，與同伴建立情感支持，進行協(xié)作、交流、分享，不斷地反思和調(diào)節(jié)自己的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷分析、發(fā)現(xiàn)、構(gòu)想、歸納、評價、創(chuàng)造等思維經(jīng)驗積累的過程.在解決問題的過程中，不管是建模、解模、驗?zāi)５娜魏我粋€環(huán)節(jié)，都需要同學(xué)們積極地合作，通過深度的思考、嚴謹?shù)奶接?、精確的測量、精準的計算才能最終有所收獲.在自評與互評的過程中，發(fā)展學(xué)生的批判性思維、創(chuàng)新性思維與反思性評價思維.