文／陳俊

二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，一直是中考命題的熱點(diǎn)。其中，動(dòng)點(diǎn)與最值問題，又是同學(xué)們感到比較棘手的一類問題。我們可以通過聯(lián)系以往所學(xué)的知識(shí)，將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，迅速找到解題的切入點(diǎn)。

一、利用“將軍飲馬”解決線段最值問題

例1如圖1，拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 。

圖1

【分析】點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，利用“將軍飲馬”模型，可以將點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離與到點(diǎn)C的距離之和，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和。

解：∵拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴令y=0，得-x2-2x+3=0，

解得x=-3或x=1。

∴A（-3，0），B（-1，0）。

令x=0，得y=3，

∴C（0，3）。

設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b，把A（-3，0）、C（0，3）分別代入直線y=kx+b，

∴直線AC的表達(dá)式為y=x+3。

設(shè)直線AC與直線x=-1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MB+MC的值最小。

把x=-1代入直線y=x+3，得y=2，

∴M（-1，2）。

即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，2）。

【小結(jié)】求兩條線段之和最小值的問題，常采用“將軍飲馬”模型。對(duì)于這類問題，首先將動(dòng)點(diǎn)所在直線看作“河”，再通過找對(duì)稱點(diǎn)，求出直線表達(dá)式，便可解決問題。

二、利用“三點(diǎn)共線”解決線段最值問題

例2如圖2，已知直線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）。在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使 |AM-MC|的值最大，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 。

圖2

【分析】由于點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么要求 |AM-MC|最大，即求|AM-MB|最大。根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，故當(dāng)A、B、M在同一直線上時(shí)，|AM-MB|的值最大。

解：由直線可 得 點(diǎn)A坐 標(biāo)為（0，1）。

將A（0，1）、B（1，0）坐標(biāo)代入

∴拋物線的表達(dá)式為

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線∵B、C關(guān)于直線對(duì)稱，

∴MC=MB。

要求 |AM-MC|的最大值，即求|AM-MB|的最大值。

根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，故當(dāng)A、B、M在同一直線上時(shí)，|AM-MB|的值最大。

由A（0，1）、B（1，0）坐標(biāo)可求出直線AB的表達(dá)式為y=-x+1。

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為

【小結(jié)】我們對(duì)比發(fā)現(xiàn)，例1是“三點(diǎn)共線”中求線段和的問題，求的是最小值；例2是“三點(diǎn)共線”中求線段差的問題，求的是最大值。

三、利用“圖形分割”和“坐標(biāo)相減”解決面積最值問題

例3如圖3，已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）。點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)C、B不重合），過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)E，連接BD、CD。設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△BCD的面積為S。求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式及自變量m的取值范圍，并求出S的最大值。

圖3

【分析】本題直接表達(dá)出△BCD的面積有一定的困難，但我們?nèi)绻ㄟ^圖形分割，分別求出△ECD和△EBD的面積，就可以表示出△BCD的面積。本題的另一個(gè)難點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)使得線段DE的長度發(fā)生改變，只要能求出DE的最大值，就能求出S的最大值。

解：設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b（k≠0）。

∵直線BC過點(diǎn)B（3，0）、C（0，3），

∴y=-x+3。

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-m2+2m+3），

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，-m+3），

∴當(dāng)時(shí)，S有最大值

【小結(jié)】二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的位置的“直觀變化”與二次函數(shù)表達(dá)式確定的“數(shù)量變化”之間有著密切的聯(lián)系。在研究二次函數(shù)問題時(shí)，我們始終要以“變化與對(duì)應(yīng)”為基礎(chǔ)，感受數(shù)形關(guān)系。