應(yīng)佳成

（浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)教育發(fā)展研究中心）

在新課程理念下，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，通過(guò)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)進(jìn)一步發(fā)展學(xué)習(xí)能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求.能力的發(fā)展不能一蹴而就，需要在教師的啟發(fā)、引導(dǎo)下，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、體驗(yàn)、領(lǐng)悟等心理活動(dòng)，將相應(yīng)的問(wèn)題內(nèi)化到已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，與已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用、不斷積累，才能實(shí)現(xiàn)從技能到能力的飛躍.

本文聚焦一道幾何題的教學(xué)過(guò)程，通過(guò)層層遞進(jìn)的思考，沿著明暗交織的兩條線索展開(kāi)研究：以“解題技巧—原理分析—策略形成—建構(gòu)生成”為明線完成教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在參與的過(guò)程中形成經(jīng)驗(yàn)和方法；以“方法—聯(lián)系—能力—素養(yǎng)”為暗線引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，提升思維水平.

學(xué)習(xí)材料：如圖1，在△ABC中，DE∥BC，BE，CD交于點(diǎn)P.求證：直線AP平分BC和DE.

圖1

一、解題技巧分析

材料問(wèn)題的解決方法很多，主要集中于全等、相似、比例線段等方法，甚至可以用梅涅勞斯定理和塞瓦定理解題.但是從根本上看這些方法主要涉及全等與相似兩類(lèi)思路.全等與相似具有特殊與一般的關(guān)系，在解法上我們聚焦相似和比例線段相融合的思路，這是實(shí)際解題過(guò)程中最常采用的方法.

1.合理猜想，構(gòu)建思路

首先，要指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建解題思路，涉及的主要數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化與化歸.綜合學(xué)習(xí)材料的已知條件和結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題中涉及的圖形間的關(guān)系并沒(méi)有全部顯性表達(dá)，需要學(xué)生“連接AP并延長(zhǎng)，交BC于一點(diǎn)（Q）”，將“直線AP平分BC和DE”這個(gè)條件顯性表達(dá)出來(lái)，并“過(guò)點(diǎn)P作MN∥DE∥BC”構(gòu)造出與DE和BC平行的第三條平行線（如圖2）.

圖2

其次，執(zhí)果索因，從結(jié)論倒推所需要的上位條件，我們不妨用圖示法層層遞進(jìn)將內(nèi)隱的思維過(guò)程顯性構(gòu)建出來(lái)，探尋解題思路如圖3所示.

圖3

2.演繹推理，準(zhǔn)確表達(dá)

逆向使用思維框圖，按照從因到果的過(guò)程完成演繹推理，問(wèn)題即可得以解決.演繹推理能力是思維水平的直觀顯現(xiàn)，推理過(guò)程中容易出現(xiàn)表述繁雜、因果不清等現(xiàn)象，本質(zhì)上是由于用“因?yàn)橛蠥，所以有B”的論述方法解決具有復(fù)雜邏輯關(guān)系的問(wèn)題時(shí)過(guò)程冗長(zhǎng)、結(jié)構(gòu)松散，可以引入邏輯推演符號(hào)“?”顯示證明過(guò)程的邏輯結(jié)構(gòu)，精煉證明過(guò)程，做到層次分明、簡(jiǎn)明扼要、清晰易懂.

這樣就邏輯清晰地解決了MP=PN這一關(guān)鍵問(wèn)題，接下來(lái)的論述就水到渠成了.

由此得到直線AP平分DE.同理，可得直線AP平分BC.問(wèn)題得證.

從幾何基本事實(shí)出發(fā)，有條理地運(yùn)用分析法執(zhí)果索因，探索、發(fā)現(xiàn)、設(shè)計(jì)論證思路，再由因?qū)Ч瓿裳堇[證明，這是解決幾何問(wèn)題的一般思路，在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理能力.

二、基本原理挖掘

1.探究變化過(guò)程中的不變量

幾何學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究圖形、挖掘本質(zhì).在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)恒定不變的規(guī)律，并找出確定不變的根本原因，這是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)的一般思路.接下來(lái)我們沿著這樣的思路挖掘材料的本質(zhì).

在上述問(wèn)題解決的過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)P添加平行線后，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)MP=PN的論證，而點(diǎn)P是梯形對(duì)角線的交點(diǎn)（如圖4），由此引發(fā)思考，MP=PN是不是由梯形對(duì)角線交點(diǎn)決定的？

圖4

事實(shí)上，MP=PN是對(duì)長(zhǎng)度的刻畫(huà)，而度量與面積密切相關(guān)，聚焦△DPB與△EPC這兩個(gè)圖形，發(fā)現(xiàn)無(wú)論梯形如何改變，由對(duì)角線相交構(gòu)造出的△DPB與△EPC面積恒相等，這就是變化過(guò)程中的不變量.那么，決定三角形面積不變的關(guān)鍵要素是什么？由于左右兩個(gè)三角形的“高度和”相等，因而依據(jù)面積公式發(fā)現(xiàn)PM與PN相等，也就是說(shuō)點(diǎn)P的特殊位置是產(chǎn)生“直線AP平分BC和DE”這一結(jié)論的決定性因素.

基于圖形面積間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)線段長(zhǎng)度間的關(guān)系是根本.以上分析證實(shí)了猜想“經(jīng)過(guò)梯形對(duì)角線交點(diǎn)且平行于兩底的平行線被交點(diǎn)平分”的正確性.在圖4的基礎(chǔ)上還可以進(jìn)一步改變條件，如果平行線MN的位置是“動(dòng)態(tài)”的，不經(jīng)過(guò)梯形對(duì)角線的交點(diǎn)（如圖5），可以得到MA=FN這個(gè)更為一般的結(jié)論.

圖5

2.分析問(wèn)題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理

如果教學(xué)僅限于解決一道題，容易導(dǎo)致學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)碎片化，能力提升空間有限.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)追求的是從特殊到一般不斷逼近本質(zhì)，指向公理、定理或者定義的數(shù)學(xué)原理分析是幫助學(xué)生理解問(wèn)題本質(zhì)、避免碎片化學(xué)習(xí)、積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

事實(shí)上，以上問(wèn)題解決的方法源于平行截割定理，但并不是直接使用該定理.學(xué)生也許會(huì)產(chǎn)生疑惑，熟悉的平行截割定理為什么在此題中使用起來(lái)不順暢？接下來(lái)層層遞進(jìn)指向本質(zhì).

圖6

第二步，將所獲結(jié)論一般化.一組直線束在一條直線上截得相等的線段，在該直線的平行直線上也截得相等的線段.

第三步，進(jìn)一步推廣.一組直線束截兩條平行線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

第四步，總結(jié).如果一組直線束被兩條平行線所截，不僅直線束被平行線截得的線段間存在比例關(guān)系，平行線被直線束截得的線段間也存在比例關(guān)系.這正是學(xué)習(xí)材料的解決基礎(chǔ)，深度剖析的過(guò)程可以提升學(xué)生的理解層次，是能力培養(yǎng)的重要過(guò)程.

以上分析推廣了定理、解釋了MP=PN的根本原因，還基于運(yùn)動(dòng)變化的視角總結(jié)出更具一般性的結(jié)論，使得課堂生成遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出材料本身，將學(xué)生的思維水平推上新高度.

三、策略形成指導(dǎo)

學(xué)習(xí)材料中題干的條件少之又少，說(shuō)明材料內(nèi)涵豐富、拓展性好、結(jié)論具有一般性.從方法論的視角看，具有一般性的結(jié)論往往可以在不同的領(lǐng)域間產(chǎn)生廣泛的聯(lián)系.

1.在數(shù)學(xué)間相互表征

學(xué)習(xí)的過(guò)程是建立聯(lián)系的過(guò)程，用代數(shù)關(guān)系將一個(gè)幾何問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系表達(dá)出來(lái)是數(shù)學(xué)邏輯發(fā)展的需要，是培養(yǎng)幾何與代數(shù)相互表征能力的過(guò)程，廣義上看是培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想的重要過(guò)程.

至此，在材料中挖掘出基本幾何結(jié)構(gòu)與代數(shù)結(jié)構(gòu)的相互表征，其關(guān)系如圖7所示.

圖7

2.數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系

圖8

由于數(shù)學(xué)內(nèi)容間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科間的關(guān)聯(lián)往往比較隱蔽，學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)，因此策略形成階段需要突出教師的指導(dǎo)作用，指導(dǎo)學(xué)生找出新、舊內(nèi)容在一般原理中的一致性，指導(dǎo)他們將具體問(wèn)題歸納為一般原理，從一般原理的高度去認(rèn)識(shí)問(wèn)題，使思維方式具有廣泛的遷移性，形成能力.

四、建構(gòu)生成觀念

數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)是不同分支有一定的獨(dú)立性，但同時(shí)又有內(nèi)在的緊密聯(lián)系，建立這種聯(lián)系是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).在上述問(wèn)題解決的過(guò)程中，存在一個(gè)不可回避的問(wèn)題：盡管學(xué)習(xí)材料的結(jié)論非常優(yōu)美，但是平行截割定理與相似三角形原理交替使用，思考和論證都比較煩瑣.與優(yōu)美的結(jié)論相比，現(xiàn)有的知識(shí)范疇已經(jīng)無(wú)法幫助學(xué)生做出更簡(jiǎn)潔的論證方法，構(gòu)建更高層面的知識(shí)框架便成為需要.

中學(xué)幾何中的某些問(wèn)題可以歸結(jié)為射影幾何問(wèn)題.在射影幾何視角下，由于經(jīng)過(guò)同一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的直線都平行，因此平面幾何中心射影（直線束）和平行射影（平行線）兩者就可以得到統(tǒng)一，平行射影可以看作經(jīng)過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的中心投影，這樣恰當(dāng)?shù)乩猛耆狞c(diǎn)形交比定理的無(wú)窮遠(yuǎn)特例可以快速解決問(wèn)題，降低問(wèn)題解決的難度，優(yōu)化證明思路，使過(guò)程清晰、簡(jiǎn)潔，可以讓學(xué)生領(lǐng)略構(gòu)建新知識(shí)體系系統(tǒng)化解決問(wèn)題的魅力.

1.概念重構(gòu)

如圖9，設(shè)A，B，C，D是射影直線l上的4個(gè)不同點(diǎn)，如果（ABCD）=-1，則稱(chēng)A，B，C，D為一個(gè)調(diào)和點(diǎn)列，或者說(shuō)點(diǎn)A，B被點(diǎn)C，D調(diào)和分割.特別地，若點(diǎn)D是一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（如圖10），則（ABCD）=（ABC）=-1，即點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn).

圖9

圖10

2.性質(zhì)定理

設(shè)A，B，C，D是射影平面上的4個(gè)不同點(diǎn)，滿足任意三點(diǎn)不共線，AB交CD于點(diǎn)F，AD交BC于點(diǎn)H，AC交FH于點(diǎn)G，DB交FH于點(diǎn)E，AC交DB于點(diǎn)K（如圖11），則（FHGE）=（DBKE）=（ACKG）=-1.

圖11

3.解決問(wèn)題

圖12

4.學(xué)習(xí)心理建構(gòu)

此題重新論證完成后，需要幫助學(xué)生至少在兩個(gè)方面建立內(nèi)心體驗(yàn)：其一，用現(xiàn)有知識(shí)將需要反復(fù)論證的問(wèn)題換一個(gè)視角，提升思考維度，問(wèn)題則可以得到輕松解決，在文章第一部分中提到的各種解題思路，諸如平行截割定理、相似原理、特殊的梅涅勞斯定理、塞瓦定理等都可以在射影變換性質(zhì)下（交比定理）得到統(tǒng)一的解釋?zhuān)黄涠?，?duì)新知識(shí)體系的研究還是沿著熟悉的“概念—表示—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”的路徑展開(kāi)，并沒(méi)有脫離認(rèn)識(shí)問(wèn)題的基本路徑，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生積極學(xué)習(xí)的心態(tài)，不會(huì)因?yàn)槲粗a(chǎn)生畏懼心理，愿意嘗試用更高維度的視角解決現(xiàn)有的問(wèn)題，理解學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)才是真正面向未來(lái)的能力.

五、總結(jié)

1.站穩(wěn)“四基”，發(fā)展“四能”

幾何教學(xué)需要站穩(wěn)“四基”，不能好高騖遠(yuǎn).在一線調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，邏輯關(guān)系不清晰導(dǎo)致的學(xué)習(xí)問(wèn)題仍然存在，教師應(yīng)該基于幾何直觀，從幾何基本事實(shí)出發(fā)，步步有據(jù)，用好數(shù)學(xué)語(yǔ)言，著力抽象能力、推理能力的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生利用幾何知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.學(xué)生能力的培養(yǎng)、思想方法的形成并非一朝一夕便可以完成的，而是需要點(diǎn)點(diǎn)滴滴的積累，在學(xué)生活動(dòng)的過(guò)程中逐漸滲透，積累到一定程度可以產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，形成數(shù)學(xué)觀念.

2.發(fā)展能力，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)

能力是概括化、系統(tǒng)化的知識(shí)技能.數(shù)學(xué)能力是在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能的基礎(chǔ)上，通過(guò)廣泛遷移不斷概括化、系統(tǒng)化而實(shí)現(xiàn)的.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，是在已知的數(shù)學(xué)對(duì)象和數(shù)學(xué)關(guān)系與未知的數(shù)學(xué)對(duì)象和數(shù)學(xué)關(guān)系間建立聯(lián)系，解決問(wèn)題.教師需要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生體驗(yàn)到問(wèn)題解決是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，數(shù)學(xué)在不斷自洽的過(guò)程中向前發(fā)展，這樣的體驗(yàn)可以激發(fā)學(xué)生不斷探究數(shù)學(xué)奧秘的欲望，從而發(fā)展能力，培育核心素養(yǎng).例如，本文材料的深度挖掘，可以擴(kuò)大眼界，讓學(xué)生知道在歐氏幾何以外還有一個(gè)廣闊的幾何學(xué)的新天地.中學(xué)生正處于思維最為活躍的年齡，嘗試把學(xué)習(xí)放在一個(gè)更廣闊的背景下來(lái)思考，所獲得的對(duì)數(shù)學(xué)的總的認(rèn)識(shí)，對(duì)培養(yǎng)和提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣可以起到長(zhǎng)久的作用.這種指導(dǎo)雖然是抽象的，但是對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維具有深刻意義.