張 玥， 劉 泉

(安徽大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230601)

體積彈性模量與二階彈性常數(shù)是表征熱彈性性質(zhì)的重要物理量之一，要想全面了解地球內(nèi)部的成分和熱狀態(tài)，就需要了解所有備選礦物在極端壓強(qiáng)和溫度條件下的彈性特性.長(zhǎng)期以來(lái)，人們建立了許多計(jì)算固體彈性常數(shù)的理論模型，并對(duì)其與溫度和壓強(qiáng)的關(guān)系進(jìn)行了深入的研究[1-4].

2010年，基于彈性常數(shù)對(duì)溫度的假設(shè)性依賴關(guān)系，Wang等人提出了一種計(jì)算有限溫度下彈性剛度系數(shù)的第一性原理方法，結(jié)果表明預(yù)測(cè)值與已有的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值一致[5].同年，Zen等人使用第一性原理方法研究了Ni，Ti和NiTi合金的結(jié)構(gòu)和彈性性能，其中彈性常數(shù)是通過(guò)使用密度泛函技術(shù)評(píng)估能量與小應(yīng)變的關(guān)系來(lái)計(jì)算的[6].2013年，Ono等人采用從頭算分子動(dòng)力學(xué)方法研究了立方體鈣鈦礦在高壓和高溫下的彈性，計(jì)算結(jié)果表明立方體鈣鈦礦是地球下地幔的一種次要礦物[7]. 2018年，Liu等人利用基于密度泛函微擾理論的第一性原理方法，研究了直至2500 K、100 GPa高溫、高壓下黃鐵礦的等溫體積模量、熱膨脹系數(shù)、熱容和熵等熱力學(xué)性質(zhì),與實(shí)驗(yàn)結(jié)果保持了很好的一致性[8].2019年，Ulian以及Valdrè采用從頭算量子力學(xué)方法計(jì)算了2種礦物的狀態(tài)方程(EoS)和二階彈性常數(shù)，理論結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)中實(shí)驗(yàn)觀察到的一般趨勢(shì)一致，并進(jìn)一步擴(kuò)展了對(duì)兩相力學(xué)性能的認(rèn)識(shí)[9]. 2020年，Argaman與Makov用第一性原理各向異性準(zhǔn)調(diào)和方法計(jì)算了HCP鈦的彈性常數(shù)，其中包括聲子譜作為應(yīng)變的函數(shù)計(jì)算，除C13外，彈性常數(shù)的溫度依賴性與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致[10]. 2021年，Yang等人采用第一性原理計(jì)算，研究Mg，Be，Ti，Zn，Zr和Cd的三階彈性常數(shù)和機(jī)械性能，結(jié)果與之前的計(jì)算和實(shí)驗(yàn)值更加吻合[11].

在這里，我們應(yīng)該指出的是，無(wú)論是第一性原理計(jì)算還是從頭算分子動(dòng)力學(xué)方法[5-11]，其間均包含大量繁雜的計(jì)算工作.尋找一種簡(jiǎn)單直接的方法計(jì)算多種礦物質(zhì)在不同溫度下的體積彈性模量及二階彈性常數(shù)，成為當(dāng)今地球物理學(xué)中迫切需要解決的問(wèn)題.

本文中，我們通過(guò)細(xì)致分析大量地幔礦物質(zhì)高溫下的熱力學(xué)參量，基于泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)獲得熱膨脹系數(shù)與溫度之間的唯象依賴性關(guān)系式，并結(jié)合熱力學(xué)公式與Tallon模型[12]，計(jì)算了MgAl2O4，Mg2SiO4及Al2O3這3種典型地幔礦物質(zhì)在不同溫度下的體積彈性模量及二階彈性常數(shù).

1 分析方法

為了探尋體積彈性模量(BT)對(duì)溫度T的依賴性，Anderson引入了著名的Anderson-Grüneisen參數(shù)δT，其定義如下[1]：

(1)

其中：P為壓強(qiáng)，α為體積熱膨脹系數(shù).方便起見(jiàn)，我們將δT寫(xiě)為δ，將BT寫(xiě)成B.根據(jù)α的定義(其中V表示體積)：

(1)式可以寫(xiě)為

(2)

Chopelas 和 Boehler[13]提出了一個(gè)等溫Anderson-Grüneisen參數(shù)δ與體積V之間的線性依賴關(guān)系式：

(3)

對(duì)給定的晶體，A是一個(gè)常數(shù).結(jié)合(2)～(3)式并考慮熱壓項(xiàng)，Kumar得到下列表達(dá)式[14-15]：

[1-(δ0+1)α0(T-T0)]，

(4)

式中α0、B0及δ0分別為α、B和δ在初始溫度T=T0=300 K時(shí)的值.Tallon 已經(jīng)發(fā)現(xiàn)(4)式對(duì)于任何一個(gè)彈性模量都成立[9]，從而可以用M替代B得到

式中M代表任何一個(gè)彈性常數(shù)，如C11,C12,C44或者B.從以上分析可知，要求得任意溫度下的彈性常數(shù)，必須首先求得體積彈性模量與溫度之間的關(guān)系式.以下分析將幫助我們尋找一種合適的B-T關(guān)系式.

通過(guò)分析不同溫度下大量礦物質(zhì)的熱膨脹系數(shù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，基于泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，將熱膨脹系數(shù)與溫度之間的依賴性關(guān)系表示為

α=α0+α′0(T-T0)+

(5)

所以(5)式可以改寫(xiě)為

(6)

將(6)式代入(1)式并積分，積分時(shí)當(dāng)溫度從T0到T時(shí)，相應(yīng)的體積彈性模量從B0到B.最后得到B與T之間的關(guān)系式：

(7)

根據(jù)Tallon的推廣方法[12]可以將(7)式推廣為

(8)

(9)

表1 計(jì)算所需輸入數(shù)據(jù)(取自文獻(xiàn)[1])

2 計(jì)算結(jié)果和討論

(5)式已被Kumar[14-15]推廣用于計(jì)算高溫下大量地幔礦物質(zhì)的彈性常數(shù).在本文中，我們首先運(yùn)用(5)式和(7)式計(jì)算不同溫度下NaCl晶體的體積彈性模量.計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取自文獻(xiàn)[2]，其中300 K時(shí)的Anderson-Grüneisen參數(shù)根據(jù)文獻(xiàn)[2]取作5.95.由表2可知，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相比，利用(7)式計(jì)算的結(jié)果誤差更小，即(7)式更準(zhǔn)確地反映了體積彈性模量隨溫度的變化規(guī)律.

表 2 分別利用 (5)式和 (7) 式計(jì)算得到的NaCl體積彈性模量隨溫度的變化值

對(duì)于MgAl2O4，存在3個(gè)二階彈性常數(shù)：C11,C12和C44.從圖1可以看出，彈性常數(shù)計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值吻合度較高，最大誤差僅為0.3%.此外，相對(duì)于C12和C44，C11隨溫度變化的幅度更大.這是因?yàn)镃11代表縱向彈性，而縱向的應(yīng)變只引起體積改變而無(wú)形狀改變，體積的改變又與溫度變化密切相關(guān)，從而導(dǎo)致了C11的巨大變化.另一方面，C12和C44代表橫向彈性即剪切常數(shù)，橫向應(yīng)變只引起形狀變化而無(wú)體積變化，所以C12和C44對(duì)溫度并不敏感.

圖1 不同溫度下MgAl2O4的體積彈性模量(GPa)及二階彈性常數(shù)

(9)式還可用以計(jì)算更復(fù)雜的礦物質(zhì)，如Mg2SiO4及Al2O3.對(duì)于Mg2SiO4，存在9個(gè)二階彈性常數(shù)，而Al2O3存在6個(gè)二階彈性常數(shù).從圖2與圖3可以看出，根據(jù)(7)式與(9)式計(jì)算得到的體積彈性模量和二階彈性常數(shù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)值的一般趨勢(shì)也保持一致.當(dāng)溫度不超過(guò)1 000 K時(shí)，計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值完全一致.隨著溫度的繼續(xù)升高，少數(shù)二階彈性常數(shù)的誤差有所增大.Mg2SiO4最大的誤差出現(xiàn)在1 700 K時(shí)的C33，為3.9%；而Al2O3的最大誤差出現(xiàn)在1 800 K時(shí)的C33，為3.8%.

圖2 不同溫度下Mg2SiO4的體積彈性模量(GPa)及二階彈性常數(shù)

3 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)分析大量地幔礦物質(zhì)高溫下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合熱力學(xué)關(guān)系式及高溫下礦物質(zhì)熱膨脹系數(shù)的唯象公式，提出了一種簡(jiǎn)單而直接的數(shù)值方法以計(jì)算不同溫度下固體彈性常量.同時(shí)，本文所用方法不依賴于礦物質(zhì)的結(jié)構(gòu)，因此還可應(yīng)用于更復(fù)雜的地幔礦物質(zhì).