邱克娥，熊勝蘭，陶 磊，石昌梅，歐陽建新

(1.貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州貴陽550018；2.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽550025)

0 引言

時(shí)滯微分方程主要用于描述依賴當(dāng)前和過去歷史狀態(tài)的動(dòng)力系統(tǒng)。產(chǎn)生時(shí)滯的原因很多，如信號(hào)的傳遞需要一定的時(shí)間，藥物化學(xué)反應(yīng)過程會(huì)產(chǎn)生時(shí)滯。該方程數(shù)學(xué)模型比常微分或差分方程更合理地反應(yīng)了事物的演變規(guī)律，使其在物理、信息、生物數(shù)學(xué)等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。但由于時(shí)滯微分方程的無窮維特點(diǎn)，導(dǎo)致難以恰當(dāng)?shù)亟o出精確解，進(jìn)而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性或可控性等定性分析受限。因此，很多學(xué)者都關(guān)注于時(shí)滯微分系統(tǒng)解的精確表示。2003年，KHUSAINOV 和SHUKLIN[1]首次提出了延遲矩陣指數(shù)概念，并利用其重要性質(zhì)得到了帶有可置換矩陣條件下的一階線性時(shí)滯微分方程解的顯式表達(dá)。2006年，DIBLK和KHUSAINOV[2]將文獻(xiàn)[1]的思想發(fā)展到離散延遲矩陣指數(shù)，得到離散時(shí)滯系統(tǒng)的顯式解。2018年，MEDVED′和 POSPIL[3]在矩陣不可交換條件下，得到非常系數(shù)和可變多時(shí)滯微分方程解的表示。目前，很多學(xué)者對時(shí)滯微分方程展開了其他相關(guān)研究[4-5]。

另外，在描述涉及連續(xù)不可微函數(shù)的物理現(xiàn)象時(shí)，分形理論起到了重要作用，受到學(xué)者們的關(guān)注[6]，使分形理論得到不斷發(fā)展和完善。YANG[7-8]系統(tǒng)地構(gòu)建了分形空間上的局部分?jǐn)?shù)階微積分理論，使得許多研究問題被推廣到分形集Rα(0<α≤1)上。

受上述研究成果的啟發(fā)，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造了分形集Rnα(0<α≤1)上的延遲矩陣指數(shù)和Mittag-Leffler型矩陣指數(shù)函數(shù)，將常微分方程中經(jīng)典的常數(shù)變易法推廣到時(shí)滯微分方程，最終得到方程

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

根據(jù)YANG的分形集理論，令Rα(0<α≤1)為分形實(shí)線的α型集合。若aα，bα，cα∈Rα，則在Rα中代數(shù)運(yùn)算定義如下[7-8]：

(1)aα+bα∈Rα，aαbα∈Rα，

(2)aα+bα=bα+aα=(a+b)α=(b+a)α，aα-bα=(a-b)α，

(3)aα+(bα+cα)=(a+b)α+cα，

(4)aαbα=bαaα=(ab)α=(ba)α，

(5)aα(bαcα)=(aαbα)cα，

(6)aα(bα+cα)=aαbα+aαcα，

(7)aα+0α=0α+aα=aα，且aα1α=1αaα=aα.

定義1[7-8]設(shè)f：R→Rα，x→f(x)是一個(gè)不可微函數(shù)，如果對任意的ε>0，總存在δ>0(其中ε，δ∈R)，使得當(dāng)|x-x0|<δ時(shí)，有|f(x)-f(x0)|<εα，則稱不可微函數(shù)f(x)在x0處局部分?jǐn)?shù)階連續(xù)。如果f(x)在區(qū)間[a，b]上局部分?jǐn)?shù)階連續(xù)，記為f(x)∈Cα[a，b].

定義4 分形集Rnα(0<α≤1)上，定義延遲矩陣指數(shù)具有如下形式：

其中Θ和I分別指零矩陣和單位矩陣。

定義5 分形集Rnα(0<α≤1)上，Mittag-Leffler型矩陣指數(shù)函數(shù)定義如下：

引理1[7-8](1)設(shè)f(x)=g(α)(x)∈Cα[a，b]，則aIb(α)f(x)=g(b)-g(a).

(3)設(shè)f(x)∈Cα[a，b]，則對任意x∈[a，b]和u∈C1[a，b]，有

(b(k+1)α-a(k+1)α)，k>0.

引理3[7-8]設(shè)f(x)，g(x)∈Dα[a，b]，則對?λ，γ∈R，有

(1)(λf(x)±γg(x))(α)=λf(α)(x)±γg(α)(x).

(2)(f(x)g(x))(α)=f(α)(x)g(x)+f(x)g(α)(x).

(g(x)≠0).

(4)設(shè)g(x)=f(u(x))，且f(α)(u)，u′(x)存在，則g(α)(x)=f(α)(u)(u′(x))α.

引理4[7-8]設(shè)f(x)，g(x)∈Cα[a，b]，則對?λ，γ∈R，有

(1)aIb(α)(λf(x)±γg(x))=λaIb(α)f(x)±γaIb(α)g(x).

(2)aIb(α)f(x)=aIc(α)f(x)±cIb(α)f(x)，(a

(2)

證明：對于固定的矩陣B及延滯常數(shù)τ，利用定義4知引理的證明分為以下三個(gè)步驟：

(3)對?x∈[(k-1)τ，kτ]，k∈N，應(yīng)用引理2和引理3，對延遲矩陣指數(shù)計(jì)算局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)得到：

故(2)式成立，引理5得證。

(3)

證明：對于固定的矩陣B及延滯常數(shù)τ，對?x∈[(k-1)τ，kτ]，k∈N，由定義4及引理4有

(4)

對(4)式，應(yīng)用引理1、引理2、引理4，經(jīng)過簡單的計(jì)算可得：

③內(nèi)徑、流量、功率推算法。例如：C機(jī)井經(jīng)測量機(jī)井內(nèi)徑為225 mm，經(jīng)詢問管理人員，該機(jī)井功率為37 kW,每小時(shí)出水量為38 m3，井深200 m左右。經(jīng)推算,機(jī)座號(hào)確定為200（機(jī)座號(hào)應(yīng)小于或等于機(jī)井內(nèi)徑）；根據(jù)流量,可確定機(jī)井銘牌流量為40 m3，結(jié)合功率37 kW，則該機(jī)井型號(hào)為200 QJ 40—182/14。

故(3)式成立。

通過定義4，對?x∈[(k-1)τ，kτ]，k∈N，有

又因?yàn)?a+b)α=aα+bα，故

綜上，引理6成立。

引理7 分形集Rnα(0<α≤1)上，Mittag-Leffler型矩陣指數(shù)函數(shù)滿足(EAxα)(α)=AEAxα.

證明：由定義5、引理2和引理3可得：

2 主要結(jié)果及證明

本節(jié)主要考慮在矩陣A，B可交換條件下，求方程(1)的顯式解。首先利用第1部分的預(yù)備知識(shí)，得到方程(1)的基解矩陣。其次，考慮方程(1)所對應(yīng)的齊次方程的解和非齊次初值條件為零的解。最后得到方程(1)的顯式解。

(5)

定理證畢.

(6)

的解具有如下形式

證明：由定理1及解的結(jié)構(gòu)知，方程(6)的解具有如下形式

(7)

由A，B的可交換性，有

(8)

v(s)(ds)α.

(9)

對 (9)式關(guān)于x求α階局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，并利用引理1、引理3、引理7有

從而Aφ(x)-φ(α)(x)=-E-Aταv(x)，也即是v(x)=EAτα(φ(α)(x)-Aφ(x)).將v(x)代入(8)式，得到

(10)

的解具有如下形式

(11)，

其中F(s)是定義在[0，x]上的未知向量函數(shù)。對(11)式求α階局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，利用引理1和引理4有

(12)

將(11)和(12)式代入方程(10)，有

因?yàn)锽1=E-AταB，上式可變形為

(13)

定理4 方程(1)的解具有如下形式：

證明：結(jié)合定理2和定理3知道，定理4成立。

3 結(jié)束語

文章主要根據(jù)YANG[7-8]建立的局部分?jǐn)?shù)階積分理論，在分形集Rnα(0<α≤1)上構(gòu)造延遲矩陣指數(shù)和Mittag-Leffler型矩陣指數(shù)函數(shù)，將常微分方程中經(jīng)典的常數(shù)變易法推廣到時(shí)滯微分方程，最終得到一類帶時(shí)滯微分方程解的顯式表達(dá)，進(jìn)而有利于對一些系統(tǒng)的穩(wěn)定性或可控性等定性分析進(jìn)行研究。