李智宇，陽晉，鄒軍

(1.石家莊鐵道大學(xué) 交通運輸學(xué)院，河北 石家莊，050043；2.北京全路通信信號研究設(shè)計院集團有限公司，北京，100073；3.電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和仿真國家重點實驗室，北京，100084)

無砟軌道由鋼軌、道床和鋼筋等構(gòu)成，具有穩(wěn)定性好、維修工作量少、使用壽命長和綜合經(jīng)濟效益高等優(yōu)點[1-4]，是我國高速鐵路建設(shè)中的發(fā)展方向[5-6]。當(dāng)客專區(qū)間存在四線并行線路時，鄰線同頻信號會通過空間耦合等方式在本區(qū)段形成干擾電流，該干擾可能會導(dǎo)致機車信號的誤動作[7-8]。無絕緣移頻軌道電路是高速鐵路控制系統(tǒng)的重要組成部分，通過電路中的傳輸信號，用于自動、連續(xù)檢測線路是否被機車占用，檢查鋼軌是否完整，保證行車的安全性[9]。鋼軌阻抗是軌道電路中重要的電磁耦合參數(shù)[10-11]，尤其相鄰線路間的互阻抗直接影響上下行線路間軌道電路信號和機車信號的安全性。因此，對其進行定量的計算分析，以正確設(shè)計軌道電路長度和防護措施，有重要意義。

對于軌道阻抗計算方法的研究，多數(shù)針對有砟軌道進行展開分析，主要包括有限元方法[12]以及通過推導(dǎo)得到的簡化公式進行求解[13]。相比于有砟軌道，無砟軌道阻抗計算方法的研究相對較少。張漢花等[14]采用阻抗分解法結(jié)合有限元仿真進行了軌道電路的阻抗計算分析；張漢花等[15]結(jié)合有限元及電路方法，分析了頻率、土壤電導(dǎo)率等參數(shù)對軌道阻抗的影響。以上均針對的是單線軌道阻抗的研究計算。杜學(xué)龍等[16]根據(jù)Carson 地阻抗簡化公式即Deri 地阻抗公式推導(dǎo)得到了軌道互阻抗計算的簡化計算公式，但該公式僅適用于路基無鋼筋時復(fù)線軌道間的互阻抗計算，同時對軌道高度有一定的限制。

針對無砟軌道，其軌道結(jié)構(gòu)復(fù)雜，同時軌道電路信號頻率為1.7～2.6 kHz，此時，鋼軌及鋼筋內(nèi)電流趨膚深度為毫米級。如采用有限元仿真計算，為保證趨膚效應(yīng)計算結(jié)果的正確性，1個趨膚深度至少對應(yīng)2層網(wǎng)格剖分。對于大空間、小尺寸的電磁場求解計算，當(dāng)直接采用有限元仿真計算時，存在剖分單元數(shù)量大、求解收斂困難等問題。因此，為避免有限元建模計算的復(fù)雜性以及考慮鋼筋對軌道阻抗的影響，需要針對復(fù)線無砟軌道間互阻抗的計算方法及其阻抗特性展開研究。

本文首先分別詳細介紹用于求解復(fù)線無砟軌道互阻抗存在鋼筋時的數(shù)值計算方法，同時介紹阻抗求解公式中涉及的無窮積分項的推導(dǎo)求解過程。其次，通過與有限元仿真結(jié)果進行對比，驗證該數(shù)值計算方法的正確性。最后，以路基軌道為例，結(jié)合該數(shù)值計算方法，進行頻率、土壤電導(dǎo)率、鋼筋以及高度對互感的影響規(guī)律，并分析其影響程度。

1 計算方法簡介

1.1 存在鋼筋時的互阻抗計算

復(fù)線并行運行軌道模型橫截面示意圖如圖1所示，無砟軌道結(jié)構(gòu)主要包含鋼軌、道床板、鋼筋、混凝土底座。其中，道床板中埋有上、下2 層鋼筋。與鋼軌平行的鋼筋為縱向鋼筋，與鋼軌方向垂直的鋼筋為橫向鋼筋。單路鋼軌和道床中縱橫鋼筋形成的鋼筋網(wǎng)示意圖如圖2所示。

圖1 復(fù)線并行軌道模型橫截面示意圖Fig.1 Cross section diagram of double track parallel track model

圖2 單路無砟軌道鋼軌與鋼筋網(wǎng)簡單示意圖Fig.2 Simple schematic diagram of rail and steel mesh of single ballastless track

無砟軌道接地要求如下：

1) 縱向：將每股道整體道床最上層的鋼筋中的3根縱向鋼筋作為接地鋼筋，即上層鋼筋網(wǎng)中心1 根鋼筋和最外側(cè)2 根鋼筋，鋼筋直徑為16 mm，縱向接地鋼筋的混凝土保護層厚度不大于100 mm(一般不少于3根)。

2) 橫向：為保證單點接地，每塊道床內(nèi)均設(shè)一處直徑為16 mm 的橫向接地鋼筋，橫向接地鋼筋與縱向接地鋼筋之間焊接。

3) 絕緣：接地鋼筋與道床板內(nèi)的其他結(jié)構(gòu)鋼筋交叉時需絕緣，不得構(gòu)成接地閉合電氣回路，原則上應(yīng)對無砟軌道自軌底以下600 mm范圍內(nèi)的結(jié)構(gòu)鋼筋采取絕緣措施(絕緣套管和絕緣涂層等)。

4) 接地單元：沿線路方向每100 m形成一個接地單元，一個接地單元內(nèi)的道床板間通過不銹鋼纜線連接，每一個接地單元與接觸網(wǎng)架空地線連接一次，同一接地單元內(nèi)，應(yīng)設(shè)且僅設(shè)1根橫向鋼筋與3根縱向接地鋼筋焊接。存在道床橫向結(jié)構(gòu)縫時，在結(jié)構(gòu)縫劃分的每個道床板內(nèi)，應(yīng)設(shè)且僅設(shè)1根橫向鋼筋與3根縱向接地鋼筋焊接。

根據(jù)以上接地要求可知：上層道床板中有接地的鋼筋，混凝土底座中鋼筋不接地且采用絕緣措施。

經(jīng)分析，橫向鋼筋對互阻抗的影響可忽略，本文只考慮縱向鋼筋對互阻抗的影響，鋼筋不特殊介紹時，即默認為縱向鋼筋。

假設(shè)圖1中鋼軌由左到右分別編號為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ號鋼軌，由Ⅰ號和Ⅱ號鋼軌構(gòu)成回路1，Ⅲ號和Ⅳ號鋼軌構(gòu)成回路2，軌道間的互阻抗即回路1 和回路2之間的互阻抗。在Ⅰ號、Ⅱ號鋼軌上分別通入電流Irail和-Irail，則有互阻抗Zm：

式中：Em為回路1中通入電流后在回路2中建立的感應(yīng)電動勢。由電磁感應(yīng)可知，當(dāng)鋼軌Ⅰ號、Ⅱ號中通入鋼軌信號電流時，鋼筋中將產(chǎn)生感應(yīng)電流，若設(shè)鋼筋總根數(shù)為n，對應(yīng)的鋼筋電流為Ij(j=1，…，n)。對以大地和各鋼筋形成的回路列方程，有

式中：Zjj(j=1，…，n)為鋼筋的自阻抗，包括內(nèi)自阻抗和外自阻抗2 部分；Zij(i，j=1，…，n)為鋼筋之間的互阻抗，Zij=Zji；ZjⅠ和ZjⅡ分別為各個鋼筋與Ⅰ號、Ⅱ號鋼軌之間的互阻抗。由該方程便可求解得到各個鋼筋中電流Ij。

綜合以上可知，式(1)中的感應(yīng)電動勢Em是鋼軌電流Irail和鋼筋電流Ij(j=1，…，n)共同作用的結(jié)果，即Em為

式中：Em1為鋼軌電流±Irail在回路1 上產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢；Em2為各個鋼筋電流Ij在回路2上產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢。Em1和Em2分別為：

式中：ZⅢ,Ⅰ，ZⅣ,Ⅱ，ZⅣ,Ⅰ和ZⅢ,Ⅱ為對應(yīng)鋼軌與鋼軌之間的互阻抗；ZⅢj和ZⅣj(i，j=1，…，n)分別為j號鋼筋與Ⅲ號、Ⅳ號鋼軌之間的互阻抗。

結(jié)合式(1)和式(3)～(5)，可求得軌道間的互阻抗Zm。

綜合以上各式可知，求得軌道間互阻抗的關(guān)鍵在于求解鋼軌和鋼筋任意2 個導(dǎo)體之間的互阻抗，該互阻抗為任意2個導(dǎo)體分別與大地形成的回路之間的互阻抗。其求解可采用考慮大地存在情況下的Carson 地阻抗計算公式[17]計算，模型參考圖如圖3所示，大地上方2個導(dǎo)體之間的互阻抗Z12計算公式為：

圖3 大地上方兩導(dǎo)體系統(tǒng)Fig.3 Two conductor system above earth

式中：j為虛數(shù)單位；ω為信號角頻率；μ0和σ分別為大地磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率；h1和h2分別為1號導(dǎo)體和2號導(dǎo)體距離大地的高度；d12為2個導(dǎo)體之間的水平距離；r12為1號導(dǎo)體和2號導(dǎo)體之間的距離；為1號導(dǎo)體和2號鏡像導(dǎo)體之間的距離；W為大地為有限電阻率時的修正項；λ為積分變量。

由式(9)可以看出，修正項W為無窮積分項，存在求解困難的問題。目前存在的求解方法是針對該項進行假設(shè)條件下的公式簡化，最經(jīng)典的為Deri地阻抗計算公式[18]。但結(jié)合式(9)和文獻[16]可知，基于Deri 地阻抗公式對計算軌道互阻抗時，對于軌道高度具有一定的限制，不足以滿足軌道互阻抗計算的應(yīng)用場景。

為此，本文基于Carson 地阻抗計算公式中的原始積分項W，提出采用AET (asymptotic extract technique)方法[18]進行無窮積分項的求解。

1.2 基于AET方法計算W

令參數(shù)γ2=jωμ0σ，式(9)可轉(zhuǎn)化為

令被積函數(shù)用F(λ)表示，即

根據(jù)AET 方法，將以上無窮積分進行截斷，取截斷值T=10|γ|，則式(10)轉(zhuǎn)換為

由此可知，第一項W1可采用常規(guī)積分法進行求解，第二項W2計算時需進行特別處理。首先結(jié)合泰勒展開和換元積分法對被積函數(shù)F(λ)進行化簡，經(jīng)化簡后W2轉(zhuǎn)化為

式中：ξ為換元后的積分變量。

經(jīng)化簡后，第二項W2的計算則可根據(jù)指數(shù)積分公式直接調(diào)用進行計算。在區(qū)間[0，T]中，由于T很小，計算時沒有振蕩現(xiàn)象，可根據(jù)cos(λd12)的零點分區(qū)間，每個區(qū)間采用自適應(yīng)高斯-勒讓德積分函數(shù)quadgk進行數(shù)值積分計算即可。

根據(jù)式(6)和式(15)計算得到兩導(dǎo)體之間的互阻抗后，結(jié)合式(1)和式(3)～(5)，便可進行有鋼筋時軌道間互阻抗Zm的求解計算。

2 計算方法準確性驗證

多物理場耦合計算軟件Comsol 是一款基于有限元的仿真軟件，可進行復(fù)雜結(jié)構(gòu)多種介質(zhì)情況下的電磁場仿真計算。為與仿真方法相區(qū)分，以下簡稱本文所提出的方法為數(shù)值計算方法。因此，為驗證本數(shù)值計算方法結(jié)果準確性，可基于該軟件進行仿真計算，并進行兩者計算結(jié)果的對比分析。

由于橫向鋼筋基本不起作用，所以數(shù)值計算方法中未考慮橫向鋼筋的影響是合理的，這點可通過三維情況下仿真計算進行說明。

2.1 橫向鋼筋下的三維仿真計算

為分析橫向鋼筋對阻抗的影響，現(xiàn)圍繞橫向鋼筋展開計算分析。計算模型為：大地上方存有一通電鋼軌，道床板中包含4根縱向鋼筋，分別進行無橫向鋼筋和布置2 根、4 根橫向鋼筋3 種不同情況下的電磁場計算，橫縱向鋼筋相互絕緣。道床板中包含4根縱向鋼筋和4根橫向鋼筋時的模型圖如圖4所示。鋼軌上施加電流信號，與鋼軌同向的x方向為縱向，與鋼軌方向垂直的y方向為橫向。

圖4 橫向鋼筋影響分析模型Fig.4 Analysis model of influence of transverse reinforcement

取與鋼軌同平面的縱向直線為磁場參考觀察處，計算得到的磁密相對誤差如圖5所示。橫向鋼筋數(shù)分別為2根和4根時鋼筋電流密度分布圖如圖6所示。

圖5 有無橫向鋼筋時磁通密度的相對誤差Fig.5 Relative error of magnetic flux density with and without transverse reinforcement

由圖5 可以看出：當(dāng)橫向鋼筋分別為4 根和2根時，兩者與分別沒有橫向鋼筋時計算得到的磁密相對誤差均在4%以內(nèi)，說明有橫向鋼筋時和沒有橫向鋼筋時的磁場計算結(jié)果基本一致；同時，由4根橫向鋼筋和2根橫向鋼筋之間的磁密相對誤差可以看出，除了位于x=0 中心處相對誤差約為3%以外，其他位置處的相對誤差基本在2%以內(nèi)，說明橫向鋼筋數(shù)增加時基本不影響電磁場計算結(jié)果。再者，結(jié)合圖6可以看出，鋼筋上的感應(yīng)電流基本均分布在靠近鋼軌的中心2根縱向鋼筋上。

圖6 橫向鋼筋電流密度分布Fig.6 Current density distributions of transverse reinforcement

綜合以上說明，橫向鋼筋影響不大，計算分析時可不考慮橫向鋼筋的影響。軌道阻抗計算時三維模型可簡化為二維模型進行計算分析。因此，結(jié)合以上分析，利用Comsol 建立路基二維模型，通過仿真計算驗證本文所提出的互阻抗數(shù)值計算方法的準確性。

2.2 仿真計算和數(shù)值方法計算結(jié)果對比驗證

由文獻[16]可知，互阻抗中電阻比較小，所以計算分析時主要側(cè)重于互感的計算大小。已知單路兩鋼軌之間的距離為d=1.435 m，兩路軌間距D=5 m，鋼軌距離大地的高度h=0.5 m，頻率為1 700 Hz，道床板中分別布置上、下2 層鋼筋，每層鋼筋為10根。左側(cè)軌道中通入1 A電流，由此計算在相鄰軌道中產(chǎn)生的互感。為簡化仿真計算，鋼軌采用圓導(dǎo)體代替，路基情況下復(fù)線軌道仿真模型如圖7所示。對于高架橋上復(fù)線軌道間互感的計算，需要將道床板和軌道距離地面高度增加高架橋面的高度。計算得到的有鋼筋時仿真結(jié)果和數(shù)值計算結(jié)果如圖8所示。圖8中，Comsol軟件采用有限遠方法，其需要截斷無限遠邊界；而本文方法是考慮了無限遠處的自然邊界條件的，因此，有限元方法計算結(jié)果會偏小，這是合理的。

圖7 路基情況下復(fù)線軌道仿真模型Fig.7 Simulation model of double track at subgrade condition

圖8 互感仿真結(jié)果和數(shù)值結(jié)果對比Fig.8 Comparison between simulation results and numerical results of mutual inductance

由圖8可知：基于數(shù)值計算方法和有限元仿真計算分別得到的互感隨頻率的變化曲線相對誤差不大于2.6%，說明數(shù)值計算方法是有效的，可用于后期頻率、土壤電導(dǎo)率等參數(shù)的影響分析，避免了仿真計算的復(fù)雜性以及網(wǎng)格剖分帶來的計算量大的問題。

3 不同參數(shù)對軌道電感影響

以圖7所示的路基復(fù)線軌道模型為例，進行頻率、土壤電導(dǎo)率、鋼筋和軌道高度對復(fù)線軌道間互感的影響規(guī)律及影響程度分析。為此，各部分的材料屬性初始設(shè)置如表1所示，結(jié)構(gòu)尺寸布置如表2所示。

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameters

表2 結(jié)構(gòu)尺寸Table 2 Structural dimensions

3.1 頻率和電導(dǎo)率對互感影響

假設(shè)道床板中存在鋼筋，計算不同頻率下復(fù)線軌道間的互感。由于軌道電路中的信號頻率為1 700～2 600 Hz，因此，設(shè)置頻率分析范圍為1 500～3 000 Hz。計算得到的隨頻率變化的互感曲線如圖9所示。

圖9 有無鋼筋時不同頻率下的互感Fig.9 Mutual inductance at different frequencies with and without reinforcement

由圖9可以看出：當(dāng)?shù)来舶逯杏袖摻顣r，互感隨頻率增大逐漸減小，此時互感最大變化率為31.81%。這是由于渦流效應(yīng)在鋼筋中產(chǎn)生了相反的感應(yīng)電流，起到了去磁作用。另外，頻率越大，去磁作用越強，從而導(dǎo)致頻率越大，互感越小。當(dāng)?shù)来舶逯袥]有鋼筋時，互感最大變化率為0.05%，電感基本無變化。說明當(dāng)存有鋼筋時頻率對互感的影響較大，無鋼筋時頻率對互感基本無影響。

3.2 土壤電導(dǎo)率對互感影響

土壤中的水分和鹽分會影響土壤電導(dǎo)率。當(dāng)土壤含水率為10%～30%時，土壤的電導(dǎo)率變化范圍為0.01～0.16 S/m；對于含有鹽分的土壤，電導(dǎo)率變化較大。不同水分和鹽分時的電導(dǎo)率如表3所示。

表3 土壤不同含水率和含鹽率時的電導(dǎo)率Table 3 Electrical conductivity of soil with different moisture and salinity S·m-1

因此，為考慮土壤基本不導(dǎo)電的極限情況，土壤電導(dǎo)率分別取為0.000 1，0.001 0，0.010 0，0.100 0 和1.000 0 S/m。計算得到有鋼筋時不同電導(dǎo)率下互感隨頻率的變化曲線如圖10所示。

圖10 有鋼筋時不同電導(dǎo)率下的互感Fig.10 Mutual inductance at different conductivities with reinforcement

由圖10 可知：當(dāng)土壤電導(dǎo)率為0.000 1～0.100 0 S/m 時，隨電導(dǎo)率逐漸增大，互感逐漸減小，這是由于電導(dǎo)率越大，大地渦流作用導(dǎo)致的大地的去磁作用越強；當(dāng)電導(dǎo)率為1.000 0 S/m，同時頻率在較高范圍內(nèi)時，此時的互感比電導(dǎo)率為0.010 0 S/m 下的互感大，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因可能是電導(dǎo)率和頻率越大，大地中的感應(yīng)電流越大，且電流分布越集中在大地表面，距離鋼筋越近，兩者中感應(yīng)電流的相互作用可能導(dǎo)致去磁作用減弱。

綜合不同土壤電導(dǎo)率時的互感大小發(fā)現(xiàn)，當(dāng)電導(dǎo)率為0.000 1～1.000 0 S/m時，互感的最大變化率為2.45%，這表明土壤電導(dǎo)率對復(fù)線軌道間互感基本無影響。

3.3 鋼筋對互感的影響

由3.1 節(jié)有鋼筋情況下的頻率分析結(jié)果可知，鋼筋具有去磁作用，因此詳細分析鋼筋對互感的影響程度。根據(jù)鋼筋的布置情況，分析鋼筋布置位置對互感的影響，進行以下4 種情況下的互感計算：

1) 道床板中上下2層均布有鋼筋，簡稱為有鋼筋的情況；

2) 無鋼筋時的互感計算；

3) 靠近激勵的左側(cè)道床板中存在鋼筋、右側(cè)無鋼筋；

4) 道床板中僅布置上層鋼筋時的互感計算。計算結(jié)果分別如圖11 所示。由圖11 可以看出：當(dāng)無鋼筋時，互感約為17.21 μH/km，有鋼筋時互感小于3 μH/km。由此可知，有無鋼筋對復(fù)線軌道間互感的影響較大。

圖11 不同頻率下有無鋼筋時的互感Fig.11 Mutual inductance with and without reinforcement at different frequencies

不同頻率下僅左側(cè)道床板中存在鋼筋時的互感均值約為7.71 μH/km；道床板中僅存在上層鋼筋時的互感均值約為8.42 μH/km；對比無鋼筋時的互感，一方面說明道床板中上、下2層鋼筋對于互感具有基本相當(dāng)?shù)娜ゴ抛饔茫涣硪环矫嬲f明左、右兩側(cè)的鋼筋對于互感也基本具有相同的影響程度，即使是在左側(cè)軌道中通入電流信號，右側(cè)道床板中的鋼筋相比于左側(cè)鋼筋距離激勵源較遠，但是同樣起到了去磁作用，其影響不可忽略。

3.4 軌道高度對互感的影響

高速鐵路不僅有路基的情況，還存在高架橋上高鐵運行的情況。因此，進行軌道高度對復(fù)線軌道間互感的影響分析。設(shè)軌道高度(包括橋梁高度)H=0～50 m。其中，當(dāng)H=0 m時，相當(dāng)于路基軌道高度的情況。同時考慮道床板中有無鋼筋的情況，計算得到的不同高度下有無鋼筋時互感及有鋼筋時的互感如圖12所示。

圖12 不同高度時的互感Fig.12 Mutual inductance at different heights

由圖12 可以看出：不論有、無鋼筋，互感基本不隨高度變化而變化，說明高度對于復(fù)線軌道間的互感基本無影響。

4 結(jié)論

1) 當(dāng)?shù)来舶逯袩o鋼筋時，頻率對互感幾乎無影響；有鋼筋時不同頻率下互感的最大變化率為31.81%，相比于無鋼筋的情況，有鋼筋時頻率對互感的影響較大。

2) 當(dāng)?shù)来舶逯杏袖摻顣r，土壤電導(dǎo)率為0.000 1～1.000 0 S/m 時互感的最大變化率為2.45%；當(dāng)軌道高度在0～50 m 時，互感為2.73～2.74 μH/km，說明在有鋼筋時土壤電導(dǎo)率和軌道高度對互感幾乎無影響。

3) 在同頻率下無鋼筋時，互感約為17.21 μH/km，有鋼筋時互感小于3 μH/km，明顯比無鋼筋時的互感小，說明鋼筋的有、無對互感影響較大；與無鋼筋時的互感相比，當(dāng)?shù)来舶逯蟹謩e僅有上層鋼筋和左側(cè)鋼筋時，互感最大變化率均超過50%，說明道床板中的不同位置處的鋼筋均影響互感。

4) 無砟軌道線路軌道電路互感參數(shù)測試時，應(yīng)按照1 700，2 000，2 300和2 600 Hz這4種軌道電路工作頻率分別測試；無砟軌道線路軌道電路鄰線干擾耦合計算時，無須考慮土壤電阻率影響，可極大簡化計算模型和提升計算效率；軌道電路運用于無砟軌道線路時，因互感耦合系數(shù)較大，應(yīng)考慮適當(dāng)縮短上、下行軌道電路區(qū)段的并行長度。