馮妍妍 ,林鴻金 ,許愛珠

(1.福建師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,福建 福州 350117；2.寧德師范學院 數(shù)理學院,福建 寧德 352100)

1 引言及主要結果

21 世紀初期,Halburd 等[1]、Chiang 等[2]揭開了對亞純函數(shù)差分模擬理論研究的序幕.之后Halburd等[3]將相關理論中的增長級條件推廣至超級小于1,唯一性理論得到極大發(fā)展.假定讀者已經(jīng)熟悉Ne?vanlinna理論的相關理論和符號[4-5],例如N(r,f),m(r,f),T(r,f),f(z+c)等.

為了介紹研究成果,現(xiàn)給出亞純函數(shù)f(z)超級的定義,介紹f(z)的一類差分多項式M(f),并給出CM、IM分擔a的定義.

定義1[4-5].

定義2令η為非零復常數(shù),定義如下的差分多項式M(f):

其中：αi(i=0,1,2,…,p)均為常數(shù),αp不為零且α0+α1+…+αp=0.

定義3[5]f和g均是非常數(shù)的亞純函數(shù),a∈.

1）若f-a和g-a有完全相同的零點,并且各個零點對應的重級相同,則稱f和gCM 分擔a,或稱a是它們的CM公共值.

2）若f-a和g-a的零點相同(不計重數(shù)),則稱f和gIM分擔a,或稱a是它們的IM公共值.

在復分析研究領域中,作為經(jīng)典課題之一的亞純函數(shù)唯一性理論是值分布理論的一個重要應用.1925年,Navanlinna證明了經(jīng)典的四值定理,具體如下.

定理A[5]設f(z)和g(z)為兩個非常數(shù)亞純函數(shù),且它們CM分擔4個互相判別的復數(shù)a1,a2,a3,a4.如果f(z)?g(z),則f(z)=T(g(z)),其中T為一個分式線性變換.

2018年,Qi等[6]考慮了f(z)與f(z+c)具有某些分擔值的唯一性問題,證明了：

定理B[6]設f(z)是有窮級亞純函數(shù),c∈∈S(f)?{ ∞}是三個互異的以c為周期的周期函數(shù).若f(z)和f(z+c)CM 分擔a1,a2且IM 分擔a3,則f(z+c)≡f(z),其中定義S(f)為f(z)的小函數(shù)的集合.

2020 年,Chen 等[7]和Qi等[8]從亞純函數(shù)唯一性理論的角度出發(fā),考慮了f(z)與之間的分擔值問題,獲得了如下結果.

定理C設f(z)是超越整函數(shù),其超級ρ2(f)＜1.若0 是f(z)和的CM 公共值,并且非零有窮復數(shù)a是它們的IM公共值,則f(z) ≡Δncf(z).

2022 年,林鴻金等[9]基于上述已有的結果,增加考慮了f(z)是有理函數(shù)的情況,將f(z)從超越整函數(shù)推廣至非常數(shù)亞純函數(shù),得到如下定理.

定理D設f(z)是非常數(shù)亞純函數(shù),其超級ρ2(f)＜1,c(≠0) ∈.如果0,∞是和f(z)的CM公共值,非零有窮復數(shù)a是它們的IM公共值,且Θ(0,f(z)) ＞0,則f(z) ≡Δncf(z).

定理1設f(z)是非常數(shù)亞純函數(shù),其超級小于1,c(≠0) ∈且a為可判別有窮復常數(shù),M(f)如定義2中所定義.若M(f)和f(z)CM分擔0,∞,IM分擔a,同時滿足

Θ(0,f(z))＞0,

則f(z)≡M(f).

注下面給出例子來說明存在滿足定理1的亞純函數(shù).

2 引理

引理1[3]設f(z)為非常數(shù)亞純函數(shù),其超級嚴格小于1,則

引理2設f(z)為開平面上的非常數(shù)亞純函數(shù),M(f)如定義2中所定義,a為任意有窮復數(shù),則

3 定理1的證明