劉漢彪，王發(fā)光，劉 晨，李 磊，馬馳騁

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

0 引言

微懸臂梁傳感器具有體積小、靈敏度高、結(jié)構(gòu)易加工及制作成本較低等優(yōu)點(diǎn)，通過諧振元件吸附質(zhì)量前后的力學(xué)特性變化檢測(cè)微質(zhì)量、輪胎壓力等參數(shù)[1-4]。研究高性能的諧振質(zhì)量傳感器在工業(yè)、車輛、航空航天等領(lǐng)域具有特別重要的作用。

1958年，諾貝爾獲獎(jiǎng)?wù)叻评铡の謧悺ぐ驳律璠5]首次發(fā)現(xiàn)模態(tài)局部化原理，成為模態(tài)局部化諧振傳感器發(fā)展的起源。模態(tài)局部化指初始振動(dòng)系統(tǒng)由于外部擾動(dòng)導(dǎo)致各諧振器振動(dòng)幅值發(fā)生變化及振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生能量集中現(xiàn)象[6]。Zhang等[7]利用振幅比實(shí)現(xiàn)外部物理量的變化，設(shè)計(jì)出模態(tài)局部化加速度傳感器，此類傳感器的靈敏度取決于諧振器剛度與耦合器剛度之間的比率。當(dāng)采用弱模態(tài)耦合剛度時(shí)，其靈敏度比傳統(tǒng)頻率移動(dòng)變化的諧振器靈敏度高2～3個(gè)數(shù)量級(jí)。Tony等[8]設(shè)計(jì)了兩自由度機(jī)械耦合等長(zhǎng)諧振傳感器，在模態(tài)局部化作用下，傳感器的靈敏度較單自由度頻移檢測(cè)傳感器的靈敏度、檢測(cè)范圍得到顯著提高。張等[9]研究了兩懸臂梁的本征頻率和振型的變化規(guī)律，在兩個(gè)懸臂梁之間機(jī)械耦合形成諧振傳感器，質(zhì)量剛度的差異是改變轉(zhuǎn)向模態(tài)的調(diào)諧參數(shù)。趙等[10]提出了一種三自由度弱耦合諧振器系統(tǒng)，通過測(cè)量共振模態(tài)下振幅比值作為靈敏度輸出量，可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)高靈敏度和良好的共模抑制。Li等[11]實(shí)驗(yàn)研究了基于單懸臂梁、雙懸臂梁、三懸臂梁的諧振頻移的靈敏度方程。目前對(duì)可調(diào)式諧振質(zhì)量傳感器檢測(cè)性能的研究較少。

模態(tài)局部化現(xiàn)象中同時(shí)伴隨著能量的局部化，能量的變化與耦合剛度、擾動(dòng)質(zhì)量有關(guān)[12-13]。本文基于模態(tài)局部化原理，利用雙自由度非對(duì)稱耦合梁，通過施加調(diào)諧質(zhì)量，設(shè)計(jì)了一種可調(diào)式諧振質(zhì)量傳感器，用以提高傳感器的靈敏度和擴(kuò)展檢測(cè)范圍，并對(duì)調(diào)諧前后結(jié)構(gòu)諧振模態(tài)下的振動(dòng)特性和檢測(cè)性能做了對(duì)比分析。最后在較高電壓下驅(qū)動(dòng)諧振傳感器，利用超諧共振現(xiàn)象對(duì)諧振器進(jìn)行檢測(cè)性能分析。

1 模型分析

1.1 理論建模

圖1 諧振梁模型示意圖

(1)

(2)

機(jī)械耦合共振傳感器的邊界條件為

(3)

(4)

表1為實(shí)驗(yàn)尺寸參數(shù)。表中，L1為諧振梁1長(zhǎng)度，L2為諧振梁2長(zhǎng)度，L為耦合梁寬度，L3為壓電陶瓷長(zhǎng)度，wb為諧振梁寬度、耦合梁長(zhǎng)度，hb為諧振梁、耦合梁厚度，wp為壓電陶瓷寬度，hp為壓電陶瓷厚度。

表1 模型參數(shù) 單位：mm

(5)

(6)

其中：

(7)

為了簡(jiǎn)化式(1)、(2)，引入無量綱量：

(8)

得到無量綱方程：

C0V(x,t)[δ′(x)-δ′(x-L3)]+

k′(y2-y1)δ(x-l1)

(9)

y2)δ(x-l1)

(10)

其中:

(11)

邊界條件為

y′1(0,t)=y1(0,t)=y″1(1,t)=

y?1(1,t)=0

(12)

y′2(0,t)=y2(0,t)=y″2(l′,t)=

y?2(l′,t)=0

(13)

式(9)、(10)的解可以表示為

(14)

(15)

式中φ1,i與φ2,i分別是第i個(gè)線性無阻尼振型。特征值方程為

(16)

(17)

將式(16)、(17)代入式(9)、(10)中，求解[18]得到：

C0V(x,t)[φ′1(L3)-φ′1(0)]+

(18)

(19)

其中:

(20)

只考慮一階和二階振型，取n=1，為了方便簡(jiǎn)化，將u1、u2、φ1、φ2、β1、β2分別代替式(18)、(19)中u1,1、u2,1、φ1,1、φ2,1、β1,1、β2,1，得到二自由度的動(dòng)力學(xué)控制方程：

C0V(x,t)[φ′1(L3)-φ′1(0)]+

(21)

(22)

不考慮質(zhì)量擾動(dòng)的情況下，通過COMSOL軟件[19]仿真分析，保持諧振梁1的尺寸不變，調(diào)節(jié)諧振梁2的尺寸，使前兩節(jié)固有頻率近似相等，如圖2所示,得到耦合諧振器結(jié)構(gòu)前兩階振型，其固有頻率分別為57.1 Hz、58.2 Hz，耦合強(qiáng)度系數(shù)k=0.000 1 N/m。為了充分展現(xiàn)系統(tǒng)能量局部化的現(xiàn)象，此處耦合剛度不易太大。

圖2 諧振梁前兩階振型

求解式(21)、(22)可得二自由度線性系統(tǒng)的雅克比矩陣：

(23)

求解式(23)的特征值得到系統(tǒng)的諧振頻率：

(24)

假設(shè)不添加附加質(zhì)量，即η′1=η′2=η′3=0，由式(24)計(jì)算得到諧振梁1、2對(duì)應(yīng)的前兩階固有頻率值分別為56.9 Hz、58.5 Hz。與仿真結(jié)果相比，驅(qū)動(dòng)諧振梁1固有頻率誤差為0.357%，諧振梁2固有頻率誤差為0.515%，由此驗(yàn)證上述COMSOL有限元軟件分析模型及分析方法的可靠性。

1.2 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ头治?/h3>

諧振梁選取的實(shí)驗(yàn)材料為鈹青銅，壓電驅(qū)動(dòng)片為PZT-5H，尺寸參數(shù)與理論建模和仿真保持一致。圖3(a)為諧振傳感器實(shí)驗(yàn)原理圖。壓電陶瓷片受到交變電場(chǎng)的作用驅(qū)動(dòng)諧振器，位移傳感器測(cè)量圖3(b)中諧振梁1(A點(diǎn))和諧振梁2(C點(diǎn))的振幅變化。研究過程中使用的質(zhì)量塊分為兩類：

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置原理圖

1) 調(diào)諧質(zhì)量。材料選取釹鐵硼磁鐵，附加位置為諧振梁1中點(diǎn)。

2) 待測(cè)質(zhì)量。材料選擇質(zhì)量為1 mg鐵質(zhì)量塊，待測(cè)質(zhì)量范圍選取0～15 mg。

在無調(diào)諧質(zhì)量、無待測(cè)質(zhì)量擾動(dòng)時(shí)，通過掃頻得到諧振梁1、2的固有頻率分別為58.2 Hz、57.1 Hz。與前述相比，固有頻率存在較小的波動(dòng)，原因是耦合梁寬度的微小變化和壓電驅(qū)動(dòng)器粘結(jié)的膠水等因素產(chǎn)生的誤差。下面分別研究無調(diào)諧質(zhì)量、B點(diǎn)施加調(diào)諧質(zhì)量下，A、C點(diǎn)附加待測(cè)質(zhì)量后前兩階的振動(dòng)特性。

無調(diào)諧質(zhì)量下，以諧振梁1為檢測(cè)梁，在A點(diǎn)逐漸添加待測(cè)質(zhì)量塊，系統(tǒng)的一階共振頻率逐漸減小，二階共振頻率基本保持不變，頻率變化如圖4(a)所示，諧振系統(tǒng)產(chǎn)生頻率轉(zhuǎn)向。若以諧振梁2為檢測(cè)梁，在C點(diǎn)逐漸添加質(zhì)量塊后，變化趨勢(shì)如圖4(b)所示，一階共振頻率逐漸減小，二階共振頻率基本不變。

圖4 共振頻率隨著擾動(dòng)質(zhì)量變化趨勢(shì)

圖5為無調(diào)諧質(zhì)量下，諧振梁1，2分別為檢測(cè)梁時(shí)呈現(xiàn)的振幅變化，A1為諧振梁1的位移，A2為諧振梁2的位移。圖5(a)、(b)分別表示在前兩階模態(tài)下質(zhì)量附加在A、C振幅大小。

圖5 諧振梁振幅隨著質(zhì)量變化曲線

由圖5(a)可見，在57.1 Hz驅(qū)動(dòng)下，當(dāng)諧振梁1作為檢測(cè)梁，振幅的變化皆隨著待檢測(cè)質(zhì)量的增加而逐漸減小。諧振系統(tǒng)由于模態(tài)局部化現(xiàn)象，系統(tǒng)能量聚集在諧振梁2上，抑制能量向諧振梁1傳遞，故諧振梁2的振幅在第一模態(tài)驅(qū)動(dòng)頻率下變化相對(duì)平緩，有利于諧振傳感器的質(zhì)量檢測(cè)。

由圖5(b)可見，當(dāng)諧振梁2作為檢測(cè)梁，隨著質(zhì)量的增加，一階驅(qū)動(dòng)頻率下，諧振梁1的位移呈先減小后增大的趨勢(shì)，施加待檢測(cè)質(zhì)量后，系統(tǒng)共振頻率遠(yuǎn)離驅(qū)動(dòng)頻率，引起振幅減?。辉俪掷m(xù)添加待檢測(cè)質(zhì)量，能量集中于諧振梁1，抑制能量傳遞至諧振梁2。二階驅(qū)動(dòng)頻率下諧振梁1的振幅具有平緩減小趨勢(shì)。

綜上所述，在一階模態(tài)下以諧振梁1、2作為檢測(cè)梁、二階模態(tài)下以諧振梁2為檢測(cè)端可以得到高分辨率并具有良好幅值比的振動(dòng)幅值曲線。振幅是以幅值比為輸出參數(shù)的傳感器的重要參數(shù)，提高振動(dòng)的幅值是提高傳感器分辨率的重要途徑。

如圖6(a)、(b)所示，在諧振梁1作為檢測(cè)梁時(shí)，選取振幅的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)A2/A1為輸出參數(shù)，一階模態(tài)下初始振幅比為1.4，二階模態(tài)下初始振幅比為0.96。如圖6(c)、(d)所示，以諧振梁2作為檢測(cè)梁時(shí)，選取振幅的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)A1/A2為輸出參數(shù)，一階模態(tài)下振幅比初始值為1.01，二階模態(tài)下振幅比初始值為0.989。

圖6 諧振梁振幅比變化曲線

引入無量綱擾動(dòng)系數(shù)：

(25)

靈敏度：

(26)

(27)

由圖6(a)可見，以諧振梁1作為檢測(cè)梁，諧振器在添加擾動(dòng)質(zhì)量塊后，其振幅比值持續(xù)增加，在1～6 mg具有線性的振幅比變化趨勢(shì)。由圖6(c)、(d)可知無調(diào)諧質(zhì)量，以諧振梁2為檢測(cè)梁，諧振器在2～10 mg內(nèi)具有良好的檢測(cè)范圍和靈敏度。通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合一次函數(shù)，根據(jù)線性回歸方程的決定系數(shù)R2，若R2接近于1為理想狀態(tài)值，圖6中線性區(qū)間的R2>0.99保證了傳感器測(cè)量線性區(qū)間數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。

2 可調(diào)式諧振質(zhì)量傳感器的設(shè)計(jì)

在諧振器1中間添加調(diào)諧質(zhì)量，諧振梁1共振頻率為56.4 Hz，諧振梁2共振頻率為57 Hz。以諧振梁1作為檢測(cè)梁，由圖7(a)可知，添加待檢測(cè)質(zhì)量后，振幅隨著質(zhì)量的增加而持續(xù)下降，諧振梁2的振幅下降趨勢(shì)較平緩，模態(tài)局部化現(xiàn)象表現(xiàn)減弱；由圖7(b)可見，以諧振梁2作為檢測(cè)梁，在一階模態(tài)下諧振梁1的振幅先減小后增大，諧振梁2的振幅先增大后減小，原因是在諧振梁2的端部添加待檢測(cè)質(zhì)量引起諧振梁2固有頻率逐漸接近于驅(qū)動(dòng)頻率達(dá)到共振現(xiàn)象，隨著質(zhì)量的增加，諧振梁2的固有頻率在遠(yuǎn)離驅(qū)動(dòng)頻率，故振幅逐漸減小。系統(tǒng)的能量變化趨勢(shì)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰烤奂谥C振梁1，并抑制能量傳遞至諧振梁2，體現(xiàn)出了通過能量局部化現(xiàn)象設(shè)計(jì)模態(tài)局部化傳感器的可行性。綜上所述，添加調(diào)諧質(zhì)量可使振幅變化趨勢(shì)明顯，提高傳感器的分辨率。

圖7 諧振梁振幅隨著質(zhì)量變化曲線

圖8(a)、(b)為當(dāng)諧振梁1中間(B點(diǎn))施加調(diào)諧質(zhì)量后，以諧振梁1作為檢測(cè)梁的前兩階模態(tài)下所得振幅比值A(chǔ)2/A1，振幅比值變化趨勢(shì)平緩。圖8(c)、(d)為當(dāng)諧振梁1中間施加調(diào)諧質(zhì)量后，以諧振梁2作為檢測(cè)梁的振幅比值A(chǔ)1/A2變化趨勢(shì)，相對(duì)于無調(diào)諧質(zhì)量，在3～14 mg時(shí)，由于模態(tài)局部化的影響，諧振結(jié)構(gòu)的靈敏度不僅得到提高，且線性檢測(cè)區(qū)間提高了30%，這有利于增加傳感器的檢測(cè)范圍。圖8(d)在相對(duì)于無調(diào)諧質(zhì)量結(jié)構(gòu)，其線性度區(qū)間增加、靈敏度降低，在提高檢測(cè)范圍的同時(shí)，可能會(huì)降低線性傳感器的靈敏度，使用適當(dāng)?shù)撵`敏度換取寬檢測(cè)范圍在未來傳感器的研究中是有必要的。

圖8 諧振梁振幅比變化曲線

3 非線性分析

研究發(fā)現(xiàn)，在無調(diào)諧質(zhì)量下，當(dāng)驅(qū)動(dòng)電壓為90 V，驅(qū)動(dòng)頻率為28.9 Hz時(shí)，諧振系統(tǒng)出現(xiàn)超諧共振現(xiàn)象。以諧振梁1、2分別作為檢測(cè)梁，得到質(zhì)量-振幅、質(zhì)量-振幅比的關(guān)系，為了使超諧共振現(xiàn)象明顯，選取驅(qū)動(dòng)電壓為120 V，在諧振梁1的A點(diǎn)、諧振梁2的C點(diǎn)分別施加檢測(cè)質(zhì)量，如圖9所示。由圖可見，振幅在A點(diǎn)產(chǎn)生的諧振梁1的變化速率小于質(zhì)量檢測(cè)在C點(diǎn)產(chǎn)生的諧振梁1的變化速率。

圖9 諧振梁振幅隨著質(zhì)量變化曲線

圖10為諧振梁振幅比變化曲線。由圖可見，超諧共振下，以諧振梁1作為檢測(cè)端時(shí)，選取振幅比A1/A2為輸出量綱，線性識(shí)別區(qū)間為1～9 mg。以諧振梁2作為檢測(cè)段，選取振幅比C1/C2為輸出量綱，線性識(shí)別區(qū)間為1～7 mg，靈敏度相對(duì)于無調(diào)諧質(zhì)量有所提高，線性區(qū)間變小。

圖10 諧振梁振幅比變化曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

建立基于模態(tài)局部化的非對(duì)稱壓電驅(qū)動(dòng)的質(zhì)量傳感器動(dòng)力學(xué)理論模型，并對(duì)其進(jìn)行求解。首先通過實(shí)驗(yàn)研究了無調(diào)諧質(zhì)量結(jié)構(gòu)模型在不同共振模態(tài)下，以諧振梁上A、C點(diǎn)作為檢測(cè)點(diǎn)，施加不同大小的待檢測(cè)質(zhì)量，對(duì)質(zhì)量傳感器的頻率移動(dòng)、振動(dòng)幅值、振動(dòng)幅值比的變化趨勢(shì)進(jìn)行了分析和探討。給出了文中以振動(dòng)幅值比為輸出參數(shù)的靈敏度計(jì)算方式，為了保證檢測(cè)準(zhǔn)確度，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性區(qū)間進(jìn)行一次擬合，并給出決定系數(shù)R2作為準(zhǔn)確度參考系數(shù)。其次為了對(duì)質(zhì)量傳感器結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，提出了在非對(duì)稱壓電驅(qū)動(dòng)諧振結(jié)構(gòu)的B點(diǎn)施加調(diào)諧質(zhì)量，達(dá)到有效、靈活地改變質(zhì)量傳感器的檢測(cè)范圍、靈敏度及分辨率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相對(duì)于無調(diào)諧質(zhì)量諧振器的檢測(cè)范圍提高了30%，靈敏度可以保持在10數(shù)量級(jí)。最后對(duì)質(zhì)量傳感器進(jìn)行非線性分析，即系統(tǒng)在一定的驅(qū)動(dòng)頻率和驅(qū)動(dòng)電壓下產(chǎn)生超諧共振，并研究了超諧共振在附加待檢測(cè)質(zhì)量后的振幅特性變化。結(jié)果表明，檢測(cè)范圍變化減小，靈敏度提高了80%。