陳潤霖，趙少東，劉佳鑫，韓沁,2，張延超，崔亞輝，王健

(1.西安理工大學(xué)機械與精密儀器工程學(xué)院，陜西西安 710048；2.維諦技術(shù)(西安)有限公司，陜西西安 710075；3.洛陽軸承研究所有限公司，河南洛陽 471039)

0 前言

滾動軸承作為機械裝備中的關(guān)鍵部件，其可靠性嚴(yán)重制約著設(shè)備能否正常運轉(zhuǎn)，尤其在高速、變載荷工況下，要承受較大的載荷沖擊[1-2]，軸承滾道與滾動體的接觸表面產(chǎn)生的早期缺陷損傷[3-4]會影響軸承內(nèi)部的載荷分布[5-6]，從而對軸承剛度造成較大的影響[7-8]。STRIBECK[9]建立了滾動體載荷分布的力學(xué)模型，推導(dǎo)了最大滾動體載荷計算公式。LIEW和LIM[10]建立了不考慮游隙時軸承的時變剛度模型。陳潤霖等[11]建立了考慮游隙時滾動軸承的時變剛度模型，分析了游隙對軸承剛度時變特性的影響。BAI和XU[12]考慮高轉(zhuǎn)速引起的離心力和陀螺力矩等因素，分析了外滾道波紋度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)的影響。劉靜[13]分析了軸承滾道存在局部缺陷和波紋度兩種情況下對軸承接觸剛度的影響規(guī)律。PETERSEN等[14-15]建立了與缺陷尺寸有關(guān)的剛度模型并分析了外滾道局部缺陷對軸承載荷分布和剛度的影響。滾動體進(jìn)入和退出缺陷區(qū)會和保持架之間產(chǎn)生碰撞[16]，經(jīng)過缺陷處時軸承的振動響應(yīng)特性會發(fā)生變化[17-19]，且剛度會表現(xiàn)出時變特性[20]，隨著缺陷尺寸的擴大會逐漸使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)[21]。

本文作者針對軸承外滾道存在局部缺陷的情況展開研究，分析滾動體公轉(zhuǎn)通過大小不同的方形缺陷區(qū)域所產(chǎn)生的附加位移對載荷分布的影響規(guī)律，根據(jù)赫茲接觸理論建立軸承外滾道存在方形缺陷的時變剛度模型，分析外滾道缺陷長度、深度和位置對軸承時變剛度的影響規(guī)律，所得數(shù)據(jù)可為軸承早期缺陷的故障判別提供依據(jù)。

1 外滾道存在缺陷的剛度模型

1.1 軸承外滾道缺陷建模

為便于對外滾道存在方形缺陷的軸承進(jìn)行分析，在符合實際的前提下，簡化軸承缺陷區(qū)的形狀，建立滾動軸承外滾道存在缺陷的模型，如圖1所示。設(shè)滾動軸承缺陷區(qū)域位于滾道的中軸線上，且缺陷為矩形的凹陷，缺陷的長度為Lb、深度為Hb。滾動體在轉(zhuǎn)動過程中，從正常滾道進(jìn)入缺陷區(qū)到離開缺陷區(qū)期間產(chǎn)生的附加位移Hf與缺陷的長度Lb、深度Hb以及滾動體直徑Dw有關(guān)。

圖1 滾動體通過外滾道較小缺陷點時的位移分析

當(dāng)缺陷引起的軸承最大附加位移小于缺陷深度時，滾動體不與外圈缺陷底部接觸。如圖1(a)所示，在進(jìn)入和離開缺陷區(qū)時和缺陷區(qū)前端和末端點接觸，滿足Hertz接觸理論，因此由軸承缺陷所引起的形變與載荷之間的關(guān)系可以通過Hertz接觸計算。如圖1(b)所示，通過缺陷時引起的附加位移量最大，最大附加位移Hmax為

(1)

缺陷長度范圍在圓周上所占的角度為軸承的缺陷角θb，根據(jù)圖1(b)通過三角函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)可得外圈的缺陷角

(2)

式中：Da為外圈滾道直徑。

滾動體公轉(zhuǎn)時進(jìn)入和離開缺陷區(qū)期間產(chǎn)生的附加位移Hf可表示為

(3)

式中：γ是以滾動軸承中心為軸心，滾動體與缺陷起點間的夾角，γ=mod(ψi，2π-ψb0。

當(dāng)缺陷引起的軸承最大附加位移大于缺陷深度，或軸承缺陷的長度大于滾動體直徑時，如圖2(a)所示，滾動體公轉(zhuǎn)進(jìn)入和離開缺陷區(qū)也均為點接觸，附加位移計算方法與式(3)相同。如圖2(b)所示，滾動體通過較大缺陷時會和缺陷底部接觸，附加位移Hf在一段時間內(nèi)不變，此時最大附加位移Hmax等于缺陷深度Hb。

圖2 滾動體通過外滾道較大缺陷點時的位移分析

以滾動軸承中心為軸心，軸承缺陷區(qū)的起始點到缺陷產(chǎn)生最大附加位移點之間的夾角θin為缺陷進(jìn)入角，可由式(4)推導(dǎo)得到軸承外圈的缺陷進(jìn)入角

(4)

這種情況下，滾動體公轉(zhuǎn)進(jìn)入和離開滾道缺陷區(qū)期間產(chǎn)生的附加位移Hf可表示為

(5)

1.2 外滾道缺陷力學(xué)分析

圖3為外滾道存在缺陷的軸承力學(xué)模型，圖3中ψb0為軸承缺陷起始點與豎直方向的夾角，即缺陷位置角；θ為滾動體公轉(zhuǎn)角度；ψi為第i個滾動體與軸承軸心在豎直方向上的夾角，i=1,2,…,Z；ω為軸承內(nèi)圈的轉(zhuǎn)動角速度。

當(dāng)滾動體經(jīng)過缺陷處時，由缺陷引起的附加位移Hf造成載荷分布和局部彈性形變發(fā)生變化，有游隙Gr時軸承缺陷處的彈性形變?yōu)?/p>

(6)

式中：δmax為徑向最大位移。

作用于滾動軸承缺陷處的滾動體承載為

(7)

圖3 外滾道有缺陷的軸承力學(xué)模型

徑向載荷作用下，滾道存在缺陷且有游隙時力的平衡方程為

(8)

(9)

式中：ψli為左側(cè)第li個滾動體與軸承中心在豎直方向的夾角，ψli=(li-1)2π/Z+θ；ψri為右側(cè)第ri個滾動體與軸承中心在豎直方向的夾角，ψri=ri2π/Z+θ；T為載荷分布參數(shù)，T=[1-Gr/(2δmax+Gr)]/2。

為了更直觀地對模型進(jìn)行求解，繪制如圖4所示流程。

圖4 迭代求解最大滾動體載荷Fig.4 Iterative calculation process for maximum rolling element load

1.3 剛度模型

滾道有缺陷的滾動軸承在徑向載荷作用下的剛度為左、右兩側(cè)各承載滾動體剛度之和

(10)

式中：δψli和δψri分別為左右兩側(cè)滾動體的法向彈性變形。

采用平均剛度Km表征剛度的時變特性[11]，計算公式為

(11)

式中：Kt為滾動體各公轉(zhuǎn)時刻的剛度；n為數(shù)據(jù)總數(shù)。

2 外滾道缺陷對軸承剛度時變的影響

2.1 軸承參數(shù)

以深溝球軸承6008為案例軸承，其結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 深溝球軸承6008具體參數(shù) 單位：mm

2.2 承載力和彈性變形的分析

外滾道存在缺陷的軸承6008工況參數(shù)和外滾道缺陷尺寸參數(shù)如表2所示。

表2 外滾道缺陷的軸承6008各項參數(shù)

軸承繞主軸轉(zhuǎn)動一個周期內(nèi)，由于外滾道存在缺陷，軸承各承載滾動體在通過缺陷區(qū)域時的承載力與彈性形變發(fā)生改變，承載力與彈性形變之間的變化情況如圖5所示。經(jīng)過缺陷處的滾動體承載和形變突然減小，其余滾動體的承載和形變增大。由于軸承剛度是載荷變化和彈性變形變化的比率，因此缺陷大小、深度和位置的變化將影響軸承剛度的大小及時變特性。

圖5 外滾道存在缺陷的軸承各承載滾動體的載荷(a)與形變(b)

2.3 外滾道缺陷的剛度時變特性分析

2.3.1 缺陷長度

當(dāng)軸承外滾道缺陷深度為10 μm、缺陷角度為6°，由式(4)計算得到，滾動體完全進(jìn)入缺陷的角度為0.516°，缺陷長度由0 mm增加到9 mm時軸承時變剛度的變化規(guī)律如圖6所示。缺陷的出現(xiàn)使?jié)L動軸承原剛度變化轉(zhuǎn)折點相對半周期的位置和幅值均發(fā)生改變，且滾動體從進(jìn)入缺陷起始點到產(chǎn)生最大附加位移點期間，軸承時變剛度呈線性快速減??；從最大附加位移點到離開缺陷終點期間，軸承剛度呈線性快速增大。從圖6(a)可以看出，當(dāng)軸承缺陷長度分別為2、4、6、8、9 mm時，其缺陷角分別為3.633°、7.271°、10.915°、14.570°、16.404°。

缺陷長度對軸承平均剛度的影響規(guī)律如圖7所示。隨著軸承外滾道缺陷長度的增大，軸承平均剛度不斷減小。由式(4)推導(dǎo)可得，滾動體不與缺陷底部接觸的最大缺陷長度約為0.568 mm。從圖7可以看出，當(dāng)缺陷長度小于0.568 mm時，缺陷軸承的平均剛度變化幅度非常小；當(dāng)缺陷長度持續(xù)大于0.568 mm時，滾動體與缺陷底部接觸，附加位移為常數(shù)且等于缺陷深度，此時缺陷軸承的平均剛度持續(xù)減小。

圖6 外滾道缺陷長度對軸承時變剛度的影響

圖7 外滾道缺陷長度對軸承平均剛度的影響

2.3.2 缺陷深度

軸承外滾道缺陷長度為5 mm，缺陷角度為6°，缺陷深度由0 μm增加到15 μm時軸承時變剛度的變化規(guī)律如圖8所示。由式(2)可得案例軸承的缺陷角為9.093°，且在缺陷深度為5、10、15 μm時，由式(4)計算得到滾動體完全進(jìn)入缺陷時分別轉(zhuǎn)過0.361°、0.516°、0.630°。滾動體通過缺陷處的剛度隨著缺陷深度的增加而減小，時變剛度變化幅度隨著缺陷深度的增加而增大。

圖8 外滾道缺陷深度對軸承時變剛度的影響

缺陷深度對軸承平均剛度的影響規(guī)律如圖9所示。隨著軸承外滾道上缺陷深度的增大，缺陷軸承的平均剛度整體呈減小趨勢。在缺陷深度較淺時，軸承平均剛度減小緩慢；當(dāng)缺陷深度進(jìn)一步增大時，缺陷軸承的平均剛度減小速率加快。

圖9 外滾道缺陷深度對軸承平均剛度的影響

2.3.3 缺陷位置

軸承外滾道缺陷所在位置為缺陷位置角。根據(jù)滾動軸承載荷分布規(guī)律知，軸承周向不同位置的載荷和形變大小、方向各不相同，因此缺陷所在位置的不同，對軸承剛度存在不同影響。

由式(9)，可知最大承載范圍ψ=arccos(1-2T),則案例軸承受載滾動體的最大承載范圍為73.33°。當(dāng)軸承外滾道缺陷長度為2 mm，深度為10 μm，缺陷位置角由0°到73.33°時，不同缺陷角時軸承時變剛度的變化規(guī)律如圖10所示。隨著缺陷位置的改變，軸承剛度減小的位置、大小發(fā)生改變。從圖10(b)可以看出，缺陷位于30°～60°之間時，軸承剛度減小的幅度更大。

圖10 外滾道缺陷位置對軸承時變剛度的影響

缺陷位置角對軸承平均剛度的影響規(guī)律如圖11所示。隨著軸承外滾道上缺陷位置角的改變，在承載區(qū)內(nèi)，缺陷軸承的平均剛度先減小后增大；當(dāng)缺陷位于非承載區(qū)時，軸承平均剛度等于無缺陷軸承的平均剛度，且保持不變。

圖11 外滾道缺陷位置對軸承平均剛度的影響

3 結(jié)論

(1)將缺陷引起的附加位移加入到缺陷處的彈性形變中，建立了考慮游隙且外滾道存在方形缺陷時深溝球軸承的時變剛度模型。

(2)當(dāng)存在徑向游隙且外滾道有缺陷時，在一個滾動周期內(nèi)，經(jīng)過缺陷處的滾動體承載和形變突然減小，其余滾動體的承載和形變增大。

(3)當(dāng)缺陷位于非承載區(qū)時，其對軸承剛度無影響；當(dāng)缺陷位于承載區(qū)時，隨著缺陷長度、深度的增大，滾動體經(jīng)過缺陷時軸承的剛度和平均剛度均減?。蝗毕菸恢脤S承平均剛度影響較大，當(dāng)缺陷位置由底端向非承載區(qū)變化時，軸承的平均剛度先減小后增大。