王 宇，董 煜

（大連交通大學 交通運輸工程學院，遼寧 大連 116028）

0 引言

21世紀以來，全世界發(fā)生的重大傳染性疾病主要包括非典型肺炎、新型冠狀病毒肺炎等，每次重大傳染病爆發(fā)時，會造成人員傷亡、生產(chǎn)發(fā)展停滯及一系列社會性問題。鐵路旅客運輸由于客流密度大、流動性強的特點，為傳染病的傳播提供了潛在環(huán)境基礎，導致旅客出行面臨風險隱患。每當面對疫情，鐵路部門都進行嚴格防控，實現(xiàn)了對疫情的有效控制，但既有模式已難以滿足鐵路企業(yè)和社會的發(fā)展需要，需對客流合理控制展開深入研究，以在降低疫情擴散風險的同時保障運輸生產(chǎn)活動的適當開展，為鐵路部門未來面對新發(fā)流行傳染病的管控方法提供支持。

傳染病模型由KERMACK W O 等提出，是通過分析傳染病的傳播特點、描述傳染病傳播過程的倉室模型[1]。后續(xù)延伸出了考慮更多因素的相關研究，發(fā)展出諸多更符合現(xiàn)實疾病特征的模型，其中包括考慮潛伏期、垂直傳播、年齡結構和疫苗等因素的模型[2]。該模型可對疫情發(fā)展趨勢進行良好預測，學者使用該模型在新冠疫情初期進行了初步分析預測，WU J T等[3]基于中國疾病預防控制中心提供的早期病例數(shù)據(jù)、人口流動數(shù)據(jù)和航班數(shù)據(jù)，用SEIR 模型模擬了全球主要城市的危險性，并估算此次疫情的基本再生數(shù)為2.68。QIAN X W等[2]通過將城市人口的流動動態(tài)描述為離家、往返于活動地點與參與活動的過程，建立了空間SEIR 模型，以實現(xiàn)公共交通系統(tǒng)的有效入口控制和有限資源的最優(yōu)分配。通過研究可知，該模型可以預測一個封閉地區(qū)疫情的爆發(fā)情況、最大峰值、感染人數(shù)等，但該模型的主要不足是對于流動中接觸模式的簡化假設，并且傳統(tǒng)模型未考慮城市間人口流動與空間變化等因素，這與現(xiàn)實中傳染病的異質(zhì)性、人口的流動性和接觸多樣性不符。既有研究所建立的傳染病模型還不夠完善，需要根據(jù)實際情況修正模型。

綜上所述，本文提出將傳染病模型應用于鐵路客流控制研究之中，建立了一種考慮兩城市間鐵路客流流動傳染的Trans-SEQICR 模型，從動力學角度對模型的平衡點、基本再生數(shù)及特征值進行求解，揭示了鐵路客流控制量的確定方法，并以2022年某地爆發(fā)的新冠疫情為例，驗證模型方法的擬合效果。

1 問題提出

鐵路旅客運輸在中長距離運輸中具有不可替代的作用，與其他公共交通方式相比，鐵路客流規(guī)模大、途徑站點多、旅行跨度廣，因而鐵路企業(yè)的疫情防控工作除了復雜性，更兼具難度和艱巨性，其運輸過程中客流密度大、集散性強的特點，為傳染病傳播埋下了環(huán)境安全隱患，導致疫情期間旅客出行面臨感染的可能與風險。

病毒感染者根據(jù)其傳染性的差異，一般會劃分為確診者和無癥狀感染者2 類，這2 類感染者的感染率和治愈率都有所不同。此外，根據(jù)我國的防疫政策，在發(fā)現(xiàn)感染者后會逐步對密切接觸者、次密接觸者開展排查并轉(zhuǎn)運隔離、治療[4]。因此，為使模型能更準確描述我國疫情防控動態(tài)，需要改進病毒傳播流程及人群劃分，在傳統(tǒng)SEIR 模型的基礎上，進一步建立SEQICR模型，S表示易感者，E表示潛伏者，Q表示檢測出現(xiàn)異常被轉(zhuǎn)運的隔離者，I表示確診感染者，C表示由無癥狀轉(zhuǎn)為確診并轉(zhuǎn)運治療的確診治療者，R表示康復者。

通過分析，病毒通過鐵路向外傳播有2 個主要過程，除了感染者到達目的地后造成的擴散傳播外，還可能在列車封閉車廂內(nèi)引發(fā)傳播。感染者在潛伏期內(nèi)通常沒有癥狀，但他們具有通過接觸和飛沫傳播病毒的特點，導致旅客無意中將病毒傳播給他人。由于車輛空間狹小、氣密性強、通風不良，與室外開放空間相比，飛沫感染和接觸感染的風險存在雙重疊加。通過閱讀分析相關文獻[5-7]，病毒在交通工具中的傳播風險可類比SEIR 模型中的感染概率函數(shù)進行計算。但是，以往研究中函數(shù)使用的是全體人數(shù)Nj，根據(jù)感染函數(shù)定義，該函數(shù)是由某區(qū)域內(nèi)感染人群與易感人群比例為正比關系而建立的，因而本文在后續(xù)建模過程中進行了改進，對旅行過程中的感染函數(shù)進行了重新定義計算。

由于上文的模型皆為數(shù)學模型，能夠相互耦合，可以合并建模。通過將易感人群暴露、感染、隔離、康復過程與客流的動力學模型相結合，可以建立考慮客流流動傳染過程的改進傳染病模型，以描述在常態(tài)化疫情防控的情況下鐵路旅客運輸過程中的感染風險。

2 Trans-SEQICR客流控制模型研究

2.1 模型假設

通過上文研究，明確了需要在改進傳染病模型基礎上，考慮假定的兩地之間進行的鐵路客流流動建立Trans-SEQICR模型，現(xiàn)對此提出假設如下。

（1）根據(jù)傳染病模型的性質(zhì)，需忽略人口的出生率和死亡率。

（2）人群普遍具有易感性，且僅考慮人傳人的傳播方式。

（3）考慮存在無癥狀期，且無癥狀期內(nèi)具有一定的傳染性。

（4）不考慮短期內(nèi)二次感染的可能性，治愈者不再成為易感人群。

（5）因鐵路客流的規(guī)模、流動性強于航空、公路，鐵路運輸過程中引發(fā)的感染風險大于其他運輸方式。因此，模型僅針對鐵路運輸展開研究，其他運輸方式所引發(fā)的人口變化則通過城市人口遷入率、遷出率表示。

2.2 Trans-SEQICR模型建立

從城市的角度來看，鐵路運輸可以視作點對點的運輸。在上文介紹中，由于傳染病模型是數(shù)學模型，所以若建立所有站點間整體模型的工作量十分巨大，后續(xù)的求解過程也困難。因此，本文考慮以出現(xiàn)確診病例的城市j為起點，選取另一個可能會有擴散風險的城市i為終點，由此建立將2 個城市視為同一倉室的旅行傳染病模型，以研究j城出現(xiàn)疫情后通過鐵路客流對i城造成的疫情傳播規(guī)模?；谝陨显?，建立的Trans-SEQICR 模型的疫情傳播過程如圖1所示。

圖1 兩城市間Trans-SEQICR模型傳播倉室

假設i城市在t時刻的總人口為Ni(t)，記Si(t)、Ei(t)、Qi(t)、Ii(t)、Ci(t)和Ri(t)分別為i城市t時刻的易感者、潛伏者、隔離者、感染者、確診治療者和康復者的數(shù)量，則有

由傳播倉室圖可得下述模型

其中：λ為城市人口遷入率，μ為城市人口遷出率，β1為易感者與潛伏者接觸并感染的概率，β2為易感者與感染者接觸并感染的概率，η為潛伏者被轉(zhuǎn)運隔離的轉(zhuǎn)移率，σ為潛伏者到感染者的轉(zhuǎn)移率，α為隔離者被確診后轉(zhuǎn)運治療的轉(zhuǎn)移率，ω為感染者被轉(zhuǎn)運治療的轉(zhuǎn)移率，γ為感染者的自愈康復率，φ為被轉(zhuǎn)運的患者在醫(yī)學治療下的康復率，τ為潛伏者未發(fā)病直接康復的概率；θji為由j城市至i城市的鐵路旅客遷移量，k為封閉空間(車廂)內(nèi)易感者與潛伏者接觸并感染的概率，b為病毒密度與感染概率的轉(zhuǎn)換系數(shù)，n為在有感染者的交通工具內(nèi)部經(jīng)過時間T后病毒的數(shù)目，v為病毒向外釋放的強度，E為初始攜帶病毒且具有傳染特性的旅客數(shù)，V為交通工具的體積，W為通風指標，交通工具通過排風系統(tǒng)以一定的速率向外排除病毒，D為交通工具消毒指標，假定通過消毒措施使病毒按此指標被勻速殺死，P為個人防護系數(shù)，佩戴口罩會使系數(shù)變大，X為單列車廂數(shù)，L為開行列數(shù)。

2.3 Trans-SEQICR模型參數(shù)確定

為使用上述模型分析疫情傳播情況，本文以新型冠狀病毒肺炎為例，對Trans-SEQICR 模型中的參數(shù)進行估計。根據(jù)國內(nèi)疫情數(shù)據(jù)，結合查閱文獻及軟件函數(shù)擬合，最終確定的參數(shù)值如表1所示。

表1 參數(shù)含義及取值

3 鐵路客流控制模型求解

疫情期間，若想減輕病毒的傳播風險，最主要的措施是減少旅客密度。根據(jù)模型求解合理調(diào)整疫情城市發(fā)送客流量以實現(xiàn)客流控制。

R0指基本再生數(shù)，表示在疫情初期平均每個感染者進入易感人群中，在理想條件下可感染的二代病例個數(shù)。R0=1是判斷疾病是否流行的閾值，當R0＞1時，該種疾病感染的人數(shù)會越來越多，甚至傳遍整個人群；而當R0＜1時，即便不采取任何防控措施，該地區(qū)該種傳染病感染的人數(shù)也會越來越少，最后該傳染病趨于消失[16]。

為計算關鍵臨界狀態(tài)R0，需要對無病平衡點進行求解。在計算模型的無病平衡點之前，首先要建立本模型的微分方程緊湊形式，即

計算無病平衡點P0[17]，在P0狀態(tài)下，若R0＜1，則說明即使發(fā)生疫情沿鐵路擴散的情況，也能在短期內(nèi)得到控制，那么即可求得由j城市發(fā)往i城市的動態(tài)控制客流量。首先，令Trans-SEQICR 模型微分緊湊表達式右端取0，即可求出無病平衡點P0為

本文選用下一代矩陣法(NGM)計算傳染病模型的基本再生數(shù)[18]。涉及染病的倉室包括Ei，Qi，Ii，Ci，Ej，Qj，Ij，Cj。記作

倉室中由于染病而產(chǎn)生的新增項記作f(X)，倉室中發(fā)生轉(zhuǎn)移或移出的項記作v(X)，其中

將f(X)、v(X)對Ei、Qi、Ii、Ci、Ej、Qj、Ij、Cj依次求偏導，得到雅可比矩陣，其中新增感染項構成的f(X)對應的雅可比矩陣為轉(zhuǎn)入矩陣，記作F(X)，則

發(fā)生轉(zhuǎn)移或移出的v(X)對應的雅可比矩陣為轉(zhuǎn)出矩陣，記作V(X)，則

根據(jù)基本再生數(shù)的定義，其值為矩陣的譜半徑，而矩陣譜半徑又為矩陣特征值的最大值[19]，故有

得到矩陣F·V-1的特征值為

代入P0，令基本再生數(shù)為1，可反解得到入口控制量。同時，觀察入口控制量的表達式，發(fā)現(xiàn)各項參數(shù)是隨時間變化的，所以得到的入口控制量也是隨著疫情發(fā)展而時刻變化的，因而客流控制策略是一個動態(tài)調(diào)控的過程。

4 實證分析

4.1 實例基礎數(shù)據(jù)

本文選取A作為參考城市，根據(jù)百度遷徙數(shù)據(jù)的遷徙指數(shù)，選取遷出占比較高的B市作為主要研究對象。根據(jù)城市統(tǒng)計年鑒計算城市基礎參數(shù)，各參數(shù)取值如表2所示。

表2 城市基礎參數(shù)取值

A 市2022 年上半年疫情于3 月底逐漸爆發(fā)，根據(jù)相關報道，于3 月1 日至3 月23 日很多地區(qū)陸續(xù)轉(zhuǎn)為中風險等級，因而選取3月23日為中風險等級下的研究起始時間；由報道可知，3月23日新增確診病例41例，將數(shù)據(jù)作為初始值輸入MATLAB 模型中，以研究是否采取客流控制策略的不同情況下，B 作為外來疫情輸入城市的疫情感染趨勢變化情況。通過Trans-SEQICR模型求解結果，結合兩市的疫情數(shù)據(jù)，計算可得客流控制量θji=4.3×10-6，A 市至B 市的日常鐵路客流量經(jīng)計算為5.024×10-4。通過對比2種情況的趨勢，分析不同客流控制策略下的控制效果。

4.2 不對客流加以控制

在不進行客流控制的情況下，通過對A市2022年疫情數(shù)據(jù)的擬合，將擬合出的參數(shù)估計值代入Trans-SEQICR 模型中。在保持日常鐵路客流量時，由康復者、感染者人數(shù)變化趨勢圖可知，本輪疫情預計持續(xù)近500 d，共造成近1 500萬人的感染規(guī)模，單日新增峰值超過6 萬人。B 城康復者和感染者變化趨勢分別如圖2至圖3所示。

圖2 不采用客流控制情況下B城康復者趨勢

圖3 不采用客流控制情況下B城感染者變化趨勢

4.3 采取鐵路入口客流控制

采用Trans-SEQICR 模型的求解結論，在對鐵路客流量進行控制的情況下，本輪疫情預計縮短至300 d，感染規(guī)模降為25 萬人，單日新增感染者峰值降至2 200人。B城康復者和感染者變化趨勢分別如圖4和圖5所示。

圖4 采取客流控制情況下B城康復者趨勢

圖5 采取客流控制情況下B城感染者變化趨勢

通過分析上述擬合結果可知，未采用客流控制的情況下，康復者擬合曲線雖趨于平緩，但通過分析具體數(shù)值可知，該情況是由于感染人數(shù)已達上限，即進入全員感染、長期共存的狀態(tài)；而在采用客流控制措施后，該輪疫情總體規(guī)模大幅縮減，并且在擬合時間接近末期時康復者人數(shù)不再增長，疫情持續(xù)時間大大縮短，說明疫情在這時已進入初步可控的階段，符合基于基本再生數(shù)的模型求解所得出的結論。雖然疫情持續(xù)時間仍較現(xiàn)實理想狀況有所差距，但若在此基礎上進一步完善客流控制相關參數(shù)，如增加旅客佩戴口罩防護參數(shù)、通風消毒參數(shù)等，以提出更優(yōu)化的防控策略，可以進一步縮短疫情周期，控制疫情規(guī)模。

4.4 對比分析

根據(jù)現(xiàn)實統(tǒng)計數(shù)據(jù)，截至2022 年5 月，B 市本輪疫情累計感染530 人，這一數(shù)據(jù)表明了現(xiàn)實中嚴格的防控措施和加強個人防護等作用下，形成的傳播規(guī)模較小、引發(fā)的疫情風險較低，但上述措施會給人民日常生活帶來一定影響。通過比較本模型預測結果可知，在不采用任何控制措施的情況下，最終形成的疫情傳播規(guī)模極大，說明該情況下疫情已不可控，危害影響極大，且持續(xù)時間長、出現(xiàn)多個感染高峰期，容易引起醫(yī)療系統(tǒng)長時間高負荷運行，甚至引發(fā)醫(yī)療擠兌等情況。

本文建立的模型是通過限制鐵路旅客發(fā)送量實現(xiàn)一定程度的客流控制，根據(jù)擬合結果可知，在A市至B市客流發(fā)送量限制為8.6‰時，能夠使疫情感染規(guī)模下降至不采用客流控制情況的1/60，疫情持續(xù)時間大幅縮短，防控效果顯著，擬合曲線顯示最終能夠?qū)崿F(xiàn)疫情完全清除；并且該控制措施保障了部分客流的正常發(fā)送，對社會正常運行具有一定意義?，F(xiàn)階段研究并未考慮現(xiàn)實中存在的旅客個人防護、車站防控措施等其他防控因素的影響，雖然在模型中加入上述因素能夠進一步降低疫情持續(xù)時間與規(guī)模，但現(xiàn)有預測結果表明僅采用客流控制措施的情況下已能夠?qū)崿F(xiàn)對疫情的有效控制，由此可節(jié)省防護用品、防控人員等社會資源。

5 結論與展望

5.1 結論

為研究疫情期間的鐵路客流控制策略，本文分析了病毒在客流中傳播的規(guī)律和機理，建立了一種考慮客流流動傳染的Trans-SEQICR 模型，得到以下結論。

（1）通過完善傳染病模型的人群倉室并引入人口流動力學模型，建立了考慮鐵路旅行傳染的Trans-SEQICR 模型。經(jīng)過對該模型研究得出，利用MAT‐LAB可擬合得到疫情的發(fā)展趨勢與整體模擬曲線，直觀表示鐵路旅客運輸引發(fā)的跨區(qū)域疫情傳播過程，由此可分析各類防控措施對疫情發(fā)展的影響效果，完善了現(xiàn)有模型的不足，可以提高模型對疫情預測的準確性。

（2）從動力學角度對模型的平衡點、基本再生數(shù)及特征值進行求解，揭示了鐵路客流控制量的確定方法，并以A市至B市為例，當客流發(fā)送量控制在常態(tài)值的8.6‰時可實現(xiàn)對疫情的顯著控制，驗證模型方法的擬合效果。

（3）該模型不僅對現(xiàn)有疫情數(shù)據(jù)進行了整合分析，還可以通過調(diào)整參數(shù)使其適用于其他新發(fā)傳染病，為階段性、區(qū)域性的流行病防控辦法提供參考，為鐵路部門面對未來可能發(fā)生的其他突發(fā)傳染病時的科學決策提供支持，實現(xiàn)社會資源的合理運用。

5.2 創(chuàng)新點

（1）根據(jù)新型突發(fā)傳染病的防疫政策安排，在傳統(tǒng)SEIR 模型的基礎上考慮了隔離人群和確診人群，并將鐵路客流流動引發(fā)傳染的過程轉(zhuǎn)化為動力學模型，將其與傳染病模型相互嵌套，建立考慮客流傳染的Trans-SEQICR 模型，可以模擬疫情沿鐵路發(fā)生傳播后的變化趨勢，還可以以此評價一系列控制措施的實施效果。

（2）現(xiàn)有鐵路疫情防控研究多為防控理念與措施的研究，尚缺少定量研究以確定控制標準。本研究通過求解改進后的Trans-SEQICR 模型，以基本再生數(shù)R0為約束，反解得到客流控制量θji，為后續(xù)研究奠定基礎。

本研究也存在一些局限性。雖然模型已較為完整，但部分變量、參數(shù)設置的科學性有待提高，如病毒密度與感染概率轉(zhuǎn)換系數(shù)b、病毒釋放速度v等具有醫(yī)學專業(yè)特點的參數(shù)，需廣泛閱讀相關研究，盡可能改進出更為貼合疫情實際情況的模型。同時，現(xiàn)階段研究尚未充分發(fā)揮傳染病模型的優(yōu)勢，未來在現(xiàn)有研究結論的基礎上，可進一步對客流控制措施進行細分，從不同時期、不同控制主體等角度建立更為完整、系統(tǒng)的鐵路客流控制策略，以實現(xiàn)更理想的防控效果。