王 君，程 浩，姜榮俊，蔡一杰

(湖北工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，武漢 430068)

0 引言

履帶式機器人具有結(jié)構(gòu)簡單，越障性能好，能適應(yīng)多種地形的優(yōu)點[1]。因此，廣泛應(yīng)用在工業(yè)、軍事、農(nóng)業(yè)機械等多個領(lǐng)域[2]，對其軌跡跟蹤控制的研究也不斷深入[3-4]。

張興會等[5]引入履帶式機器人的運動約束，基于Lyapunov函數(shù)建立了跟蹤控制器。周波等[6]提出基于方根的無色卡爾曼濾波的在線非線性估計方法實時觀測滑動參數(shù)并反饋到控制系統(tǒng)中，以提高跟蹤精度。韓俊等[7]考慮運動受限情況下的跟蹤控制律，使得控制系統(tǒng)更符合實際。許正榮等[8]設(shè)計了一種基于變傾斜參數(shù)的自適應(yīng)滑?？刂?，提高系統(tǒng)的控制精度。卞永明等[9]在反演控制器的基礎(chǔ)上加入了狀態(tài)反饋提高了控制精度?？镂凝埖萚10]設(shè)計了反演滑?？刂破?，并基于運動學(xué)約束進行修正，使得系統(tǒng)擁有更高的可靠性。

本文在上述研究成果的基礎(chǔ)上，提出了一種基于滑模反饋的履帶式機器人自適應(yīng)反演控制方法。首先，針對履帶式機器人在行進過程中產(chǎn)生的滑移影響控制的問題，構(gòu)建了履帶式機器人在滑移情況下的運動學(xué)方程。此外，為了消除滑移對履帶式機器人控制穩(wěn)定性的影響，設(shè)計了滑模觀測器來識別履帶式機器人的滑移參數(shù)，并通過低通濾波器進一步降低了干擾的影響，然后將識別出的滑移參數(shù)補償?shù)娇刂葡到y(tǒng)中。其次，基于反演控制方法，結(jié)合履帶式機器人的運動學(xué)模型和滑模觀測器設(shè)計了反演控制器。同時，為了提高履帶機器人在多種狀況下的自適應(yīng)能力，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)調(diào)整反演控制器的控制參數(shù)。最后，利用Simulink搭建控制系統(tǒng)模型，并對履帶式機器人在復(fù)雜軌跡的跟蹤控制進行仿真，結(jié)果驗證了該方法的有效性。

1 縱向和軸向滑移下履帶式機器人的運動學(xué)模型

在實際工作環(huán)境下，潮濕或者光滑地面可能會使履帶式機器人產(chǎn)生縱向和軸向滑移，如圖1所示。

圖1 縱向和軸向滑移下底盤數(shù)學(xué)模型

圖1中θs為軸向滑移角；b為兩移動履帶間距；vL、vR分別為左右履帶線速度；v為縱向和軸向滑移下移動底盤實際線速度；vx為實際線速度v投影到局部坐標(biāo)系x軸上的速度；vy為實際線速度v投影到局部坐標(biāo)系y軸上的速度，定義軸向滑移率計算公式為：

σ=tanθs

(1)

式中，θs∈[0,π/2]，當(dāng)θs為0時，表示履帶式機器人未發(fā)生軸向滑移，當(dāng)θs為π/2時，表示履帶式機器人已經(jīng)陷入無法控制的軸向滑移，這里不作考慮。

定義縱向滑移下，左右履帶滑移率為：

(2)

式中，wL、wR分別為左右履帶驅(qū)動電機角速度；r為履帶驅(qū)動輪半徑；vx為發(fā)生縱向滑動時移動底盤在局部坐標(biāo)系xoy上x軸向的線速度，且當(dāng)iL=iR=1時，vx為0，說明此時機器人陷入無法控制的滑動中，這里不作考慮。

因此，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可以求出履帶式機器人在全局坐標(biāo)系XOY下運動學(xué)模型為：

(3)

2 滑模觀測器的設(shè)計

2.1 滑模參數(shù)估計

滑模觀測器主要通過測量控制系統(tǒng)的實際輸出值，通過計算得到控制系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的估計值，通過復(fù)現(xiàn)干擾來實現(xiàn)對系統(tǒng)的補償。因此，基于履帶式機器人在滑移狀態(tài)下的運動學(xué)模型、參考軌跡和履帶驅(qū)動輪反饋速度，設(shè)計滑模觀測器對移動底盤縱向和軸向滑移產(chǎn)生的3個滑模參數(shù)進行估計。

(4)

結(jié)合式(3)和式(4)，可以構(gòu)建如式(5)所示的滑模觀測器：

(5)

(6)

確定合適的滑模增益，使得式(6)中的觀測誤差在有限時間內(nèi)收斂到滑模面，然后通過一階低通濾波器來削弱滑模觀測器的抖振，得到履帶式機器人的滑模參數(shù)估計量為：

(7)

2.2 穩(wěn)定性分析

選取如下Lyapunov函數(shù)：

(8)

將V1(t)對時間求導(dǎo)，可得：

(9)

3 反演控制器設(shè)計

3.1 構(gòu)建虛擬控制器

將參考軌跡的位姿和速度表示為Pr=[Xr,Yr,θr]，q=[v,w]，可以建立履帶式機器人在局部坐標(biāo)系下的軌跡跟蹤誤差方程：

(10)

對式(10)求導(dǎo)可得軌跡跟蹤誤差微分方程為：

(11)

基于反演法構(gòu)建合理的Lyapunov函數(shù)，可以推導(dǎo)出以下虛擬控制量：

(12)

式中，k1、k2、k3為大于0的常量。

而實際控制量為：

(13)

3.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定主要是通過判斷在軌跡跟蹤誤差是否是漸進穩(wěn)定并收斂到0，并且此時履帶式機器人的實際速度是否趨向于參考速度，使得

(14)

同時成立。

選取Lyapunov函數(shù)

(15)

式中，k2為大于0的常量。

將式(15)對時間求導(dǎo)，并將式(11)和式(12)代入，可得：

(16)

接著再將式(16)對時間求導(dǎo)，可得：

(17)

(18)

(19)

4 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制器參數(shù)優(yōu)化

基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)能力，實現(xiàn)控制參數(shù)可實時調(diào)整，使得控制器在多種情況下都具有良好的性能。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示，將Sigmoid函數(shù)選作隱藏層神經(jīng)元的激活函數(shù)，因為輸出層的輸出節(jié)點對應(yīng)反演控制器中的3個控制參數(shù)k1、k2、k3，并且k1、k2、k3均大于0，因此選取tanh函數(shù)作為輸出層神經(jīng)元的激活函數(shù)。

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

選擇如下評價指標(biāo)函數(shù)：

(20)

采用梯度下降法對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)系數(shù)進行修正，即對權(quán)系數(shù)的梯度負(fù)方向進行搜索調(diào)整，并加入一項全局快速收斂的慣性項。因此，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)系數(shù)的修正方程如下：

(21)

式中，η為學(xué)習(xí)速率；α為慣性系數(shù)。

然后有：

(22)

(23)

式中，g′(·)=g(x)(1-g(x))。

假設(shè)：

(24)

就可以得到：

(25)

同理，可以得到隱層加權(quán)系數(shù)的學(xué)習(xí)算法：

(26)

(27)

式中，f′(·)=(1-f2(x))/2。

綜上所述，得到如圖3所示的基于滑模反饋的自適應(yīng)跟蹤控制系統(tǒng)。

圖3 基于滑模反饋的自適應(yīng)跟蹤控制系統(tǒng)

5 數(shù)值仿真

基于圖3建立的控制系統(tǒng)，構(gòu)建該控制系統(tǒng)的Simulink仿真模型，如圖4所示。

圖4 滑模觀測器Simulink仿真

在仿真環(huán)境下，需要人為給定滑移參數(shù)來模擬現(xiàn)實場景，被跟蹤軌跡采用結(jié)合直線和圓弧兩種軌跡作為復(fù)雜參考軌跡：在0～10 s時，為一條斜率為π/3 rad的直線，在10～20 s時，為半徑1 m的圓弧軌跡，在20～30 s時，為一段斜率為0的直線軌跡。參考線速度為0.2 m/s，參考角速度只有當(dāng)20～30 s時為-π/30 rad/s。履帶式機器人的參數(shù)為：b=0.25，r=0.06 m；反演控制器的初始控制參數(shù)為：k1=5，k2=50，k3=10。

在外界干擾下，移動底盤實際初始位姿可能偏離了軌跡規(guī)劃得到的參考初始位姿，因此，在仿真中將實際初始位姿和參考初始位姿人為偏移一段距離。在全局坐標(biāo)系XOY下，給定參考軌跡起點位置為：(0 m,0 m,π/3 rad/s)，履帶式機器人起點位姿為：(1.2 m,0.2 m,π/2 rad/s)，仿真滑移參數(shù)為：在0～10 s時：(iL,iR,θs)=(0.1,0.1,0.01sin(πt/5))；在10～20 s時：(iL,iR,θs)=(0.15,0.05,-0.015sin(πt/5))；在20～30s時：(iL,iR,θs)=(0.1,0.1,-0.01sin(πt/5))。

仿真結(jié)果如圖5～圖7所示，為方便對比，將反演控制器輸出標(biāo)記為“BC+滑移”，基于滑模觀測器的自適應(yīng)反演控制器輸出標(biāo)記為“ABC+SMO+滑移”。

(a) 復(fù)雜軌跡跟蹤對比

(b) 跟蹤誤差對比 (c) 虛擬控制量對比圖5 基于滑模觀測器的自適應(yīng)反演控制器Simulink仿真

圖6 滑模觀測器仿真

圖7 自適應(yīng)控制參數(shù)

由圖5a、圖5b可以看出基于滑模參數(shù)反饋的自適應(yīng)反演控制器有效地提高了軌跡跟蹤控制精度；圖5c為虛擬控制量變化曲線；圖6左圖為滑模面變化曲線，由圖6右圖可以看出滑模觀測器的觀測效果較好；圖7可以看到控制參數(shù)k1、k2、k3隨時間的自適應(yīng)變化。

機器人在平面內(nèi)的軌跡可以大致劃分為直線和弧線兩種，在對直線弧線混合軌跡進行跟蹤后，進一步對S型和圓形軌跡進行跟蹤，跟蹤效果如圖8所示。

(a) S型曲線 (b) 圓弧曲線圖8 多種軌跡跟蹤控制

由圖8可以看出軌跡跟蹤控制效果較好。

6 結(jié)論

(1)建立了處于滑移狀態(tài)下的履帶機器人運動學(xué)模型并構(gòu)建了相應(yīng)滑移參數(shù)，進一步設(shè)計出滑模觀測器對滑移參數(shù)進行觀測，且反饋到控制系統(tǒng)中，消除滑移對控制系統(tǒng)的影響。

(2)基于滑模觀測器估計的滑移參數(shù)，根據(jù)反演法建立基于滑模反饋的反演控制器，進一步基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線調(diào)整控制器參數(shù)，提高控制系統(tǒng)的精確性。

(3)通過Simulink仿真對比基于滑模反饋的履帶式機器人自適應(yīng)反演控制器和反演控制器，證明了本文提出的控制器控制精度大大提高，并且對多種軌跡的跟蹤效果都較好。