李曉曉，孫付春，吳昊榮

(成都大學(xué)a.機(jī)械工程學(xué)院；b.電子信息與電氣工程學(xué)院，成都 610106)

0 引言

數(shù)控機(jī)床在現(xiàn)代工業(yè)中起著不可取代的作用，多軸數(shù)控機(jī)床因其加工復(fù)雜曲面的高度柔性被廣泛應(yīng)用于機(jī)械制造行業(yè)[1]。目前，基于機(jī)床幾何誤差建模與辨識(shí)為基礎(chǔ)，再進(jìn)行機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償是提高機(jī)床精度的有效途徑。幾何誤差產(chǎn)生于機(jī)床的設(shè)計(jì)、制造和裝配階段，屬于先天性的靜態(tài)誤差，決定了機(jī)床的加工精度[2]。機(jī)床幾何誤差元素溯源作為機(jī)床幾何誤差建模與辨識(shí)的基礎(chǔ)，近年來已經(jīng)得到了廣泛關(guān)注，學(xué)者們利用全局靈敏度分析法和局部靈敏度分析法開展機(jī)床幾何誤差元素溯源研究[3-4]。局部靈敏度分析法以機(jī)床靜態(tài)常量的誤差建模為基礎(chǔ)，以幾何誤差元素作為分析變量，以空間誤差模型作為敏感度計(jì)算模型，分別對(duì)空間誤差模型中的X、Y、Z方向誤差分量作偏微分運(yùn)算，得到靈敏度系數(shù)，進(jìn)而溯源機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差源[5]。LASEMI等[6]利用直接矩陣微分法對(duì)數(shù)控機(jī)床的空間誤差模型進(jìn)行局部靈敏度分析，依據(jù)靈敏度系數(shù)將幾何誤差源劃分為重要與非重要誤差源。WANG等[7]根據(jù)局部靈敏度系數(shù)去除了非關(guān)鍵和線性相關(guān)的幾何誤差元素，簡(jiǎn)化了基于球桿儀測(cè)量的幾何誤差元素辨識(shí)過程；武劍等[8]在局部靈敏度分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合誤差貢獻(xiàn)度判定準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn)了機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素溯源，為機(jī)床關(guān)鍵部件精度控制提供了新思路。全局靈敏度分析法的分析變量是機(jī)床幾何誤差元素，敏感度模型是空間誤差模型，采用統(tǒng)計(jì)方法確定幾何誤差在空間中的分布，利用幾何誤差元素對(duì)誤差模型的影響程度，從而來溯源機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差源[9]。但全局靈敏度分析法的局限性在于：①機(jī)床誤差源的分布特征無法準(zhǔn)確獲得；②概率分布要求大批量樣本，對(duì)于具體某臺(tái)機(jī)床誤差情況則不準(zhǔn)確[10-11]。

目前，絕大部分學(xué)者只利用局部靈敏度分析法或全局靈敏度分析法對(duì)機(jī)床空間誤差元素溯源展開研究[3,5-7,12]，但是針對(duì)同一機(jī)床同時(shí)采用兩種靈敏度分析法將會(huì)獲得何種結(jié)果缺少研究；同時(shí)，兩種靈敏度分析法同時(shí)溯源出的幾何誤差元素能為精確找出機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素提供理論支持?；诖耍槍?duì)局部靈敏度分析法和全局靈敏度分析法，以某臥式加工中心為例，分別溯源機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素，驗(yàn)證兩種方法的適用性，準(zhǔn)確溯源出機(jī)床的關(guān)鍵幾何誤差元素。

1 利用旋量理論建立3軸數(shù)控機(jī)床空間模型

3軸數(shù)控機(jī)床包含了21項(xiàng)幾何誤差元素(GEs)，其中18項(xiàng)位置相關(guān)幾何誤差元素(PDGEs)和3項(xiàng)位置無關(guān)幾何誤差元素(PIGEs)[3]。如表1所示，δ、ε分別表示線性誤差和轉(zhuǎn)角誤差。

表1 3軸數(shù)控機(jī)床幾何誤差元素

1.1 基于螺旋理論的多軸數(shù)控機(jī)床空間誤差建模方法

機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈劃分為刀具運(yùn)動(dòng)鏈和工件運(yùn)動(dòng)鏈，常被用于研究機(jī)床空間誤差[13]。機(jī)床坐標(biāo)系下，將刀尖點(diǎn)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)位置相對(duì)工件被切削點(diǎn)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)位置的矢量差定義為機(jī)床空間誤差。利用螺旋理論分析運(yùn)動(dòng)鏈拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，推導(dǎo)各運(yùn)動(dòng)鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，構(gòu)建基于全局坐標(biāo)系下的空間誤差模型[14]。

圖1 機(jī)床工件運(yùn)動(dòng)連和刀具運(yùn)動(dòng)鏈

(1)

(2)

結(jié)合式(1)、式(2)，得理想狀態(tài)下的刀具坐標(biāo)系相對(duì)于工件坐標(biāo)系的齊次變化矩陣：

(3)

實(shí)際運(yùn)動(dòng)過程中，因PDGEs和PIGEs的綜合影響，切削點(diǎn)和刀尖點(diǎn)相對(duì)基坐標(biāo)系原點(diǎn)將會(huì)發(fā)生偏移，對(duì)于單個(gè)運(yùn)動(dòng)軸而言，在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)產(chǎn)生6項(xiàng)PDGEs，將產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)誤差同樣用運(yùn)動(dòng)螺旋表示，那么理想運(yùn)動(dòng)螺旋到實(shí)際運(yùn)動(dòng)螺旋的變化便可看作是誤差運(yùn)動(dòng)的結(jié)果[15]。與齊次變換理論類似，將6項(xiàng)PDGEs對(duì)應(yīng)的誤差運(yùn)動(dòng)矩陣相乘即可得到第i軸的最終PDGEs變換矩陣[15]，同理可得PIGEs變換矩陣，如式(6)和式(7)所示。

(4)

(5)

(6)

(7)

式中，Sji為第i軸相對(duì)于第j軸的垂直度。

故實(shí)際狀態(tài)下的刀具坐標(biāo)系相對(duì)于工件坐標(biāo)系的齊次變化矩陣可表示為：

(8)

機(jī)床空間誤差包括位置誤差和姿態(tài)誤差[3]，設(shè)刀尖點(diǎn)相對(duì)于刀具坐標(biāo)系的位置和方向向量分別為Rpt和Rot，將實(shí)際狀態(tài)與理想狀態(tài)基坐標(biāo)系下刀尖點(diǎn)相對(duì)切削點(diǎn)的偏差定義為機(jī)床空間誤差ΔV，有：

(9)

式中，Perror為機(jī)床空間位置誤差；Oerror為機(jī)床空間姿態(tài)誤差。

1.2 臥式加工中心空間誤差建模

圖2為某型號(hào)的臥式加工中心結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)拓?fù)滏?，機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈包括工件運(yùn)動(dòng)鏈(床身-Z軸-工件)和刀具運(yùn)動(dòng)鏈(床身-X軸-Y軸-刀具)。在床身和工件上分別建立機(jī)床坐標(biāo)系MCS和工件坐標(biāo)系WCS。

(a) 加工中心結(jié)構(gòu) (b) 運(yùn)動(dòng)拓?fù)滏湀D2 臥式加工中心結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)拓?fù)滏?/p>

根據(jù)基于螺旋理論的3軸數(shù)控機(jī)床空間誤差建模過程，可推導(dǎo)出如圖2所示臥式加工中心的空間誤差模型：

(10)

式中，Perror為刀尖點(diǎn)在工件坐標(biāo)系的實(shí)際位置向量(3軸機(jī)床中通常僅考慮位置向量)；Oerror為刀尖點(diǎn)在工件坐標(biāo)系的實(shí)際姿態(tài)向量。

(11)

(12)

(13)

(14)

最終可得圖2所示臥式加工中心的空間誤差模型：

(15)

1.3 幾何誤差元素辨識(shí)

基于“十二線法”測(cè)量原理[16]，使用雷尼紹XL系列激光干涉儀，進(jìn)行機(jī)床幾何誤差辨識(shí)測(cè)量實(shí)驗(yàn)，如圖3所示。機(jī)床工作行程為800 mm×600 mm×600 mm，實(shí)驗(yàn)恒溫環(huán)境溫度為20±0.5 ℃。各運(yùn)動(dòng)軸的PDGEs辨識(shí)結(jié)果如圖4～圖6所示，PIGEs辨識(shí)結(jié)果如表2所示。

圖3 機(jī)床幾何誤差辨識(shí)測(cè)量實(shí)驗(yàn) 圖4 X軸PDGEs辨識(shí)結(jié)果

圖5 Y軸PDGEs辨識(shí)結(jié)果 圖6 Z軸PDGEs辨識(shí)結(jié)果

表2 PIGEs辨識(shí)結(jié)果 (μm·m-1)

2 局部靈敏度分析法溯源機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素

由臥式加工中心空間誤差模型可知，機(jī)床空間位置誤差與幾何誤差元素和運(yùn)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)位置相關(guān)，可將其表示為[8]：

ΔP=f(G,M)

(16)

式中，ΔP=(ΔPxΔPyΔPz)為機(jī)床空間位置誤差；G=(δxxδyxδzxεxxεyxεzxδxyδyyδzyεxyεyyεzyδxzδyzδzzεxzεyzεzzSxySyzSxz)為機(jī)床的21項(xiàng)幾何誤差元素；M=(x,y,z)為機(jī)床的運(yùn)動(dòng)位置。

由臥式加工中心空間誤差模型可知，F(xiàn)是變量G和M的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，將其按一級(jí)泰勒級(jí)數(shù)展開后，可得：

(17)

式中，S=?f/?M為機(jī)床空間位置誤差對(duì)于21項(xiàng)幾何誤差元素的靈敏度系數(shù)矩陣，如式(18)所示。

(18)

式(18)為臥式加工中心的誤差靈敏度矩陣，反映出當(dāng)運(yùn)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)位置和幾何誤差元素產(chǎn)生變化時(shí)，對(duì)X、Y、Z方向空間位置誤差的影響程度。另外可從誤差靈敏度矩陣中方便得到各幾何誤差元素的靈敏度系數(shù)Smi(m=x,y,z;i=1,2,3,…,21)。

2.1 關(guān)鍵幾何誤差元素辨識(shí)評(píng)定

誤差靈敏度矩陣是溯源機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素的基礎(chǔ)?？紤]到機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)位置對(duì)各方向空間誤差的靈敏度系數(shù)的影響，對(duì)Smi針對(duì)運(yùn)動(dòng)位置進(jìn)行積分，實(shí)現(xiàn)靈敏度系數(shù)全局化，以統(tǒng)一量綱、便于對(duì)比分析。在實(shí)際加工中，機(jī)床空間誤差直接影響機(jī)床加工精度，因此在溯源機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素時(shí)，不僅需考慮運(yùn)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)位置，還需引入各幾何誤差元素的值。另外，統(tǒng)一機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素的長(zhǎng)度量與角度量，并將其無量綱化處理，會(huì)使溯源效果更佳。將各幾何誤差元素對(duì)機(jī)床實(shí)際加工精度的影響因子定義為誤差貢獻(xiàn)度，提出一則誤差溯源評(píng)定準(zhǔn)則，其具體可寫作：

(19)

2.2 機(jī)床幾何誤差元素貢獻(xiàn)度分析

在分析圖2所示的臥式加工中心幾何誤差元素的誤差貢獻(xiàn)度時(shí)，需給出機(jī)床工作空間范圍(600 mm×600 mm×480 mm)和幾何誤差元素的辨識(shí)結(jié)果，如表2所示。臥式加工中心的21項(xiàng)幾何誤差元素的數(shù)值，可參考機(jī)床工作運(yùn)動(dòng)極限位置處的幾何誤差值，即將X/Y/Z軸的工作運(yùn)動(dòng)極限值代入表2中的各幾何誤差元素辨識(shí)結(jié)果中，即可得到各運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差元素的估值，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差元素評(píng)估值

將表3中的機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差元素評(píng)估值與靈敏度系數(shù)代入式(19)，可計(jì)算出如圖7所示的各部件誤差在臥式加工中心空間位置誤差上的貢獻(xiàn)度。

圖7 臥式加工中心空間位置誤差貢獻(xiàn)度

圖7的臥式加工中心空間位置誤差貢獻(xiàn)度分析結(jié)果顯示：21項(xiàng)幾何誤差元素對(duì)機(jī)床空間位置誤差的影響程度明顯不同；δzz的誤差貢獻(xiàn)度值最大，達(dá)13.42%，δzy次之，為13.01%；δxx、δyx、δzx、δxy、δyy、δyz、δxz、δyz、Sxy這9項(xiàng)幾何誤差元素的誤差貢獻(xiàn)度值相對(duì)較高；且上述11項(xiàng)幾何誤差元素的誤差貢獻(xiàn)度值總和占全部21項(xiàng)幾何誤差元素誤差貢獻(xiàn)度的92.386%，說明表明這些幾何誤差元素是機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素。

3 全局靈敏度分析法溯源機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素

基于機(jī)床空間誤差模型的全局靈敏度分析，本質(zhì)是求解機(jī)床各項(xiàng)幾何誤差元素對(duì)機(jī)床精度的固有影響程度。綜合考慮幾何誤差元素運(yùn)動(dòng)特性，借鑒正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)思想在臥式加工中心的工作空間中選取25個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，設(shè)計(jì)多因素正交試驗(yàn)和單因素參數(shù)試驗(yàn)，對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果，以快速、準(zhǔn)確溯源機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素。通過正交試驗(yàn)結(jié)果，分析試驗(yàn)因素對(duì)結(jié)果的影響程度[2]。在臥式加工中心21項(xiàng)幾何誤差元素的正交試驗(yàn)中，計(jì)算模型為機(jī)床位置誤差模型，可表示為：

(20)

正交試驗(yàn)方差分析過程為：計(jì)算各因素對(duì)試驗(yàn)誤差的離差平方和、自由度、平均離差平方和及F值；F檢驗(yàn)。對(duì)于給定的顯著性水平α，根據(jù)F分布表，查找α水平下的臨界值Fα；通過比較Fj與Fα的大小，若Fj值大于Fα，則j因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，且偏差越大影響越顯著，反之無顯著影響。

借鑒正交試驗(yàn)思想，綜合考慮幾何誤差元素與運(yùn)動(dòng)位置的關(guān)系以及試驗(yàn)點(diǎn)的空間均布性，以X、Y、Z軸運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)選擇測(cè)點(diǎn)位置，選取5水平3因素，按照L25(56)正交表優(yōu)選25個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，如表4所示。

表4 機(jī)床工作空間中試驗(yàn)位置選取 (mm)

圖8 位置誤差正交試驗(yàn)F值

為溯源機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素，選取α=0.01/0.05，查詢F分布表得到等水平α下的臨界值Fα=4.37/2.84。若F值大于Fα，則幾何誤差元素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，且偏差越大影響越顯著，反之無顯著影響。綜合位置誤差和姿態(tài)誤差正交試驗(yàn)結(jié)果，得到各試驗(yàn)點(diǎn)符合顯著性檢驗(yàn)的幾何誤差元素。

圖8的位置誤差正交試驗(yàn)結(jié)果顯示：不同試驗(yàn)點(diǎn)的幾何誤差元素對(duì)位置誤差的影響程度明顯不同。試驗(yàn)點(diǎn)1為機(jī)床原點(diǎn)，F(xiàn)值均很小，為全局最小F值點(diǎn)；試驗(yàn)點(diǎn)25接近工作空間的極限位置，δyx、δyz的F值達(dá)到4 603.02和4 777.31，為全局最大F值點(diǎn)；試驗(yàn)點(diǎn)13位于工作臺(tái)中心與Z軸極限的交點(diǎn)位置，δyx、δyz的F值為1 078.81、1 092.04，雖小于全局最大F值，但大于其他幾何誤差元素的F值。根據(jù)F分布表得到等水平α下的臨界值Fα=4.37/2.84，可以看出：機(jī)床不同工作位置處的關(guān)鍵幾何誤差元素溯源結(jié)果相同，符合顯著性檢驗(yàn)的幾何誤差源所包含的幾何誤差元素項(xiàng)數(shù)也不同。因此需要計(jì)算各項(xiàng)幾何誤差元素在工作空間中各位置的F均值，以評(píng)估其對(duì)機(jī)床空間精度的影響程度，計(jì)算結(jié)果如圖9所示。CHENG等[11]指出單個(gè)誤差元素的靈敏度系數(shù)越高，對(duì)模型的影響越大，并且多個(gè)幾何誤差元素的靈敏度系數(shù)之和靈敏度系數(shù)之和的80%以上，表明這些幾何誤差元素是關(guān)鍵的幾何誤差元素。因此通過將25個(gè)位置點(diǎn)出的全部21項(xiàng)幾何誤差元素取均值后，發(fā)現(xiàn)：δxx、δyx、δzx、δyy、δzy、εzy、δxz、δyz、δzz、εxz、Sxy和Syz，這幾項(xiàng)幾何誤差元素的正交試驗(yàn)F值總和超過全部幾何誤差元素F值總和的80%，故將其作為臥式加工中心的關(guān)鍵幾何誤差元素，在機(jī)床設(shè)計(jì)和安裝調(diào)試時(shí)應(yīng)予以重點(diǎn)關(guān)注。

圖9 位置誤差正交試驗(yàn)F均值圖

由此得出，臥式加工中心的關(guān)鍵幾何誤差元素為：δxx、δyx、δzx、δyy、δzy、εzy、δxz、δyz、δzz、εxz、Sxy和Syz，包含3項(xiàng)定位誤差、5項(xiàng)直線度誤差、2項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差和2項(xiàng)垂直度誤差，共12項(xiàng)幾何誤差元素。

4 結(jié)論

通過對(duì)多軸數(shù)控機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素溯源方法進(jìn)行了深入研究，以某臥式加工中心機(jī)床為例，分別采用局部靈敏度分析法和全局靈敏度分析法溯源臥式加工中心關(guān)鍵幾何誤差元素。兩種方法中的誤差靈敏度系數(shù)的定義不同，機(jī)床的21項(xiàng)幾何誤差元素對(duì)臥式加工中心空間位置誤差的影響程度也不同；采用局部靈敏度分析法溯源出機(jī)床11項(xiàng)關(guān)鍵幾何誤差元素，采用全局靈敏度分析法溯源出機(jī)床12項(xiàng)幾何誤差元素。盡管兩種溯源方法得到的機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素不同，但各運(yùn)動(dòng)軸的線性誤差均為機(jī)床關(guān)鍵誤差源，且對(duì)機(jī)床空間位置誤差具有顯著影響；另外，各運(yùn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)角誤差的靈敏度系數(shù)均較小，而垂直度誤差的溯源結(jié)果并不相同，有待進(jìn)一步的分析研究。