鄒 政，馬 戈，汪 燦，謝 進

（西南交通大學機械工程學院，四川成都 610031）

1 引言

近年來，振動能量收集的研究引起人們的廣泛關注[1?2]。通常將振動能量轉化為電能的裝置稱為俘能器。由于壓電俘能器具有結構簡單、無污染、壽命長、易于實現裝置的微小化等優(yōu)點而成為了研究熱點[3]，其最常見結構為壓電懸臂梁。

環(huán)境中的振動是多方向，現有的研究大多是研究直接激勵（激勵方向垂于梁長）下的壓電俘能器，而對于參數激勵（激勵方向平行于梁長）的研究較少。

文獻[4]建立了參數激勵下的壓電俘能器集總參數模型，通過解析法和實驗研究了多個參數對俘能器的影響。

文獻[5]推導了受參數激勵懸臂梁的非線性分布參數模型，考慮了幾何、慣性、壓電材料等多種非線性因素的影響。與直接激勵相比，參數激勵引發(fā)的參數共振具有能將輸出功率提高一個數量級的潛力，但需要克服和阻尼相關的激勵閾值，否則系統(tǒng)不能發(fā)生參數共振，進而穩(wěn)態(tài)響應趨向于0。

文獻[6?7]采用實驗的方法，利用彈簧放大振動激勵，進而降低了參數共振的激勵閾值，但是俘能帶寬比較窄。

為了降低參數共振的激勵閾值，并拓展能量俘獲的頻率帶寬，提出了一種磁力T型壓電俘能器。

采用數值方法，分析、對比磁力T型雙梁壓電俘能器以及作為其特例的參數激勵單梁俘能器的俘能特性，從而說明磁力T型雙梁壓電俘能器在降低閾值和拓展俘能帶寬的主要優(yōu)點。

2 磁力T型壓電俘能器動力學模型建立

2.1 磁力T型壓電俘能器的物理結構

所提出的磁力T型壓電俘能器，如圖1所示。

圖1 磁力T型壓電俘能器結構示意圖Fig.1 Structure Diagram of Magnetic T?Shaped Piezoelectric Energy Harvester

該俘能器的水平梁1與豎直梁2正交，在梁1右端部有一個可以移動的質量塊，質量塊上附著磁鐵，磁鐵和質量塊的總質量為M1，磁鐵的初始間距為d0。

梁2的下末端位于為梁1的中部，通過質量塊M2與梁1連接，梁2的上末端裝有質量塊M3。梁1的長度為L1，厚度為t1，寬度為b1。梁2長度為L2，長度為Lp的壓電片貼在梁2的下末端，梁2基底層和壓電層的寬度分別為b2、bp，厚度分別為t2和tp。

壓電層由厚度可忽略的平面電極與負載電阻R相連，連接方式采用并聯，其產生的電壓為V。

2.2 磁力T型壓電俘能器動力學方程

在外部諧波激勵z（t）的作用下，梁1和梁2的一階振型，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)振動時梁1和梁2的振型Fig.2 Vibration Modes of Beam 1 and Beam 2 During System Vibration

梁1產生的橫向和軸向位移分別為w1（x，t）和u1（x，t）；梁2的橫向和軸向位移分別為w2（y，t）和u2（y，t）。

根據圖2，考慮梁1和梁2的橫向位移w1和w2的一階展開式，其表達式分別為：

式中：X（t）和Y（t）—梁1和梁2的位移幅值，即廣義坐標。系統(tǒng)的機電耦合動力學方程可由擴展哈密頓原理推導。根據擴展哈密頓原理[8]，得：

式中：L—拉格朗日函數，其計算式為：L=T－U；

T—系統(tǒng)的動能；U—系統(tǒng)的勢能；

δW—非保守力所做的虛功的變分。

為此，首先計算系統(tǒng)的動能和勢能，系統(tǒng)的動能為：

式中：TL1、TM1、TM2、TL2、TM3—梁1、質量塊M1、質量塊M2、梁2 及質量塊M3的動能，其計算式分別為：

式中：m1和m2—梁1和梁2單位長度的質量；IM3—質量塊M3的轉動慣量；ψ2—梁2的轉角。

在考慮重力勢能時，系統(tǒng)的勢能為：

式中：U1、U2、UG、Um—梁1、梁2 的勢能以及重力勢能和磁勢能。

在考慮梁的幾何非線性[9]時，U1、U2和UG的計算式分別為：

式中：E1I1，E2I2—梁1和梁2的抗彎剛度；E1和E2—梁1和梁2的楊式模量；ψ—機電耦合系數；Cp—壓電電容，這些參數的具體表達式見文獻[10]；V（t）—系統(tǒng)產生的電壓。

非保守力所做的虛功的變分可以表示為：

式中：c1和cf—梁1的粘性阻尼以及梁1右端質量塊所受的滑動摩擦阻尼；c2—梁2的粘性阻尼；Q—壓電層的電荷輸出，Q與負載電阻R之間滿足=V/R。

磁勢能Um可以采用磁偶極子模型推導，其計算式為：

式中：μ0—真空磁導率；rBA—磁鐵A中心到磁鐵B中心的向量；mB和mA—磁鐵B和A的磁矩向量。具體表達式為：

根據文獻[5]可知，梁1和梁2的橫向位移和縱向位移應滿足：

將式（1）、式（8）和式（9）代入式（7），利用泰勒公式在X=0處展開并保留到4次項，有：

將式（1）～式（2）、式（4）～式（6）和式（9）代入式（3）可以得到磁力T型壓電俘能器的動力學方程為：

式中：k1、g1—梁1和梁2的等效質量；C1、C2—梁1和梁2的等效阻尼；Cf—等效滑動摩擦阻尼；k2?K1、k3—梁1的等效剛度；g2、g3—梁2的等效剛度；k4、g4—梁1和梁2的慣性非線性系數；k5、k6、g5、g6—梁1和梁2的非線性耦合項系數；k7、g7—直接和參數激勵項系數；k8—等效重力；γ1、γ2—等效機電耦合系數。方程中諧波激勵：

式中：A—外部加速度激勵幅值；ωe—外部激勵圓頻率，Ω=ωe/（2π）。

根據式（11）可知，梁1和梁2的固有頻率f1和f2分別為：

為了對比參數激勵單梁壓電俘能器和磁力T型壓電俘能器的俘能特性，將梁1及質量塊M2去除，將梁2直接與激振器連接，則得到文獻[4]所提出的參數激勵單梁壓電俘能器。此時，將式（11）中的第二個方程含X的耦合項舍去，則可以得到參數激勵單梁壓電俘能器的動力學方程為：

式中：YS和VS—在沒有附加梁1時，梁2—單梁時的位移響應和輸出電壓。根據文獻[11]，俘能器的俘能效果可采用平均輸出功率為評價指標，計算式：

式中：Vrms—均方根電壓。

當負載電阻R為定值時，平均輸出功率與均方根電壓的平方成正比，因而，均方根電壓Vrms也可作為俘能效果的一個指標。

3 磁力T型壓電俘能器的特性分析

數值仿真時，利用MATLAB對式（11）和式（13）進行求解，若沒有特別說明，初始值都取0，負載電阻R取1MΩ。

磁力T型壓電俘能器的參數，如表1和表2所示。

表1 磁力T型壓電俘能器材料參數Tab.1 Material Parameters of Magnetic T-Shaped Piezoelectric Energy Harvester

表2 磁力T型壓電俘能器結構參數Tab.2 Structural Parameters of Magnetic T-Shaped Piezoelectric Energy Harvester

3.1 參數激勵單梁俘能器的俘能特性

參數激勵下單梁壓電梁2的特性，如圖3所示。

圖3 參數激勵單梁梁2的運動及俘能特性Fig.3 Motion and Energy Harvesting Characteristics of Beam 2 Under Parametric Excitation

參數激勵單梁俘能器的結構中沒有梁1和質量塊M2，其動力學方程，如式（13）所示。

根據表中的參數可以得知梁2的固有頻率為6.95Hz，在仿真時，取激勵頻率約為梁2的2倍固有頻率，即Ω=14Hz。

對于參數激勵單自由度系統(tǒng)，初始值不能取為0，因此初始值取[0.01，0，0]。

激勵幅值為32m·s?2和35m·s?2時梁2的時域圖，圖3（a）和圖3（b）所示?？梢钥闯霎敿罘禐?2m·s?2，系統(tǒng)穩(wěn)定的動態(tài)響應趨于0；而當激勵幅值為35m·s?2，系統(tǒng)具有穩(wěn)定的運動。圖3（c）表明；當激勵幅值為35m·s?2時，梁2有明顯的功率輸出，即系統(tǒng)的激勵閾值為33.6m·s?2。

圖3（d）表明；當激勵幅值為33.6m·s?2，并且梁2 在其固有頻率的2 倍處（14Hz）發(fā)生主參數共振時，反向掃頻帶寬略寬于正向掃；梁2振動帶寬，即俘能器的俘能帶寬小于0.4Hz。

3.2 磁力T型壓電俘能器的俘能特性

3.2.1 磁鐵間距d0與系統(tǒng)的固有頻率

這里主要是利用調整磁鐵間距d0，改變作用于梁1末端質量塊M1的受力，從而改變梁1的固有頻率，達到產生共振的頻率條件f1=2f2。

按照式（12）可以計算出對應不同磁鐵間距d0，梁1的固有頻率f1、梁2的固有頻率f2以及他們之間的關系，如圖4所示。

圖4 磁鐵間距與梁的固有頻率之間的關系Fig.4 Relationship Between Magnet Distance and Natural Frequency of Beam

從圖4中可見，隨著d0的減小，梁1的固有頻率f1與梁2的固有頻率f2之比將單調地減小，當d0=20mm 時，梁2的固有頻率為6.95Hz，梁1的固有頻率約為14Hz，即梁1的固有頻率約為梁2的固有頻率的2倍。

如果假設梁1末端沒有磁力作用，d0無窮大時，則f1≈2.36f2，說明采用這里的系統(tǒng)參數，固有頻率比的極限值是2.36。

3.2.2 不同固有頻率比的系統(tǒng)頻率響應

隨著磁鐵間距d0的變化，梁1的固有頻率f1將發(fā)生變化，與梁2的固有頻率f2之比也隨之發(fā)生變化，因而系統(tǒng)的動態(tài)響應也會發(fā)生變化。

圖5（a）、圖5（b）所示分別為激勵幅值A=5m·s?2時，梁1和梁2的頻率響應。

從圖5（a）可以看出；當d0為無窮大時，頻率響應曲線與線性振動類似，說明此時系統(tǒng)中磁力非線性因素的影響比較小；隨著d0的減小，梁的固有頻率比逐漸減小，梁1的振幅逐漸減小，當d0=20mm和d0=18mm時，出現了雙峰；在此之后，繼續(xù)減小d0時，梁1的振幅又逐漸增大，而且頻率響應曲線峰值的右側出現了明顯的突變，意味著出現了跳躍現象，表現為硬彈簧特性，說明磁力非線性因素的影響增大。

從圖5（b）可以看出；梁2的電壓響應也表現出類似的特性。在固有頻率比大于2而小于2.36的范圍內，隨著d0的減小，頻率響應的硬彈簧特性逐漸減弱，軟彈簧特性逐漸增強，當d0=20mm和d0=18mm時，出現了雙峰；在固有頻率比小于2的范圍內，減小d0，將導致硬彈簧特性徹底消失，只表現出軟彈簧特性，形成單一峰值的左側出現跳躍現象。

圖5 磁鐵間距對頻率響應的影響Fig.5 Influence of Magnet Distance on Frequency Response

就系統(tǒng)的俘能性能而言，隨著d0的減小，梁2頻率響應的最大均方根電壓也進一步減小，而梁2的帶寬則表現出先增加后減小的趨勢，其轉折點出現在d0=20mm附近，即f1≈2f2。此時，系統(tǒng)發(fā)生了1；2的內共振。

3.2.3 系統(tǒng)內共振時的動力及俘能特性

當d0=20mm 時，梁1的固有頻率f1與梁2的固有頻率f2之間滿足f1≈2f2，則系統(tǒng)發(fā)生1；2的內共振。激勵頻率為14Hz時，系統(tǒng)隨激勵幅值的響應，如圖6所示。

從圖6（a）可以看出；當激勵幅值小于0.5m·s?2時，梁1的均方根位移隨激勵幅值的增大而增大，但當激勵幅值大于0.5m·s?2時，梁1的均方根位移基本保持不變。這是由于1；2內共振而發(fā)生了飽和現象，梁1的能量傳遞給了梁2。

從圖6（b）可以看出；磁力T型壓電俘能器系統(tǒng)的激勵閾值為0.5m·s?2，相比于2.1節(jié)中參數激勵單梁俘能器的閾值33.6m·s?2，得到了很大程度的減小。

由圖6（c）、圖6（d）所示梁1和梁2位移的時域圖可見；系統(tǒng)在激勵幅值為0.6m·s?2時梁2能發(fā)生參數共振，梁1的位移在運動約30s之后變小并在此之后又保持不變，說明了系統(tǒng)的確發(fā)生了飽和現象。

圖6 磁力T型壓電俘能器的俘能特性Fig.6 Characteristics of Magnetic T?Shaped Piezoelectric Harvester

當激勵幅值為A=3m·s?2，磁鐵間距d0=20mm 時，系統(tǒng)的正向和反向掃頻時的頻率響應，如圖7所示。

圖7 磁力T型壓電俘能器頻率響應Fig.7 Frequency Response of Magnetic T?Shaped Piezoelectric Energy Harvester

從圖7（a）可以看出；梁1的頻率響應出現了雙峰，從圖7（b）～圖7（d）可以看出，梁2的頻率響應既有軟彈簧特性，也有硬彈簧特性，表現出雙跳躍現象[12]，并且由于參數共振，響應曲線較為平坦。雖然正向和反向掃頻頻率響應略有差異，但梁2的電壓響應帶寬均約為0.9Hz，已經比參數激勵單梁俘能器的0.4Hz提高了125%。

當d0=20mm時，隨著激勵幅值的增大，磁力T型壓電俘能器均方根電壓的頻率響應，如圖8所示。

從圖8可見；隨著激勵幅值的增大，系統(tǒng)輸出的均方根電壓增大，頻率響應帶寬也會增加；并且頻率響應曲線向右彎曲的部分更多，表現出更強的硬彈簧特性，當激勵幅值為9m ?s?2時，帶寬可以增加到3Hz。

圖8 激勵幅值對系統(tǒng)頻率響應的影響Fig.8 Influence of Excitation Amplitude on Frequency Response of System

4 結論

這里提出了一種磁力T型壓電俘能器，通過調節(jié)磁鐵間距d0使系統(tǒng)固有頻率滿足f1≈2f2時，不僅能在很大程度上降低發(fā)生參數共振的激勵閾值，并且由于結合了軟硬彈簧特性，頻率響應帶寬提升100%以上。

研究表明：（1）梁1在主參數共振頻率處發(fā)生了飽和現象，其振幅不受激勵幅值的影響，在遠離主參數共振頻率處，其振幅隨著激勵幅值的增大而增大。增大激勵幅值不僅能增加梁2的電壓輸出，同時也能增大頻率帶寬。（2）隨著磁鐵距離d0的減小，梁2的帶寬表現出先增大后減小的趨勢。當d0滿足使系統(tǒng)的固有頻率之比近似滿足f1≈2f2時，系統(tǒng)的頻率響應的帶寬達到最大。

最后，這里得到的數值仿真的結論，可作為系統(tǒng)設計的依據和參考。未來的工作包括對系統(tǒng)的參數進行優(yōu)化，使系統(tǒng)能在較低的激勵幅值下產生更寬的頻率響應；另外，當減小磁鐵間距使梁1變?yōu)榍簳r，系統(tǒng)的俘能特性也是值得研究的課題。