鄭一帆，于先文

(東南大學(xué) 交通學(xué)院，江蘇 南京 211189)

不均勻沉降是導(dǎo)致建構(gòu)筑物開裂、塌陷等結(jié)構(gòu)性破壞的主要原因之一，嚴(yán)重影響建構(gòu)筑物的服務(wù)性能，威脅其安全性與穩(wěn)定性[1]。沉降預(yù)測是目前大多數(shù)工程進(jìn)行地基處理的主要依據(jù)，其預(yù)測結(jié)果與工后不均勻沉降的處理效果密切相關(guān)。沉降預(yù)測分為兩個(gè)步驟，首先使用工程的實(shí)測沉降數(shù)據(jù)建立沉降預(yù)測模型，然后通過沉降預(yù)測模型預(yù)測工后沉降。隨著工程進(jìn)展，沉降預(yù)測模型需要不斷地更新來保障預(yù)測的質(zhì)量。對于高鐵、大型橋梁等時(shí)間跨度大的工程項(xiàng)目，建立一個(gè)沉降預(yù)測模型高效更新的方法具有重要的意義。

目前，沉降預(yù)測模型的更新普遍采用簡單的傳統(tǒng)更新方法。在實(shí)際的工程中，廣泛使用的模型如雙曲線法模型[2-4]、指數(shù)曲線法模型[4-6]、星野法模型[8-9]等都使用傳統(tǒng)最小二乘方法進(jìn)行模型更新。該方法的具體過程為：新增觀測數(shù)據(jù)后，利用全部數(shù)據(jù)列出誤差方程進(jìn)行最小二乘間接平差，得到新的沉降預(yù)測模型系數(shù)。即便被廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程中，傳統(tǒng)更新方法也仍存在不足之處，具體表現(xiàn)為以下三點(diǎn)：①數(shù)據(jù)存儲量大，需要將歷史沉降數(shù)據(jù)全部保存，歷史沉降觀測數(shù)據(jù)重復(fù)地參與擬合過程；②模型更新計(jì)算量大，每次更新過程都需要使用到所有的沉降數(shù)據(jù)，計(jì)算過程中的矩陣維數(shù)可能會非常高；③存在數(shù)據(jù)損失風(fēng)險(xiǎn)，由于歷史數(shù)據(jù)數(shù)量龐大，可能存在數(shù)據(jù)丟失、被篡改、誤錄入等現(xiàn)象，對預(yù)測模型的正確更新帶來風(fēng)險(xiǎn)。

針對傳統(tǒng)更新方法所存在的這些問題，本文將序貫平差理論[10-12]應(yīng)用到沉降預(yù)測模型更新的領(lǐng)域，導(dǎo)出詳細(xì)計(jì)算流程和相關(guān)系數(shù)算法，以避免歷史數(shù)據(jù)的存儲，有效提高模型更新效率，并通過工程算例驗(yàn)證新方法的正確性和高效性。

1 模型的傳統(tǒng)更新方法

不同沉降預(yù)測模型的方程有一定的差別，但包括雙曲線法模型，指數(shù)曲線法模型，星野法模型在內(nèi)的絕大多數(shù)模型可以表達(dá)為統(tǒng)一的二維線性形式，其表達(dá)式為

y=a0+a1×f(t)

(1)

式中：a0、a1為模型系數(shù)；t為觀測時(shí)間；y為包含t時(shí)刻沉降信息的因變量，為便于表達(dá)，下文直接用沉降觀測量指代。

在獲取第n+1期新觀測的沉降量yn+1后，使用傳統(tǒng)的更新方法對沉降預(yù)測模型進(jìn)行更新。首先利用全部n+1期沉降數(shù)據(jù)列出n+1維的誤差方程組

V=Aa(n+1)-Y

(2)

利用最小二乘法可得系數(shù)矩陣的估值

(3)

式中：P為觀測值的權(quán)矩陣，其確定方法可參考文獻(xiàn)[16]。

根據(jù)式(3)可得更新后的沉降預(yù)測模型為

(4)

計(jì)算預(yù)測模型的相關(guān)系數(shù)為

(5)

傳統(tǒng)更新方法算法簡單，但是隨著觀測時(shí)期的延長，沉降觀測數(shù)據(jù)的不斷增加，誤差方程組的擴(kuò)充降低了計(jì)算的效率。同時(shí)，歷史觀測數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)抄等過程中可能發(fā)生錯漏，大量存儲的歷史觀測數(shù)據(jù)增加了模型更新發(fā)生錯誤的風(fēng)險(xiǎn)。

2 基于序貫平差的模型高效更新方法

2.1 高效更新方法

序貫平差方法的核心思想是利用前期平差結(jié)果和當(dāng)前觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行逐次平差[10]，在測量的多個(gè)領(lǐng)域已有成功的應(yīng)用[13-15]。為改善傳統(tǒng)更新方法的缺陷，將序貫平差理論引入沉降預(yù)測模型更新過程中，以得到模型高效更新方法。

基于前m(m≥2)期數(shù)據(jù)，利用最小二乘法首次得到沉降預(yù)測模型為

(6)

以及首個(gè)系數(shù)向量估值的權(quán)陣為

W(m)=ATPA

(7)

自m+1期起，即可利用序貫理論進(jìn)行模型更新。下面以第n+1(n≥m)期數(shù)據(jù)為例，導(dǎo)出沉降預(yù)測模型高效更新計(jì)算公式。

(8)

第n+1期新增沉降觀測數(shù)據(jù)為yn+1，相應(yīng)權(quán)為pn+1，可建立觀測誤差方程為

(9)

將式(8)與式(9)聯(lián)立，得誤差方程式為

(10)

根據(jù)最小二乘法，可得當(dāng)前預(yù)測模型系數(shù)的最優(yōu)估值為

(11)

相應(yīng)的權(quán)陣為

(12)

于是，高效更新后的沉降預(yù)測模型為

(13)

在上述方法中，歷史觀測數(shù)據(jù)對模型的影響已全部映射到預(yù)測模型的系數(shù)估值及其權(quán)陣中，利用序貫平差理論更新預(yù)測模型，已間接利用了歷史觀測數(shù)據(jù)。因此，該方法具有不需存儲歷史觀測數(shù)據(jù)，計(jì)算量小，更新出錯概率低等優(yōu)點(diǎn)。

2.2 相關(guān)系數(shù)遞推算法

沉降預(yù)測模型的評價(jià)過程中，相關(guān)系數(shù)是個(gè)比較重要的指標(biāo)[17-18]，式( 5 )所示的傳統(tǒng)相關(guān)系數(shù)計(jì)算過程需要使用全部歷史數(shù)據(jù)，因此需推導(dǎo)與高效更新法相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式。

(14)

(15)

自m+1期起，即可利用遞推公式更新模型的相關(guān)系數(shù)，同樣以第n+1(n≥m)期數(shù)據(jù)為例，導(dǎo)出相關(guān)系數(shù)遞推公式。

(16)

其中，離差平方和k1(n+1)可化為

(17)

(18)

(19)

(20)

式(16)的分子可表示為

(21)

(22)

(23)

所以，綜合式(16)、式(20)～式(23)的結(jié)果，可得相關(guān)系數(shù)γn+1的遞推式為

(24)

相關(guān)系數(shù)的遞推計(jì)算公式與高效更新方法保持了高度的一致，充分利用了遞推前的相關(guān)系數(shù)所包含的歷史數(shù)據(jù)信息，省略大量存儲、計(jì)算內(nèi)容，降低了風(fēng)險(xiǎn)，提高了效率。

3 應(yīng)用流程

以上內(nèi)容介紹了模型高效更新方法的具體原理與詳細(xì)過程，為了更方便地對該方法進(jìn)行利用，現(xiàn)將其應(yīng)用流程總結(jié)為如下三個(gè)主要步驟：

Step3計(jì)算更新后模型的相關(guān)系數(shù)γn+1(式(24))用以模型評價(jià)。

4 工程算例

4.1 工程背景

本文以橋梁沉降模型為例，對沉降預(yù)測模型的高效更新方法進(jìn)行算例驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)選取滬蘇通長江公鐵大橋HTQ-1標(biāo)段工程6#墩的實(shí)測沉降數(shù)據(jù)，從第4期開始構(gòu)建沉降預(yù)測模型；實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ头椒ㄟx用沉降預(yù)測模型中最常見的雙曲線模型，其模型表達(dá)式為

(25)

式中：S0、t0分別為架梁完工時(shí)的沉降量、觀測時(shí)間；α、β為根據(jù)實(shí)測值求出的系數(shù)；St、t分別為任意時(shí)間的沉降量、所對應(yīng)的時(shí)間。

y=a0+a1x

(26)

根據(jù)模型的線性方程可以進(jìn)行更新，更新完成后也可以得到模型的原表達(dá)式結(jié)果。

4.2 方法性能比較

選取全部觀測數(shù)據(jù)，用傳統(tǒng)更新方法隨時(shí)間更新沉降預(yù)測模型，更新結(jié)果見表1。

表1 傳統(tǒng)更新方法的更新結(jié)果

由表1可見，模型包含的數(shù)據(jù)量越多，其相關(guān)系數(shù)越趨近于1，表明其擬合效果越好。但與此同時(shí)，模型更新所需要的數(shù)據(jù)量與矩陣維度也快速增加，工程的計(jì)算量和計(jì)算復(fù)雜程度都會增加。

同樣的數(shù)據(jù)，按高效更新方法進(jìn)行沉降預(yù)測模型的更新，更新結(jié)果見表2。

表2 高效更新方法的更新結(jié)果

由表2可見，高效更新方法與傳統(tǒng)更新方法得到的結(jié)果都完全一致，但在矩陣維度和所用數(shù)據(jù)方面，高效更新方法維度更小，使用數(shù)據(jù)更少。這表明在實(shí)際應(yīng)用中，伴隨著工程進(jìn)展，高效更新方法節(jié)約存儲、減少運(yùn)算的優(yōu)勢也會愈發(fā)凸顯。

5 結(jié)論

本文為解決傳統(tǒng)更新方法存儲量大、模型更新計(jì)算量大、存在數(shù)據(jù)誤用風(fēng)險(xiǎn)等問題，引入序貫平差的理論，對沉降預(yù)測模型的更新方法進(jìn)行優(yōu)化，得到了模型的高效更新方法，導(dǎo)出了相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)遞推公式，并利用實(shí)測數(shù)據(jù)對新方法進(jìn)行了對比驗(yàn)證。理論和算例均表明，本文新方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1)避免了存儲歷史觀測值的麻煩。當(dāng)前預(yù)測模型系數(shù)的先驗(yàn)信息已包含了歷史觀測數(shù)據(jù)對模型影響的全部信息，因此不需存儲歷史觀測數(shù)據(jù)。

(2)提高了算法效率。高效更新方法只利用到了預(yù)測模型系數(shù)的相關(guān)信息，以及當(dāng)前最新沉降觀測值信息，極大降低了計(jì)算過程中的矩陣維度，可顯著提高計(jì)算速度。

(3)提高了模型更新的可靠性。數(shù)據(jù)在存儲、拷貝、錄入過程中可能會存在丟失、被篡改、誤錄入的風(fēng)險(xiǎn)，新方法無需大量存儲、頻繁使用歷史數(shù)據(jù)，可杜絕此類風(fēng)險(xiǎn)，保證模型的正確更新。