吳瑞先，阮仕鑫, 2，吳芳，薛新，陳小超

(1. 福州大學機械工程及自動化學院, 金屬橡膠與振動噪聲研究所，福建 福州 350108； 2. 安徽信息工程學院機械工程學院，安徽 蕪湖 241000)

0 引言

金屬橡膠是一種以金屬螺旋卷為原材料，通過沖壓工藝制備而成的彈性多孔材料，具有承載能力強、 耐高低溫、 耐疲勞、 環(huán)境適應性好等優(yōu)點[1]. 當金屬橡膠受到外載荷激勵時，相互接觸的金屬螺旋卷之間相互滑動，產(chǎn)生滑動摩擦力，以熱能的形式耗散能量，從而表現(xiàn)出阻尼耗能特性. 因此，金屬橡膠通常作為各種減振裝置的阻尼耗能元件，應用于振動控制領(lǐng)域[2-6]. 然而，由于金屬橡膠具有很強的非線性，建立有效的力學模型描述金屬橡膠的力學特性，成為國內(nèi)外學者研究的熱點問題.

部分學者將金屬橡膠的空間結(jié)構(gòu)簡化為某一基本單元的組合，分析基本單元的受力特點建立力學模型，采用這種方法建立的理論模型稱之為細觀力學模型[7-13]. 細觀力學模型雖然可以從本質(zhì)上描述金屬橡膠的力學特性，但其實際上是一種簡化模型，無法精確描述金屬橡膠的空間結(jié)構(gòu)，存在一定的局限性. Zhang等[14]將金屬橡膠分解為非線性彈簧單元、 干摩擦阻尼單元和粘性阻尼單元，提出非線性彈簧-干摩擦阻尼-粘性阻尼單元模型. 由于金屬橡膠的阻尼成分比較復雜，理論建模比較困難，所以鄒廣平等[15]將金屬橡膠的阻尼成分等效為粘性阻尼，將金屬橡膠分解為非線性彈簧單元和粘性阻尼單元，提出非線性彈簧-粘性阻尼單元模型. 此外，部分學者[16-17]基于曲線分解的思想，將動態(tài)恢復力-位移曲線分解為彈性恢復力-位移曲線和阻尼恢復力-位移曲線，使用最小二乘法、 遺傳算法等參數(shù)識別方法進行力學建模.

針對金屬橡膠的有限元仿真問題，開展了不同方向的研究. 崔亮等[18]和鄒龍慶等[19]基于懸臂梁模型建立有限元模型，仿真金屬橡膠的遲滯力學特性. 鄒廣平等[20]將金屬橡膠看成正交各向異性材料，仿真金屬橡膠在隨機激勵下的加速度響應. 黃凱等[21]推導圓環(huán)形金屬橡膠空間結(jié)構(gòu)的數(shù)學方程，建立了金屬橡膠參數(shù)化數(shù)值模型.

本研究基于曲線分解的思想，將動態(tài)恢復力-位移曲線分解為非線性彈性力-位移曲線和橢圓曲線，利用阻尼耗能相等的原理進行參數(shù)識別，建立描述金屬橡膠遲滯力學特性的非線性彈簧-粘性阻尼單元模型. 將金屬橡膠分解為非線性彈簧單元和粘性阻尼單元，仿真金屬橡膠的遲滯力學特性. 研究結(jié)果對金屬橡膠在振動控制領(lǐng)域的力學建模和工程應用具有指導意義.

1 非線性彈簧-粘性阻尼單元模型

1.1 力學建模

動態(tài)恢復力-位移曲線可以分解為速度大于零的上半支曲線和速度小于零的下半支曲線，如圖1所示.

圖1 動態(tài)恢復力-位移曲線

上半支曲線的方程為：

(1)

其中：Fu表示上半支曲線的動態(tài)恢復力；ai表示多項式系數(shù)；n表示多項式的項數(shù)；x(t)表示加載位移.

將式(1)按奇次項和偶次項分開的形式，可示為：

(2)

其中：i為奇數(shù).

同理，下半支曲線的方程為：

(3)

其中：Fd表示下半支曲線的動態(tài)恢復力.

結(jié)合式(2)和(3)，則動態(tài)恢復力-位移曲線的方程為：

(4)

其中：F表示動態(tài)恢復力； sgn為符號函數(shù).

從式(4)可以看出，表達式的第一項實際上是一條關(guān)于原點對稱的奇函數(shù)曲線，第二項是一條關(guān)于橫軸對稱的曲線. 定義式(4)的第一項為非線性彈性力-位移曲線，第二項為粘性阻尼力-位移曲線.

由圖1可知，粘性阻尼力-位移曲線近似為橢圓，所以式(4)可示為：

(5)

其中：a表示橢圓半長軸；b表示橢圓半短軸.

當外載荷為正弦激勵x(t)=Asinωt時，橢圓半長軸a與正弦激勵的振幅A相等，式(5)可示為：

(6)

對正弦激勵x(t)=Asinωt求導，可求得正弦激勵的速度-時間關(guān)系：

(7)

將式(7)代入式(6)，則動態(tài)恢復力-位移曲線的方程為：

(8)

令等效粘性阻尼系數(shù)c=b/Aω，式(8)可示為：

(9)

式(9)的第一項是非線性彈簧的力-位移關(guān)系，第二項是粘性阻尼材料的力-速度關(guān)系，則式(9)本質(zhì)上是將金屬橡膠分解為非線性彈簧單元和粘性阻尼單元. 該模型即為非線性彈簧-粘性阻尼單元模型.

若要得到動態(tài)恢復力-位移曲線的方程，需要對式(9)中的剛度系數(shù)ai和等效粘性阻尼系數(shù)c進行參數(shù)識別.

1.2 剛度系數(shù)的參數(shù)識別

根據(jù)曲線分解的原理，動態(tài)恢復力為非線性彈性力與粘性阻尼力之和，如：

Fu=Ft+Fcu;Fd=Ft+Fcd

(10)

其中:Fcu和Fcd分別表示橢圓曲線上半支和下半支的阻尼力.

由于橢圓曲線關(guān)于橫軸對稱，可得：

Fcu=-Fcd

(11)

將式(11)代入式(10)，然后將式(10)兩式相加，可得：

(12)

式(12)說明非線性彈性力-位移曲線為動態(tài)恢復力-位移曲線上半支和下半支的中線，利用式(9)的第一項對中線進行擬合，即可識別出剛度系數(shù)ai.

1.3 等效粘性阻尼系數(shù)的參數(shù)識別

非線性彈性力-位移曲線是一條單值曲線，說明非線性彈性力只影響金屬橡膠的動態(tài)剛度特性，不影響金屬橡膠的動態(tài)阻尼耗能，所以粘性阻尼力-位移曲線圍成的橢圓面積代表了金屬橡膠的動態(tài)阻尼耗能. 然而，動態(tài)恢復力-位移曲線的面積也代表了金屬橡膠的動態(tài)阻尼耗能，根據(jù)動態(tài)阻尼耗能相等原理，該曲線面積必須相等. 基于上述分析，可得以下關(guān)系：

ΔWd=πab=πAb； ΔWd=∮Fdx

(13)

其中： ΔWd表示金屬橡膠的動態(tài)阻尼耗能；A表示正弦激勵的幅值.

將c=b/ωA代入式(13)，可求得等效粘性阻尼系數(shù)c：

(14)

2 試樣制備與試驗方法

2.1 金屬橡膠的制備

本研究所制備的圓環(huán)形金屬橡膠內(nèi)徑為12 mm，外徑為22 mm，長度為10 mm，分別制備密度為3.0和3.5 g·cm-3兩種金屬橡膠，成型壓力分別為63和100 kN. 制備工藝流程圖如圖2所示.

圖2 金屬橡膠的制備工藝流程圖

選用0.15 mm的304奧氏體不銹鋼絲制備圓環(huán)形金屬橡膠，制備主要分為如下3個步驟：

1) 將不銹鋼絲繞制成類似彈簧形狀的螺旋卷.

2) 將螺旋卷拉伸至合適的螺距，以交叉纏繞的方式制備纏繞毛坯.

3) 設(shè)計沖壓模具，將纏繞好的毛坯裝入沖壓模具內(nèi)進行沖壓成型.

2.2 測試系統(tǒng)

測試系統(tǒng)采用長春機械科學研究院研制的SDS-200型高低溫動靜萬能試驗機，如圖3所示. 測試系統(tǒng)的工作原理如圖4所示.

圖3 動態(tài)測試系統(tǒng)

圖4 動態(tài)測試系統(tǒng)原理圖

本次試驗采用正弦位移載荷加載，對密度為3.0 g·cm-3的金屬橡膠采用固定頻率為2 Hz, 加載位移振幅為1.0 mm； 對密度為3.5 g·cm-3的金屬橡膠采用固有頻率為1 Hz，加載位移振幅為0.6 mm.

3 實驗驗證

分別取動態(tài)恢復力-位移曲線上半支曲線和下半支曲線的平均值，得到非線性彈性力-位移曲線. 采用只含奇次項的5次多項式擬合非線性彈性力-位移曲線，識別出剛度系數(shù)ai，再根據(jù)式(14)識別出等效粘性阻尼系數(shù)c. 參數(shù)識別結(jié)果如表1所示.

表1 參數(shù)識別結(jié)果

動態(tài)恢復力-位移曲線如圖5所示. 從圖5可以看出，理論曲線和實驗曲線的變化趨勢較為一致，偏差也較小，所以非線性彈簧-粘性阻尼單元模型可以較好地描述金屬橡膠的遲滯力學特性.

圖5 動態(tài)恢復力-位移理論曲線

4 遲滯特性的有限元仿真

為研究金屬橡膠的動態(tài)恢復力-位移曲線的仿真曲線，需要建立其有限元模型，設(shè)置單元類型、 材料屬性，定義邊界條件. 金屬橡膠可以分解為非線性彈簧單元和粘性阻尼單元，非線性彈性屬性可以模擬非線性彈簧單元的力學特性，粘性阻尼屬性可以模擬粘性阻尼單元的力學特性. 通過理論模型定義單元的非線性彈性屬性和粘性阻尼屬性，再對模型進行仿真，即可得到動態(tài)恢復力-位移的仿真曲線.

4.1 有限元建模

從圖3可以看出，運動端在關(guān)于零點位移對稱的位置，金屬橡膠對運動端的壓力大小相等，方向相反. 因此，可以將金屬橡膠等效為一個可以承受拉壓載荷的連接器單元. 當運動端向上運動時，連接器單元對其產(chǎn)生向下的拉力； 當運動端向下運動時，連接器單元對其產(chǎn)生向上的壓力.

基于上述分析，可以建立有限元模型，如圖6所示.

圖6 金屬橡膠等效模型

4.2 模型參數(shù)設(shè)置

Abaqus中的連接器單元可同時定義非線性彈性屬性和粘性阻尼屬性，所以可將金屬橡膠等效為連接器單元，連接器單元的非線性彈性屬性由式(9)的第一項決定，粘性阻尼屬性由式(9)的第二項決定，根據(jù)表3的參數(shù)識別結(jié)果定義連接器單元的非線性彈性屬性和粘性阻尼屬性.

4.3 仿真結(jié)果及結(jié)論

按上述步驟設(shè)置模型并提交分析，仿真結(jié)果如圖7所示. 通過對比圖5和圖7可以發(fā)現(xiàn)，動態(tài)恢復力位移曲線的仿真曲線與理論曲線變化規(guī)律基本一致，這是由于仿真值并不是通過擬合實驗值的方式得到的，而是直接通過理論模型定義連接器單元的非線性彈性屬性和粘性阻尼屬性得到的，所以仿真值和理論值之間基本不存在擬合誤差. 從圖7可以看出，仿真曲線和實驗曲線的變化趨勢較為一致. 所以將金屬橡膠等效為連接器單元，通過非線性彈簧-粘性阻尼單元模型定義連接器單元的非線性彈性屬性和粘性阻尼屬性，仿真金屬橡膠的遲滯力學特性，具有較好的仿真精度.

圖7 動態(tài)恢復力-位移仿真曲線

5 結(jié)語

將金屬橡膠分解為非線性彈簧單元和粘性阻尼單元的力學模型，提出描述金屬橡膠動態(tài)力學性能的非線性彈簧-粘性阻尼單元模型和有限元仿真方法，得出如下3個主要結(jié)論：

1) 基于曲線分解思想的參數(shù)識別方法是有效的. 理論曲線和實驗曲線的對比分析結(jié)果表明，該方法建立的金屬橡膠粘彈性阻尼遲滯力學模型具有較高的精度.

2) 將金屬橡膠的阻尼成分等效為粘性阻尼，可以將與位移成非線性關(guān)系的阻尼力簡化為與速度呈線性關(guān)系的粘性阻尼，為含有金屬橡膠的非線性系統(tǒng)的理論建模提供新的研究方法.

3) 將金屬橡膠等效為連接器單元，通過非線性彈簧-粘性阻尼單元模型定義連接器單元的非線性彈性屬性和粘性阻尼屬性，是仿真金屬橡膠遲滯力學特性的有效方法，具有較高的仿真精度.