劉金剛

(甘肅省禮縣第二中學(xué) 742201)

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的主線之一，也是高考考查的主干內(nèi)容之一．近年高考對立體幾何的考查，在直觀想象與創(chuàng)新意識等方面的要求較高，而平面圖形翻折成立體幾何的問題，就是其中一種比較吻合的考點．對于這類平面圖形的翻折問題，我們要化“動”為“靜”，“動”中取“靜”,“動”“靜”結(jié)合，找到點、直線、平面等相關(guān)要素之間變與不變的量，以及翻折過程中關(guān)鍵點的變化軌跡，合理切入，巧妙應(yīng)用．

1 問題呈現(xiàn)

此題以一個直角三角形所對應(yīng)的平面圖形為問題背景，結(jié)合線段上的動點與頂點所對應(yīng)的直線進行翻折變化，構(gòu)建相應(yīng)的立體幾何圖形，利用另一線段中的存在點滿足線面垂直關(guān)系來合理創(chuàng)設(shè)，進而確定線段長度的變化情況，結(jié)合不等式恒成立引入?yún)?shù)，巧妙確定參數(shù)的最值問題，內(nèi)涵豐富，知識交匯，形成一個“動”“靜”結(jié)合、“定值”“最值”鏈接的創(chuàng)新情境問題．

2 問題破解

解法1 (運動直觀法)由運動相對性，不妨固定△ABM，將△BCM繞BM翻折，作點C關(guān)于BM的對稱點C1，連接CC1，交BM點E，則點C在翻折時的軌跡為以E為圓心，CE為半徑的圓.

由題意CN⊥平面ABM，可知點C在底面ABM的投影點N在CC1上.

又點N在線段AB上，所以點N為線段CC1與AB的交點，當(dāng)且僅當(dāng)∠CBC1≥∠CBA時滿足題意.

如圖1所示，當(dāng)點M從點C移動到點A的變化過程中，BN的長度由大變小，所以當(dāng)點M與點A重合時，此時NBmin=1(因不含端點，故最小值1取不到).要使得NB>λ恒成立，則實數(shù)λ的最大值為1.

圖1

解后反思根據(jù)平面圖形翻折的變化規(guī)律，抓住“折痕”以及與“折痕”垂直的直線，借助輔助線的構(gòu)建以及圖形的對稱性，可以巧妙直觀地確定相應(yīng)翻折點的軌跡，以及直線與平面垂直條件下的投影情況．

設(shè)∠C′BN=φ，因為CN⊥平面ABM，所以∠C′BN為C′B與平面ABM所成的線面角.

則有NB=C′Bcosφ.

由三余弦定理，可得

解后反思根據(jù)平面圖形的翻折變化，從角的視角入手，將線段長度轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，利用三余弦定理是點睛之筆與溝通橋梁，巧妙地將幾個對應(yīng)的三角函數(shù)值聯(lián)系在一起，從而實現(xiàn)變形與轉(zhuǎn)化．

又CN2=CB2-NB2=4-NB2，

解后反思根據(jù)平面圖形的翻折過程，在不同平面內(nèi)，引入線段長度的參數(shù)，利用解三角形思維，借助勾股定理與余弦定理的應(yīng)用，巧妙表示對應(yīng)線段長度的函數(shù)表達式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來確定對應(yīng)的最值問題．

解法4 (四點向量定理法)如圖1所示，由CN⊥平面ABM，可得CN⊥BM.

設(shè)CM=x，結(jié)合四點向量定理，可得

解后反思根據(jù)平面圖形翻折前后的變化規(guī)律確定平面上的四點，引入線段長度的參數(shù)，利用四點向量定理合理構(gòu)建對應(yīng)的平面向量關(guān)系式，通過垂直關(guān)系的確定，結(jié)合向量的模的轉(zhuǎn)化來構(gòu)建對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來確定對應(yīng)的最值問題．

借助極端思維，易知要滿足CN⊥平面ABM，有兩個極限狀態(tài):第一是BM為∠ABC的角平分線時，此時要滿足條件，趨近于BC與BA重合，可得NB→2；第二是點M與點A重合(或點C重合)時，此時NB→1；綜上分析可知NB∈(1，2)，要使得NB>λ恒成立，則實數(shù)λ的最大值為1.

解后反思根據(jù)平面圖形翻折過程中的動態(tài)變化規(guī)律，借助極端思維，從兩個極端狀態(tài)來特殊化分析，進而以“靜”促“動”，化“動”為“靜”，利用極端狀態(tài)下對應(yīng)的線段長度來確定線段長度的取值情況，得以確定參數(shù)的最值問題．

3 變式拓展

平面圖形翻折過程中，涉及點、直線、平面等相關(guān)要素之間變與不變的量，可以從參數(shù)值情況、位置關(guān)系判斷、角度大小等多個不同視角加以變式與拓展．

A．存在某個位置，使得直線BD與直線AC垂直

B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直

C．存在某個位置，使得直線BC與直線AD垂直

D．對任意位置，三對直線“AC與BD”“CD與AB”“AD與BC”均不垂直

答案B．

4 教學(xué)啟示

4.1 抓住變化實質(zhì)，挖掘運動軌跡

對于平面圖形翻折成立體幾何的問題，要分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側(cè)的點、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的則會發(fā)生變化．

而在變化過程中，需要抓住關(guān)鍵點的軌跡，所謂關(guān)鍵點是指翻折過程中變化的點，因為這些點的位置變化會帶動其他點、直線和平面的位置、數(shù)量關(guān)系的變化．只有分析清楚關(guān)鍵點的準(zhǔn)確位置，才能確定其他點、線、面的關(guān)系，進而進行有關(guān)的推理、證明與計算等.

4.2 總結(jié)解題規(guī)律，全面提升能力

破解平面圖形翻折成立體幾何的問題，其關(guān)鍵是找準(zhǔn)“動”與“靜”的相對關(guān)系，瞄準(zhǔn)“變”與“不變”的確定關(guān)系，架起“平面”與“立體”的聯(lián)系橋梁，結(jié)合相關(guān)的知識加以推理與分析．在此過程中，借助空間的轉(zhuǎn)化，思維的跳躍，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．