許志盛

(江蘇省江陰市第一中學 214400)

立體幾何的考查與應用是歷年高考數學試卷中比較常見的基本知識點之一，解決問題的關鍵是緊扣題目條件中立體幾何的核心信息，通過對應的立體幾何基礎知識，利用立體幾何中的空間點、直線、平面等之間相關的位置關系，以及邊、角等相關信息，合理強化邏輯推理，正確數學運算，實現立體幾何問題的合理推理與應用．

1 問題呈現

問題(多選題)三棱錐V-ABC中，△ABC是等邊三角形，頂點V在底面ABC的投影是底面的中心，側面VAB⊥側面VAC，則( ).

2 試題分析

本題是一道立體幾何的多選題，根據題意條件以及創(chuàng)新情境，考生可以直接猜想該立體幾何題為一特殊模型——“墻角”，即VA,VB,VC兩兩垂直，后面4個選項的相應運算和推理判斷便不太困難了．另一方面，如果我們需要準確判斷這是一個“墻角”問題，或者把這個問題改編為一道解答題， 我們該如何證明?

由題目的條件，三棱錐V-ABC中，△ABC是等邊三角形，頂點V在底面ABC的投影是底面的中心，可以比較容易證得這是一個正三棱錐，最后側面VAB⊥側面VAC便成為了關鍵的一個條件，即使我們事先還沒意識到這是一個“墻角”問題，但如何運用面面垂直的條件，去進一步挖掘幾何體的關系，正是命題人希望考查考生的關鍵環(huán)節(jié)!另外還要用到正三棱錐的重要性質：底面正三角形的各邊分別與相對的側棱垂直．

3 問題破解

圖1

4 追根溯源

以上問題作為多項選擇題，如果考生能借助立體幾何中的特殊模型——立體幾何中的“墻角”意識，可直接利用“墻角”的基本性質與直觀圖形加以計算并判斷選項．如果考生沒有上述意識，我們從破解核心條件的角度來看，回歸教材，追根溯源，同時也是對上述“墻角”的證明．

題1 (人教版普通高中教科書《數學》(必修第二冊)第164頁第17題)求證：三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直．(“墻角”模型)

題2(人教版普通高中教科書《數學》(必修第二冊)第160頁例10)已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB．

5 鏈接高考

在歷年的高考數學試卷的真題中，也經常有立體幾何中的“墻角”模型及其綜合應用，或出現在選擇題、填空題這類小題中，或出現在解答題這類大題中，以問題背景的形式或合理轉化來體現．

高考真題(2019年高考數學全國Ⅰ卷理科·12)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為( ).

6 變式拓展

結合創(chuàng)新情境的立體幾何背景與數學文化的綜合應用，從不同思維視角、不同問題背景來巧妙創(chuàng)設，拓展思維，并結合多選題的特征，從多個層面加以發(fā)散思維，得到相應的變式拓展問題．

變式1(2021屆湖南模擬)(多選題)截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經過適當的截角，即截去四面體的四個頂點所產生的多面體．如圖2所示，將棱長為3a的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為a的截角四面體，則下列說法正確的是( ).

圖2 圖3

二面角A-BC-D的余弦值應該為負值，故選項D錯誤．

故選ABC．

變式2(多選題)將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，點P為線段AD上的一動點，下列結論正確的是( ).

A．異面直線AC與BD所成的角為60°

B．△ACD是等邊三角形

D．四面體ABCD的外接球的表面積為8π

解析對于選項A，因為BD⊥OA，BD⊥OC，OA∩OC=O，所以BD⊥平面AOC，AC?平面AOC.

所以BD⊥AC，異面直線AC與BD所成的角為90°，不是60°，所以選項A錯；

在平時的訓練中，我們要及時發(fā)現學生在答題中存在問題的“癥結”原因，對癥下藥，合理選題，展開針對性的訓練．熟悉掌握一些基本的立體幾何特殊模型，如“墻角”模型，組合體模型，在解決選擇題或填空題時可以根據題目條件與立體幾何模型的關系加以直接應用，在應對解答題時也可以利用條件合理引導，指導推理論證的目標．