劉志浩， 馬超群， 劉釔汛， 高欽和， 張博宇， 孟 艷

(1. 火箭軍工程大學(xué) 兵器科學(xué)與技術(shù)軍隊(duì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 710025; 2. 北京航天發(fā)射技術(shù)研究所， 北京 100076)

重載輪胎作為軍用車輛與地面直接接觸的部件，將絕大多數(shù)作用力傳遞至整車，同時(shí)還緩解由于路面不平度引起的沖擊與振動(dòng)，因此輪胎的特性影響整車的動(dòng)力性[1]、平順性[2]、制動(dòng)性[3]和操縱穩(wěn)定性[4]等性能指標(biāo)。由于輪胎具有極其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，具有材料非線性和幾何非線性，因此，如何準(zhǔn)確描述胎體、胎側(cè)柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)引起的路面-輪輞振動(dòng)傳遞特性一直是輪胎動(dòng)力學(xué)研究中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。基于結(jié)構(gòu)柔性的輪胎動(dòng)力學(xué)模型[5]，是輪胎結(jié)構(gòu)模型的典型代表，柔性胎體輪胎模型[6]將輪胎簡化成彈性基礎(chǔ)上的柔性胎體，彈性基礎(chǔ)模擬胎側(cè)-胎體間作用力和充氣預(yù)緊效應(yīng)。國內(nèi)外學(xué)者研究了不同的胎體柔性化建模方法，提出了從一維到三維的柔性胎體模型，包括基于彈性基礎(chǔ)的弦模型、梁模型、平板模型、環(huán)模型、殼模型和分布質(zhì)量模型等；其中，弦模型和梁模型屬于一維模型，平板模型和環(huán)模型屬于二維模型，考慮橫向變形的環(huán)模型、殼模型為三維模型。

胎側(cè)作為胎體和輪輞的連接和傳力部件，其力學(xué)特征和振動(dòng)特性影響胎體與輪輞間的傳遞特性。國內(nèi)外學(xué)者也提出了一維到三維胎側(cè)剛度模型。Zhou等[7]建立了胎側(cè)一維徑向剛度的力學(xué)特性模型；Liu等[8]建立了考慮胎側(cè)慣性質(zhì)量和分段剛度的一維徑向胎側(cè)剛度模型，用以研究柔性胎體與連續(xù)胎側(cè)曲梁的耦合振動(dòng)問題。Pacejia[9]首次引入具有徑向和切向剛度的彈簧來表征胎側(cè)二維剛度特性；Gong等[10]基于二維彈性基礎(chǔ)的環(huán)模型，研究了不同胎側(cè)剛度和充氣壓力對(duì)輪胎振動(dòng)特性的影響規(guī)律；Liu等[11]建立了考慮圓弧結(jié)構(gòu)彎曲剛度的胎側(cè)剛度模型，研究了胎體環(huán)與連續(xù)胎側(cè)環(huán)的耦合振動(dòng)特性。Noga等[12]將胎側(cè)剛度由二維拓展至三維，在徑向和切向彈簧的基礎(chǔ)上，考慮了輪胎面外橫向剛度，建立了考慮三維胎側(cè)剛度特性的圓環(huán)振動(dòng)模型。

課題組前期以基于彈性基礎(chǔ)的歐拉梁模型[13]為基礎(chǔ)，建立了柔性胎體與胎側(cè)耦合振動(dòng)模型，分析了胎側(cè)的分段剛度特性，但缺乏對(duì)胎側(cè)剛度解析描述，而胎側(cè)作為連接柔性胎體和輪輞的關(guān)鍵部件，其剛度特性對(duì)輪胎的振動(dòng)特性影響較大，對(duì)胎側(cè)剛度特性的解析描述變得尤為關(guān)鍵?？蓪⑻?cè)等效為圓弧結(jié)構(gòu)，因此胎側(cè)的徑向剛度主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：① 充氣預(yù)緊力作用下的弦剛度，在充氣壓力作用下，在胎側(cè)和胎體的連接點(diǎn)處，存在由于充氣預(yù)緊力產(chǎn)生的拉伸力；② 胎側(cè)結(jié)構(gòu)變形引起的結(jié)構(gòu)剛度，在變形過程中，圓弧單元產(chǎn)生拉伸、剪切和彎曲變形，造成由于胎側(cè)結(jié)構(gòu)變形產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)剛度。

為完善大扁平比重載輪胎的胎側(cè)曲梁分段剛度解析關(guān)系，考慮弦預(yù)緊效應(yīng)和結(jié)構(gòu)彎曲特性，推導(dǎo)大扁平比重載輪胎的胎側(cè)解析剛度模型，探究胎側(cè)曲梁幾何和結(jié)構(gòu)參數(shù)的對(duì)胎側(cè)分段剛度的影響規(guī)律；建立重載輪胎胎體-胎側(cè)耦合動(dòng)力學(xué)模型，分析胎側(cè)幾何和結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)輪胎振動(dòng)特性的影響規(guī)律。

1 基于虛功原理的曲梁徑向剛度建?；A(chǔ)

假定：曲梁為半徑為Rs的圓弧，夾角為2θ，弧長ls，胎體與輪輞間距離為L0，圓弧圓心分別為O1和O2，如圖1所示，存在幾何關(guān)系

圖1 典型圓弧幾何關(guān)系示意圖

(1)

1.1 考慮充氣預(yù)緊力的曲梁弦剛度

對(duì)單側(cè)曲梁進(jìn)行受力分析，為簡化分析，定義其圓心為O，如圖2所示，建立基于充氣預(yù)緊壓力的曲梁弦剛度解析模型。

圖2 充氣預(yù)緊力作用下的弦效應(yīng)示意圖

則，由于弦預(yù)緊力T=P0Rs(充氣壓力引起的弦預(yù)緊力)所引起的沿Y方向的力為

Fs=Tcosθ

(2)

則

Fs=P0Rscosθ

(3)

基于曲梁幾何關(guān)系，F(xiàn)s轉(zhuǎn)化為

(4)

曲梁沿Y軸長度為

(5)

(6)

則基于充氣預(yù)緊力作用的曲梁弦剛度可計(jì)算為

(7)

1.2 考慮變形特征的曲梁結(jié)構(gòu)剛度

胎側(cè)曲梁除充氣預(yù)緊力的弦效應(yīng)外，其在外力作用下，會(huì)產(chǎn)生拉伸力、剪切力和彎曲力矩，因此需將曲梁結(jié)構(gòu)變形考慮在內(nèi)，如圖3所示。同時(shí)在力和力矩的作用下產(chǎn)生響應(yīng)的結(jié)構(gòu)變形，基于虛功原理，探究曲梁單元在外力作用下產(chǎn)生的彎曲位移ub、拉伸位移ust和剪切位移ush。

圖3 基于外力作用下的胎側(cè)結(jié)構(gòu)變形

在外拉伸力F作用下，胎體任意點(diǎn)處(與X軸夾角為ψ)產(chǎn)生的彎曲力矩Mb，軸向拉伸力Fst和剪切作用力Fsh分別表示為

(8)

則胎側(cè)彎曲、拉伸和剪切能Cb，Cst和Csh分別表示為

(9)

基于最小應(yīng)變能假設(shè)，則彎曲力矩Mb作用下產(chǎn)生的變形ub，拉伸作用力Fst作用下產(chǎn)生的變形ust和剪切作用力Fsh作用下產(chǎn)生的變形ush可分別表示為

(10)

將式(8)和式(9)代入式(10)，則外拉伸力作用下產(chǎn)生的胎側(cè)結(jié)構(gòu)變形ub,ust和ush可計(jì)算為

(11)

則胎側(cè)拉伸剛度kst、彎曲剛度kb和剪切剛度ksh可推導(dǎo)為

(12)

(13)

1.3 基于弦剛度和結(jié)構(gòu)剛度的曲梁解析剛度

曲梁單元解析剛度由結(jié)構(gòu)剛度Ks和弦剛度Kr組成，可表示為

kr=Kr+Ks

(14)

則胎側(cè)解析剛度kr可表示為

(15)

2 重載輪胎胎體-胎側(cè)耦合動(dòng)力學(xué)建模

等效連續(xù)胎側(cè)梁模擬胎側(cè)單元間的彎曲剛度，胎體微段與胎側(cè)微段通過胎側(cè)上曲梁單元連接，胎側(cè)微段與輪輞通過胎側(cè)下曲梁單元連接，則對(duì)重載輪胎的面內(nèi)振動(dòng)特性的研究轉(zhuǎn)化為基于彈性連續(xù)梁基礎(chǔ)的柔性梁模型的動(dòng)力學(xué)分析，如圖4所示。

圖4 重載輪胎等效連續(xù)胎側(cè)梁等效示意圖

2.1 基于彈性連續(xù)梁基礎(chǔ)的柔性梁模型動(dòng)力學(xué)建模

對(duì)胎體、胎側(cè)微段進(jìn)行受力分析，如圖5所示，ur和usr分別為距原點(diǎn)θ處胎體梁和胎側(cè)梁微段截面在時(shí)間t時(shí)刻的橫向位移。

圖5 重載輪胎胎體梁與胎側(cè)梁微段受力分析圖

(16)

利用泰勒展開對(duì)Fs_t和Fs_r進(jìn)行分析，保留兩項(xiàng)，則胎體-胎側(cè)、胎側(cè)-輪輞間的作用力轉(zhuǎn)化為

(17)

(18)

將式(17)和式(18)代入式(16)，則輪輞固定支撐約束條件下的，重載輪胎柔性胎體與連續(xù)胎側(cè)梁耦合動(dòng)力學(xué)方程為

(19)

2.2 柔性胎體-連續(xù)胎側(cè)梁耦合動(dòng)力學(xué)求解

利用模態(tài)疊加法將胎體-胎側(cè)耦合動(dòng)力學(xué)偏微分方程組轉(zhuǎn)化為空間和時(shí)間的常微分方程進(jìn)行求解，令胎體和胎側(cè)的變形ur，usr符合諧波規(guī)律，為

(20)

整理，得

(21)

則，式(21)的根為

(22)

其中

重載輪胎柔性胎體-連續(xù)胎側(cè)梁耦合共振頻率[14]為

(23)

3 大扁平比胎側(cè)曲梁解析剛度建模

參照第1章中對(duì)大扁平比重載輪胎胎側(cè)解析剛度的分析方法，探究圖6中所示的胎側(cè)上、下曲梁單元的解析剛度特性，主要包括：① 由于胎側(cè)曲率引起的曲梁拉伸、彎曲和剪切變形；② 充氣預(yù)緊力效應(yīng)的胎側(cè)膜效應(yīng)，通過建立胎側(cè)曲梁解析剛度式，研究胎側(cè)曲梁幾何、結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)胎側(cè)剛度的影響規(guī)律。

針對(duì)大扁平比重載輪胎胎側(cè)的分段剛度特性，將胎側(cè)曲梁等效為上、下胎側(cè)曲梁，以胎側(cè)曲梁輪廓的最外點(diǎn)A為分段點(diǎn)，如圖6所示。

分別對(duì)胎側(cè)上、下曲梁的曲梁結(jié)構(gòu)剛度和曲梁預(yù)緊力剛度進(jìn)行分析，而胎側(cè)上、下曲梁的總剛度則分別是各自曲梁結(jié)構(gòu)剛度和曲梁預(yù)緊力剛度的和。假設(shè)：

(1) 胎側(cè)徑向曲梁連接輪輞和柔性胎體，點(diǎn)A將胎側(cè)曲梁分為上、下胎側(cè)曲梁。

(2) 假定胎側(cè)為固定曲率圓弧，曲率為1/Rs；O1，O2分別為圖中左、右胎側(cè)曲梁的圓弧中心。

(3) 上下胎側(cè)曲梁的弧度夾角不同，分別為θc(OB與OA的夾角) 和θw(OC與OA的夾角)，通過對(duì)圖6(b)中結(jié)構(gòu)實(shí)測，獲得θc=42.5°，θw=60.1°。

(a) 橫截面結(jié)構(gòu)示意圖

L01=Rssinθc，L01為胎體與胎側(cè)點(diǎn)A的Y向垂直距離；L02=Rssinθw，L02為輪輞與胎側(cè)點(diǎn)A的Y向垂直距離；L0=L01+L02，其中L0為輪輞與胎體的Y向垂直距離。

3.1 考慮弦預(yù)緊效應(yīng)和結(jié)構(gòu)變形效應(yīng)的胎側(cè)解析剛度建模

上、下胎側(cè)曲梁由于充氣壓力弦預(yù)緊力引起的徑向力Fsc，F(xiàn)sw，如圖7所示。其中，T為充氣壓力產(chǎn)生的胎側(cè)弦預(yù)緊力，T=P0Rs。

圖7 重載輪胎上/下胎側(cè)曲梁弦預(yù)緊力

根據(jù)胎側(cè)幾何結(jié)構(gòu)關(guān)系，通過計(jì)算胎側(cè)弦充氣壓力預(yù)緊力T產(chǎn)生的Y方向的垂向力Fsc和Fsw，則上、下胎側(cè)曲梁的基于充氣預(yù)緊力的弦剛度Kcp和Kwp分別表示為

(24)

式(24)為充氣壓力作用下的胎側(cè)弦剛度，此外，外力作用下由于結(jié)構(gòu)剛度引起的胎側(cè)變形需考慮在內(nèi)，包括周向拉伸，彎曲和剪切變形，如圖8所示。以點(diǎn)A為參考點(diǎn)，分別對(duì)上、下胎側(cè)曲梁的胎側(cè)彎曲剛度進(jìn)行推導(dǎo)，定義：上胎側(cè)曲梁與胎體的連接點(diǎn)為B點(diǎn)，下胎側(cè)曲梁與輪輞的連接點(diǎn)為C點(diǎn)。

圖8中所示的在點(diǎn)B作用有拉伸力Fsw，同時(shí)點(diǎn)C同樣作用有拉伸力Fsw。將胎側(cè)曲梁的彎曲、拉伸和剪切變形考慮在內(nèi)，分別對(duì)上、下胎側(cè)曲梁基于虛功原理，推導(dǎo)上、下胎側(cè)曲梁的結(jié)構(gòu)剛度解析式。

圖8 重載輪胎上/下胎側(cè)曲梁的結(jié)構(gòu)變形示意圖

3.1.1 胎體彎曲剛度

基于最小應(yīng)變能假設(shè)，則在外力Fsc和Fsw拉伸作用下產(chǎn)生的上、下胎側(cè)曲梁的彎矩Mscb和Mswb所引起的點(diǎn)B，C的變形uscb和uswb可表示為

(25)

推導(dǎo)出

(26)

3.1.2 胎側(cè)彎曲剛度

基于最小應(yīng)變能假設(shè)，則在外力Fsc和Fsw拉伸作用下產(chǎn)生的上、下胎側(cè)曲梁的端點(diǎn)B和C的變形usct和uswt計(jì)算為

(27)

整理得

(28)

3.1.3 胎側(cè)剪切剛度

基于最小應(yīng)變能假設(shè)，則在外力Fsc和Fsw拉伸作用下產(chǎn)生的上、下胎側(cè)曲梁的剪切力引起的胎體-胎側(cè)和胎側(cè)-輪輞端點(diǎn)B和C的變形usch和uswh計(jì)算為

(29)

整理得

(30)

在外力Fsc和Fsw拉伸作用下產(chǎn)生的上、下胎側(cè)曲梁的胎體-胎側(cè)和胎側(cè)-輪輞端點(diǎn)B和C的結(jié)構(gòu)變形可分別表示為

(31)

(32)

則，上/下胎側(cè)曲梁的拉伸剛度ksct/kswt、彎曲剛度kscb/kswb和剪切剛度ksch/kswh為

(33)

(34)

則上/下胎側(cè)曲梁的結(jié)構(gòu)剛度Kcs和Kws表示為

(35)

3.2 胎側(cè)解析剛度分析及參數(shù)辨識(shí)

將上、下胎側(cè)曲梁的弦預(yù)緊效應(yīng)和結(jié)構(gòu)變形剛度考慮在內(nèi)，則，上、下胎側(cè)曲梁的解析剛度為

(36)

將式(24)和式(35)代入方程式(36)，上/下胎側(cè)曲梁的解析剛度分別為

(37)

式(37)表明：

(3) 上、下胎側(cè)曲梁的結(jié)構(gòu)剛度與充氣壓力P0無關(guān)，與胎側(cè)的結(jié)構(gòu)參數(shù)包括拉伸剛度EysAys、剪切剛度GysAys和彎曲剛度EysIys。

(38)

式(38)中存在兩個(gè)未知量Eys和Gys，利用Liu等研究中辨識(shí)獲得的上、下胎側(cè)曲梁的解析剛度kr1=6.97×106和kr2=3.33×106，采用待定系數(shù)法，求解胎側(cè)曲梁的彈性模量Eys和剪切模量Gys，結(jié)果為Es=1.90×107和Gys=7.58×106，基于計(jì)算的胎側(cè)結(jié)構(gòu)參數(shù)，對(duì)上、下胎側(cè)曲梁的各剛度組分進(jìn)行分析，如表1所示。

結(jié)果表明：① 式(38)和表1表明，上、下胎側(cè)曲梁不同的弧度角是導(dǎo)致上、下胎側(cè)曲梁剛度不同的原因，同時(shí)上胎側(cè)曲梁的結(jié)構(gòu)剛度百分比小于下胎側(cè)曲梁的結(jié)構(gòu)剛度百分比；② 上、下胎側(cè)曲梁的各項(xiàng)剛度組分中，彎曲剛度遠(yuǎn)小于拉伸和剪切剛度，因此，可忽略胎側(cè)彎曲剛度對(duì)胎側(cè)解析剛度的影響；③ 上、下胎側(cè)曲梁解析剛度均與胎側(cè)結(jié)構(gòu)參數(shù)和各自的幾何參數(shù)相關(guān)，可基于式(38)開展重載輪胎胎側(cè)曲梁的解析剛度參數(shù)影響分析；④ 考慮胎側(cè)結(jié)構(gòu)阻尼的影響，則上、下胎側(cè)曲梁的阻尼系數(shù)為

表1 重載輪胎上/下胎側(cè)曲梁的弦剛度和結(jié)構(gòu)剛度分析

(39)

4 大扁平比胎側(cè)解析剛度參數(shù)分析

分別對(duì)胎側(cè)上、下曲梁的結(jié)構(gòu)和幾何參數(shù)對(duì)胎側(cè)曲梁剛度的影響規(guī)律和輪胎振動(dòng)模態(tài)特征開展研究，包括：胎側(cè)徑向彈性模量Eys、剪切模量Gys、截面厚度、曲梁圓弧長和曲梁弧度角，結(jié)果如圖9～圖13所示。結(jié)果表明：① 胎側(cè)徑向方向彈性模量主要影響胎側(cè)拉伸剛度項(xiàng)，見圖9(a)、圖9(b)，彈性模量增大，胎側(cè)剛度增大，成近似線性比例增長；② 胎側(cè)徑向方向剪切模量主要影響胎側(cè)剪切剛度項(xiàng)，見圖10(a)、圖10(b)，剪切模量增大，胎側(cè)剛度增大，成近似線性比例增長；③ 胎側(cè)截面厚度主要影響胎側(cè)結(jié)構(gòu)剛度項(xiàng)，見圖11(a)、圖11(b)，截面厚度越大，胎側(cè)剛度增大，成近似線性比例增長；④ 胎側(cè)曲梁弧長主要影響胎側(cè)結(jié)構(gòu)剛度項(xiàng)，見圖12(a)、圖12(b)，截面弧長越小，胎側(cè)剛度增大，成非線性反比例關(guān)系；⑤ 圖13為假定上、下胎側(cè)弧度角總和不變的條件下，上胎側(cè)曲梁弧度角變化時(shí)的胎側(cè)剛度變化圖，結(jié)果表明，弧度角對(duì)胎側(cè)的弦剛度和結(jié)構(gòu)剛度均有影響，弧度角減小，胎側(cè)弦剛度和結(jié)構(gòu)剛度均增大，成非線性反比例關(guān)系。

(a) 上胎側(cè)曲梁剛度分析

(a) 上胎側(cè)曲梁剛度分析

(a) 上胎側(cè)曲梁剛度分析

(a) 上胎側(cè)曲梁剛度分析

(a) 上胎側(cè)曲梁剛度分析

5 胎側(cè)曲梁參數(shù)對(duì)振動(dòng)特性影響分析

分別對(duì)胎側(cè)上、下曲梁的結(jié)構(gòu)和幾何參數(shù)對(duì)胎側(cè)曲梁剛度的影響規(guī)律和輪胎振動(dòng)模態(tài)特征開展研究，包括：胎側(cè)徑向彈性模量Eys、剪切模量Gys、截面厚度、曲梁圓弧長和曲梁弧度角，結(jié)果如圖14～圖18所示。

結(jié)果表明：① 胎側(cè)徑向方向彈性模量增大，胎側(cè)剛度增大，成近似線性比例增長，見圖14；② 胎側(cè)徑向方向剪切模量增大，胎側(cè)剛度增大，成近似線性比例增長，見圖15；③ 圖16為假定上、下胎側(cè)弧度角總和不變的條件下，上胎側(cè)曲梁弧度角變化時(shí)的輪胎振動(dòng)模態(tài)變化圖，結(jié)果表明，弧度角減小，胎側(cè)弦剛度和結(jié)構(gòu)剛度均增大，成非線性反比例關(guān)系，進(jìn)而改變輪胎的振動(dòng)模態(tài)；④ 相同胎側(cè)材料比重的前提下(胎側(cè)簾線與胎側(cè)橡膠的體積比)，胎側(cè)截面厚度越大，胎側(cè)剛度增大，成近似線性比例增長，見圖17；⑤ 胎側(cè)曲梁弧長越小，胎側(cè)剛度增大，成非線性反比例關(guān)系，見圖18。

(a) 振動(dòng)傳遞特性

(a) 振動(dòng)傳遞特性

(a) 振動(dòng)傳遞特性

(a) 振動(dòng)傳遞特性

(a) 振動(dòng)傳遞特性

6 結(jié) 論

本文以重載大扁平比輪胎為研究對(duì)象，針對(duì)其中低頻范圍內(nèi)的胎體與胎側(cè)耦合振動(dòng)特性，建立了基于連續(xù)胎側(cè)彈性基礎(chǔ)的柔性胎體輪胎動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行了模態(tài)頻率和振動(dòng)特性推導(dǎo)；針對(duì)重載輪胎胎側(cè)曲梁的大扁平比的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，考慮弦預(yù)緊效應(yīng)和結(jié)構(gòu)彎曲特性，建立了胎側(cè)分段解析剛度模型；并基于該解析分段胎側(cè)模型，分析了胎側(cè)曲梁幾何和結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)胎側(cè)分段剛度、輪胎傳遞特性及模態(tài)頻率的影響規(guī)律。得到以下結(jié)論：

(1) 大扁平比胎側(cè)曲梁的徑向分段剛度由充氣壓力引起的弦預(yù)緊項(xiàng)，及胎側(cè)曲梁的拉伸、彎曲和剪切相關(guān)的結(jié)構(gòu)剛度項(xiàng)組成。

(2) 胎側(cè)曲梁分段剛度與胎側(cè)曲梁的幾何、結(jié)構(gòu)和充氣壓力參數(shù)直接相關(guān)，因此基于胎側(cè)曲梁分段解析剛度模型可實(shí)現(xiàn)對(duì)輪胎模態(tài)頻率及傳遞特性優(yōu)化。