蔣紅旭，王慶國

（武漢科技大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，湖北 武漢 430081）

0 引言

通過檢測設(shè)備采集的車輛軌跡數(shù)據(jù)被廣泛用于模型標(biāo)定、車輛行為決策等研究[1-3]，但檢測設(shè)備在數(shù)據(jù)采集、處理和傳輸?shù)倪^程中會受到噪聲的干擾，使原始數(shù)據(jù)包含不同程度的噪聲，這些噪聲將會直接影響后續(xù)研究的科學(xué)性[4]，因此有必要研究如何去除車輛軌跡數(shù)據(jù)的噪聲，提高數(shù)據(jù)質(zhì)量。小波去噪因其效率高、穩(wěn)定性好等特點(diǎn)，在各領(lǐng)域的數(shù)據(jù)處理工作中被廣泛使用。但小波去噪方案的優(yōu)劣受小波基函數(shù)、閾值函數(shù)、分解層數(shù)等因素的影響，以分解層數(shù)的選取為例：如果分解層數(shù)過小，則信號中仍存在較多的噪聲數(shù)據(jù)，無法獲得理想的去噪結(jié)果，如果分解層數(shù)過大，則會將信號中的部分細(xì)節(jié)信息當(dāng)做噪聲刪除，造成信號失真，同時增加計算復(fù)雜度[5]，因此需要構(gòu)建科學(xué)合理的評價方法來指導(dǎo)小波去噪過程。

李晉斐等[6]選取均方根誤差和平滑度構(gòu)建了小波去噪復(fù)合評價指標(biāo)，其權(quán)值通過熵權(quán)法和變異系數(shù)法進(jìn)行確定，在應(yīng)用于實(shí)測慣性數(shù)據(jù)的處理時，有著較好的評價效果。邵旋等[7]提出了一種采用變異系數(shù)法定權(quán)的綜合評價指標(biāo)，選取均方根誤差變化量、信噪比變化量、平滑度、相關(guān)系數(shù)四個指標(biāo)，采用該指標(biāo)指導(dǎo)變速箱動力傳動試驗(yàn)時的振動加速度信號的小波去噪?yún)?shù)選擇，處理后的特征頻率與原始頻率平均誤差僅為0.47%。王旭等[8]選取了均方根誤差變化量和平滑度變化量兩個指標(biāo)進(jìn)行復(fù)合評價指標(biāo)的構(gòu)建，定權(quán)方法采用熵權(quán)法，用該指標(biāo)能較好地指導(dǎo)沉降觀測數(shù)據(jù)處理中小波去噪分解層數(shù)的選擇?，F(xiàn)階段針對小波去噪評價的研究雖已取得一定的成果，但是在某些特定領(lǐng)域，因其數(shù)據(jù)的特異性，評價指標(biāo)并不通用，導(dǎo)致在該領(lǐng)域中，對分解層數(shù)的選擇大多基于經(jīng)驗(yàn)或直接給定得到，缺乏理論支撐[9]。

本文旨在提出一種適用于車輛軌跡數(shù)據(jù)處理的小波去噪評價方法，選取均方根誤差變化量和平滑度變化量兩個指標(biāo)，使用熵權(quán)法和變異系數(shù)法完成兩指標(biāo)的定權(quán)，將歸一化后的兩個指標(biāo)線性組合構(gòu)成復(fù)合評價指標(biāo)。

1 小波去噪原理及原始評價指標(biāo)

1.1 小波去噪原理

小波去噪的基本思想是將原始信號進(jìn)行小波分解，生成細(xì)節(jié)系數(shù)和近似系數(shù)，其中真實(shí)信號表現(xiàn)為近似系數(shù)，噪聲信號則主要集中在細(xì)節(jié)系數(shù)中，針對其中的細(xì)節(jié)系數(shù)，設(shè)定閾值規(guī)則進(jìn)行處理，使用處理后的各分量進(jìn)行小波重構(gòu)，得到去噪后的信號，其中小波分解與重構(gòu)大多使用Mallat 算法，分解和重構(gòu)算法互逆，其中Mallat 分解算法示意如圖1 所示。

圖1 Mallat 分解算法示意圖

其中：ci表示信號的近似系數(shù)，di表示信號的細(xì)節(jié)系數(shù)。

1.2 小波去噪的原始評價指標(biāo)

現(xiàn)有評價小波去噪效果的原始評價指標(biāo)主要有均方根誤差（RMSE）、平滑度（r）、信噪比（SNR）、相關(guān)系數(shù)（R）[10]，其中RMSE、SNR、R 描述了去噪信號細(xì)節(jié)上的信息，r 則更關(guān)注信號整體的變化趨勢。通常情況下，信號真值未知，參與運(yùn)算的信號含有噪聲，以本文使用的車輛軌跡數(shù)據(jù)為例，四個指標(biāo)和分解層數(shù)的關(guān)系如圖2 所示。

圖2 原始評價指標(biāo)和分解層數(shù)關(guān)系示意圖

由圖2 可見，RMSE 和分解層數(shù)正相關(guān)，另外三個指標(biāo)均與分解層數(shù)負(fù)相關(guān)，顯然，通過單一指標(biāo)無法獲得小波分解的最優(yōu)層數(shù)，因此，現(xiàn)有針對小波去噪效果評價的研究，大都結(jié)合了多個原始評價指標(biāo)[11-12]。

2 復(fù)合評價指標(biāo)的建立

2.1 指標(biāo)選取

為綜合考慮信號的細(xì)節(jié)信息和整體趨勢，本文選取均方根誤差變化量和平滑度變化量構(gòu)建復(fù)合評價指標(biāo)，均方根誤差變化量和平滑度變化量計算如式（1）至式（4）所示。

式中：diff_RMSE（k）表示第k 層分解重構(gòu)方案的均方根誤差變化量，RMSE（k）表示數(shù)據(jù)經(jīng)k 層分解重構(gòu)后計算所得的均方根誤差，表示經(jīng)k 層分解重構(gòu)后的去噪數(shù)據(jù)，f（i）表示原始數(shù)據(jù)，m 表示數(shù)據(jù)長度。

式中：diff_r（k）表示第k 層分解方案的平滑度變化量，r（k）表示數(shù)據(jù)經(jīng)k 層分解后計算所得的平滑度。

以db3 小波函數(shù)為例，隨著分解層數(shù)的增加，均方根誤差變化量和平滑度變化量變化趨勢如圖3 所示。

由圖3 可見，隨分解層數(shù)的增加，均方根誤差變化量大體呈現(xiàn)先減小再變大的趨勢，平滑度變化量則一直減小，顯然，必存在某一層數(shù)使得去噪信號的細(xì)節(jié)信息和整體趨勢達(dá)到最優(yōu)的組合，該層數(shù)即為最優(yōu)分解層數(shù)。

圖3 指標(biāo)和分解層數(shù)關(guān)系示意圖

2.2 復(fù)合評價指標(biāo)的計算

本文提出的復(fù)合評價指標(biāo)計算過程如下：

（1）因兩指標(biāo)單位等存在差異，不能直接進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，首先需進(jìn)行歸一化計算。

指標(biāo)歸一化計算公式如下：

式中：nor-index（k）表示第k 層分解方案的指標(biāo)歸一化值，index（k）表示第k 層分解方案的原始指標(biāo)值，max（index）和min（index）分別表示指標(biāo)的最大值和最小值。

（2）使用熵權(quán)法計算指標(biāo)權(quán)重，熵權(quán)法定權(quán)的基本思想是根據(jù)指標(biāo)變異性的大小來確定客觀權(quán)重，其變異性的大小通過信息熵體現(xiàn)，一般而言，信息熵越小，其客觀權(quán)重越大。指標(biāo)信息熵計算公式如下：

（3）變異系數(shù)法定權(quán)是一種基于指標(biāo)差異性的定權(quán)方式，當(dāng)指標(biāo)差異性較大時，給予該指標(biāo)較大的權(quán)重。變異系數(shù)計算公式如下：

式中：Cindex表示指標(biāo)的變異系數(shù)，σindex表示指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差，μindex表示指標(biāo)的均值。以均方根誤差變化量指標(biāo)為例，其定權(quán)計算公式如下：

（4）為發(fā)揮兩種定權(quán)方法各自的優(yōu)點(diǎn)，將熵權(quán)法定權(quán)結(jié)果和變異系數(shù)法定權(quán)結(jié)果進(jìn)行結(jié)合，設(shè)定兩種定權(quán)方法所得權(quán)重結(jié)果均權(quán)，則指標(biāo)復(fù)合權(quán)值為：

式中：Windex為指標(biāo)復(fù)合權(quán)值。

將上述步驟得到的歸一化后的指標(biāo)和指標(biāo)復(fù)合權(quán)值組合，即可得到本文的復(fù)合評價指標(biāo)X。公式如下：

3 實(shí)例分析

由于數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)處理等因素的制約，純凈無噪聲的車輛軌跡數(shù)據(jù)f（o）難以獲得，本文使用51-SimOne 自動駕駛仿真測試平臺導(dǎo)出的車輛軌跡數(shù)據(jù)作為f（o），在此基礎(chǔ)上添加不同程度的白噪聲形成原始含噪聲數(shù)據(jù)f1（n）和f2（n），噪聲均值為0，其中f1（n）噪聲方差為0.1，f2（n）噪聲方差為0.3，對原始含噪聲數(shù)據(jù)進(jìn)行小波去噪后得到去噪后數(shù)據(jù)f（d）。f（o）、f1（n）和f2（n）如圖4 所示。

圖4 原始數(shù)據(jù)添加噪聲示意圖

進(jìn)行小波去噪時，使用db3～db8、sym3～sym8、coif3～coif5共計15 類小波基函數(shù)，使用啟發(fā)式閾值確定閾值，啟發(fā)式閾值結(jié)合了無偏風(fēng)險估計閾值和固定閾值。無偏風(fēng)險估計閾值計算如下：

（1）將原始信號中每一個元素取絕對值，再由小到大排序，然后每個元素取平方，見式（13）：

（2）計算各元素的風(fēng)險向量：

（3）求出最小風(fēng)險向量對應(yīng)的下標(biāo)i，得到無偏風(fēng)險估計閾值為：

固定閾值的計算如下：

啟發(fā)式閾值首先計算兩個變量Eta 和Crit 的大小，變量計算如下：

若Eta＜Crit，則啟發(fā)式閾值選取固定閾值，反之選取無偏風(fēng)險估計閾值和固定閾值中的較小者。

常用小波閾值函數(shù)有軟閾值、硬閾值、模極大值、空域相關(guān)法，其中空域相關(guān)法計算量大且不適用于低信噪比信號，模極大值法在確定小波分解層數(shù)時存在較大難度[13]，使用硬閾值進(jìn)行處理時信號會產(chǎn)生附加震蕩，產(chǎn)生跳躍點(diǎn)，影響原始信號的平滑性，考慮到車輛軌跡數(shù)據(jù)的特性，本文的閾值函數(shù)采用使用軟閾值函數(shù)，軟閾值函數(shù)見式（18）。

式中：wλ表示處理后的小波系數(shù)，w 表示分解得到的小波系數(shù)，λ 表示閾值。

計算f（o）和不同分解層數(shù)下f（d）之間的均方根誤差，均方根誤差越小則去噪效果越好[14]，據(jù)此獲取每一小波基函數(shù)下的最優(yōu)分解層數(shù)，使用f1（n）、f2（n）和不同分解層數(shù)下的f（d）計算本文提出的復(fù)合評價指標(biāo)X，X 存在極小值，其極小值對應(yīng)最優(yōu)分解層數(shù)。當(dāng)原始含噪聲數(shù)據(jù)為f1（n）時，以db4 小波基函數(shù)為例，本文復(fù)合評價指標(biāo)X、文獻(xiàn)[6]指標(biāo)H、文獻(xiàn)[15]指標(biāo)T，f（o）和不同分解層數(shù)下f（d）之間的均方根誤差RMSE*，計算結(jié)果如表1 所示。

表1 復(fù)合評價指標(biāo)計算

由表1 可見，使用本文復(fù)合指標(biāo)得到的最優(yōu)分解層數(shù)為5 層，指標(biāo)H（越小越好）和指標(biāo)T（越大越好）得到的最優(yōu)分解層數(shù)為4 層，由RMSE*得到的實(shí)際最優(yōu)分解層數(shù)為5 層。顯然，在該小波基函數(shù)情況下，本文提出的復(fù)合評價指標(biāo)效果更好。將原始含噪聲數(shù)據(jù)擴(kuò)展為f1（n）和f2（n），小波基函數(shù)擴(kuò)展為15 類小波基函數(shù)，各指標(biāo)獲得的最優(yōu)分解層數(shù)及實(shí)際最優(yōu)分解層數(shù)Layer*如表2 所示。

表2 復(fù)合評價指標(biāo)對比評價

由表2 可見，在不同噪聲情況下，本文提出的復(fù)合評價指標(biāo)的正確率均較好，在噪聲方差為0.1 時，本文指標(biāo)的正確率達(dá)到了80%，而指標(biāo)H 和指標(biāo)T 的正確率較低，只有26.67%；在噪聲方差為0.3 時，不管使用哪一個小波基函數(shù)，指標(biāo)H 和指標(biāo)T 均不能正確指導(dǎo)小波去噪最佳分解層數(shù)的選取，本文指標(biāo)的正確率相較于噪聲方差為0.1 的情況雖有所下降，但仍能達(dá)到66.67%。在原始含噪聲數(shù)據(jù)選取為f1（n）時，指標(biāo)H 和指標(biāo)T 在同一小波基函數(shù)的情況下，最優(yōu)層數(shù)判定結(jié)果完全相同，且同一指標(biāo)在任意小波基函數(shù)下的最優(yōu)層數(shù)的判定結(jié)果一致，可能是由于兩個指標(biāo)對車輛軌跡數(shù)據(jù)不夠敏感所致，在原始含噪聲數(shù)據(jù)選取為f2（n）時，結(jié)果表明兩指標(biāo)并不適用于指導(dǎo)噪聲較大的車輛軌跡數(shù)據(jù)的小波去噪分解層數(shù)選取。

4 結(jié)束語

針對車輛軌跡數(shù)據(jù)處理中小波去噪分解層數(shù)的選取缺乏理論支撐這一問題，本文選取均方根誤差變化量和平滑度變化量兩個指標(biāo)，分別使用熵權(quán)法和變異系數(shù)法進(jìn)行權(quán)重計算，對兩種方法計算所得權(quán)重進(jìn)行組合，而后與歸一化后指標(biāo)進(jìn)行相關(guān)計算，構(gòu)建本文復(fù)合評價指標(biāo)X。結(jié)果表明，在車輛軌跡處理領(lǐng)域，本文提出的復(fù)合評價指標(biāo)在不同的小波基函數(shù)和不同強(qiáng)度的噪聲情況下，對小波去噪最佳層數(shù)的判定都有著較高的正確率，相較于其他指標(biāo)，能更好地指導(dǎo)小波去噪分解層數(shù)的選取。