陳偉煌

(福建省晉江市永和中學(xué))

計數(shù)中的排列與組合問題,往往基于實際應(yīng)用場景,合理滲透問題情境.內(nèi)涵豐富、創(chuàng)新應(yīng)用性廣、解題策略頗多、思維方式多樣、求解方法眾多是這類問題的特點.在解決此類問題時,往往需要遵循計數(shù)的基本規(guī)則:有先有后,先后有序,合理分類或分步,做到不重不漏,進(jìn)而完美解決計數(shù)中的排列與組合問題.

1 突出元素——先特殊后一般

若計數(shù)中的排列與組合問題涉及特殊元素或特殊位置的限制條件或特殊要求,解題時往往優(yōu)先考慮特殊情況,突出元素主體,遵循先特殊后一般的計數(shù)規(guī)則.

例1(2022年新高考Ⅱ卷5)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同的排列方式共有( ).

A.12種 B.24種

C.36種 D.48種

分析根據(jù)題目條件,利用捆綁法將丙和丁看成一個整體,利用特殊元素甲優(yōu)先的原則選擇4個位置(丙和丁作為一個整體,只算一個位置)中位于中間的2個位置,再考慮其他一般的情況,進(jìn)而利用分步進(jìn)行分析與解決.

解根據(jù)題目所給信息可知,把丙和丁捆綁在一起看成一個整體,先優(yōu)先安排甲在4個位置中位于中間的2個位置,再安排其他人,所以甲不站在兩端,丙和丁相鄰的不同排列方式有種,故選B.

2 理順關(guān)聯(lián)——先組合后排列

計數(shù)中的排列與組合問題涉及混合應(yīng)用時,厘清問題間的關(guān)聯(lián),一般采取先選出元素進(jìn)行優(yōu)先分組(組合處理),再進(jìn)行合理分配排列(排列處理)的計數(shù)規(guī)則來分析與處理.

例2(2021年全國乙卷理6)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4 個項目進(jìn)行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個項目,每個項目至少分配1 名志愿者,則不同的分配方案共有( ).

A.60種 B.120種

C.240種 D.480種

分析根據(jù)題目條件,依據(jù)5名志愿者與4個項目之間不對等的關(guān)系,厘清相互之間的關(guān)聯(lián),本著先分組再分配的計數(shù)規(guī)則來解決對應(yīng)志愿者的不同的分配問題,遵循“先組后排”的計數(shù)原則.

解由于每名志愿者只分配到1個項目,每個項目至少分配1名志愿者,即將2名志愿者分在同1個項目,則先從5名志愿者中選2名作為1組,共有種情況,再把分好的4組進(jìn)行全排列,分配到4個項目,共有種情況,則共有種不同的分配方案,故選C.

3 厘清實質(zhì)——先分類再分步

若計數(shù)中的排列與組合問題涉及一些約束條件或隱含限制條件時,往往先按元素的性質(zhì)進(jìn)行合理分類,再按事件發(fā)生的連續(xù)過程進(jìn)行分步計數(shù).

例3為進(jìn)一步提高廣大市民的生態(tài)文明建設(shè)意識,某市規(guī)定每年4月25日為“創(chuàng)建文明城?生態(tài)志愿行”為主題的生態(tài)活動日.現(xiàn)有5名同學(xué)參加志愿活動,需要攜帶鉤子、鐵鍬、夾子三種勞動工具,要求每人都要攜帶一個工具,并且要求:帶一個鉤子,鐵鍬至少帶兩個,夾子至少帶一個,則不同的安排方案共有( ).

A.50種 B.60種

C.70種 D.80種

分析根據(jù)題目條件,將攜帶工具的方案分為兩類,結(jié)合不同類別中對應(yīng)工具的類型與個數(shù),利用排列和組合的相關(guān)性進(jìn)行分步計數(shù),最后利用分類加法計數(shù)原理求得滿足條件的不同安排方案.

解 依題知,攜帶工具方案有兩類:

第一類,1個鉤子、1個夾子、3把鐵鍬,所以攜帶工具的方案數(shù)有種;

第二類,1個鉤子、2個夾子、2把鐵鍬,所以攜帶工具的方案數(shù)有種.

綜上,不同的安排方案共有20＋30＝50 種,故選A.

4 講究思維——先定性后定量

若計數(shù)中的排列和組合問題所涉及條件比較復(fù)雜籠統(tǒng)時,一般優(yōu)先處理明確的類別或步驟,即合理定性問題的求解方法,后用相應(yīng)的原理或方法進(jìn)行求解.

例4龍港中學(xué)高三數(shù)學(xué)組計劃從9名教師(5男4女)中選出1個隊長、1個副隊長、3個隊員組成5人排球隊參加教職工排球比賽,要求隊中至少有2名男教師,共有_________選法(用數(shù)字作答).

分析根據(jù)題目條件,先定性處理:求出從9名教師(5男4女)中選出5人參加教職工排球比賽的選法種數(shù),并求出當(dāng)隊中只有1名男教師的選法種數(shù),然后作差求解即可.再定量分析:選出1個隊長、1個副隊長.

解從9名教師(5男4女)中選出5人參加教職工排球比賽,則有種選法,其中,當(dāng)隊中只有1名男教師,則有種選法,要求隊中至少2名男教師,共有126－5＝121種選法.

綜上,選出1個隊長、1個副隊長、3個隊員組成5人排球隊參加教職工排球比賽,要求隊中至少有2名男教師,共有種選法.

解決計數(shù)中的排列和組合問題關(guān)鍵在于正確厘清問題的實質(zhì)與內(nèi)涵,分清排列或組合類型,明確不同排列或組合問題的解題策略,掌握解決問題的正確思路和技巧方法.構(gòu)建合理的實際應(yīng)用模型,靈活運(yùn)用相應(yīng)的解題策略,明確計數(shù)處理的基本規(guī)則,采取簡潔有效的思維方法來解決問題,有時可以達(dá)到事半功倍的良好效果.

鏈接練習(xí)

1.安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有( ).

A.12種 B.18種 C.24種 D.36種

2.在3名男教師和6名女教師中,選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血,要求男、女教師都有,則不同的選取方式的種數(shù)為________(用數(shù)字作答).

3.從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人、副隊長1人、普通隊員2人組成4人服務(wù)隊,要求服務(wù)隊中至少有1名女生,共有________種不同的選法(用數(shù)字作答).

4.有10 個運(yùn)動員名額,分給7 個班,每班至少一個,有_________種分配方案(用數(shù)字作答).

鏈接練習(xí)參考答案

1.D. 2.120. 3.660. 4.84.

(完)