陳巖 李義

(長江大學 信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023)

投資組合問題一直是非常熱門的話題，在投資組合理論中，Markowitz(1952)[1]提出的均值—方差模型成為了解決投資組合選擇問題最流行的方法。該方法利用均值來量化投資組合的收益，用方差來量化投資組合的風險，投資者同時考慮收益和風險進行投資，在一定收益下最小化風險或者在一定風險內(nèi)最大化收益。在資產(chǎn)交易過程中，往往會產(chǎn)生交易費用，這會影響投資者的資產(chǎn)分配和收益，傳統(tǒng)的均值—方差模型忽略了交易費用，將導(dǎo)致不合實際的投資組合行為。為了更好地選擇投資組合使得投資者的收益最大化，交易費用是不可忽略的。1970年，Pogue[2]首次描述了存在交易費用的MV投資組合問題，之后，關(guān)于交易費用的研究得到了全新的發(fā)展，Davis等(1990)[3]進一步討論了比例交易成本的投資組合選擇問題，Dumas等(1991)[4]研究了具有比例交易成本的投資組合優(yōu)化問題，Morton等(1995)[5]研究了具有固定交易成本的投資組合優(yōu)化問題，黃立江等(2005)[6]研究了帶有交易費用的投資組合決策方法，陳溟(2009)[7]研究了含有交易費率的投資組合模型，高岳林等(2010)[8]研究了交易費用函數(shù)下的投資組合優(yōu)化模型，耿慶峰等(2017)[9]研究了成比例交易費用的均值CVaR投資組合優(yōu)化模型，王曉琴等(2020)[10]研究了具有交易費用的均值—方差多階段投資組合優(yōu)化模型。但在以往的研究中，交易費用被視為一個整體變量，本文將交易費用具體化，研究了國內(nèi)市場中的幾種主要交易費用。

在傳統(tǒng)均值—方差模型基礎(chǔ)上，筆者將結(jié)合國內(nèi)市場的一些實際情況，在考慮無賣空等約束條件下研究了具有印花稅、傭金、過戶費及交易規(guī)費的投資組合模型，建立了一個符合中國市場的具有多種交易費用的均值—方差改進模型，并利用帶有罰函數(shù)的粒子群算法和實際數(shù)據(jù)對模型進行了相關(guān)分析求解，驗證了該模型的有效性，國內(nèi)市場的投資者在進行資產(chǎn)選擇時，該模型能夠提供理論依據(jù)，讓投資者在多個資產(chǎn)中選擇最優(yōu)的資產(chǎn)組合進行投資，使投資者的利益最大化，該模型具有積極的理論意義和現(xiàn)實意義。

一、模型建立

(一)費用的選擇與收取[11～13]

1990年12月，上海證券交易所的成立揭開了我國證券市場的發(fā)展序幕，近三十多年來，我國證券市場的發(fā)展取得了巨大的突破，隨著2021年11月北京證券交易所的正式開業(yè)，我國證券市場已經(jīng)形成了上海證券交易所、深圳證券交易所和北京證券交易所“三足鼎立”之勢。

不同的證券交易市場有不同的交易政策，交易過程中產(chǎn)生的交易費用及其征收方式也會存在差異。文中將以滬A股票交易市場為研究對象，建立符合其交易政策及相關(guān)約束的投資組合模型，而對于不同的交易市場中的差異，只需要對模型中相應(yīng)的約束條件進行改變即可。在建模過程中主要考慮的交易費用包含印花稅、過戶費、傭金及交易規(guī)費。相關(guān)費用的征收方式如下：

(1)印花稅由國家稅收統(tǒng)一單向收取，即僅出讓方按成交金額的千分之一收取。

(2)過戶費由交易所雙向收取，按成交金額的萬分之0.2收取。

(3)交易規(guī)費包含證管費和交易經(jīng)手費，均為雙向收取，證管費按成交金額的萬分之0.2收取，交易經(jīng)手費按成交金額的萬分之0.487收取。

(4)傭金由券商雙向收取，最高不超過成交金額的千分之三(文中按千分之三計算)，每筆最低不低于5元，即不足5元時按5元收取。

可知，對于資產(chǎn)的買入和賣出，所產(chǎn)生的的交易費用有一定的區(qū)別，在買入資產(chǎn)時，需繳納的主要交易費用有過戶費、規(guī)費以及傭金，而在賣出資產(chǎn)時，除了過戶費、規(guī)費及傭金外，還需要繳納相關(guān)的印花稅。

(二)市場約束[14～16]

傳統(tǒng)的Markowitz均值—方差模型是在完全市場的前提下提出的，在這個市場中必須滿足八大假設(shè)條件：有效的證券市場、以期望收益率及其方差衡量收益與風險、不考慮交易成本、投資者沒有資金限制、收益率間兩兩存在相關(guān)性、投資者是風險厭惡者、每個資產(chǎn)均為無限可分的、收益率服從正態(tài)分布。但實際情況中，幾乎不存在完全交易市場，任何交易市場都是不完全的，我國的證券市場目前也仍處在不斷發(fā)展的過程中，并不能滿足完全市場下均值—方差模型的所有假設(shè)條件，為了降低投資帶來的風險，國家在新證券法中發(fā)布了一系列的規(guī)定，其中包括：

(1)禁止買空與賣空。

(2)股票的最小買入單位為100股，即1手。

(3)每次交易都應(yīng)收取相應(yīng)的交易費用。

(4)禁止信用交易。

(5)股票的每日漲跌幅不得高于10%。

這些政策將會影響投資者對資產(chǎn)組合的選擇與資金的分配，在建立的新模型中，將相應(yīng)的政策轉(zhuǎn)化為約束條件，以此對投資者的投資行為進行約束，使其更貼合實際市場。

(三)模型參數(shù)

y1：過戶費和規(guī)費的總交易費率，按(0.002%+0.00687%)=0.00887%計算

y2：過戶費、規(guī)費及傭金的總交易費率，按(0.002%+0.00687%+0.1%)=0.10887%計算

X0：初始資產(chǎn)

pi,t：t時刻資產(chǎn)i的市場價格

gi,t：t時刻資產(chǎn)i的買入手數(shù)(為一非負整數(shù))

hi,t：t時刻資產(chǎn)i的賣出手數(shù)

ri,t：t期內(nèi)資產(chǎn)i的期望收益率

xi,t：t期內(nèi)持有資產(chǎn)i的手數(shù)

Xt：t時刻交易前的總資產(chǎn)

bt：t時刻交易后剩余資產(chǎn)

σij,t：t期第i種資產(chǎn)與第j種資產(chǎn)之間的協(xié)方差

yi,t：t時刻買賣資產(chǎn)i產(chǎn)生的交易傭金，其中，當(gi,t+hi,t)·pi,t·0.3%<5時:

yi,t=5

(1)

當(gi,t+hi,t)·pi,t·0.3%≥5時:

yi,t=(gi,t+hi,t)·pi,t·0.3%

(2)

(四)投資組合模型

假設(shè)投資者在初始0時刻以初始資金X0進入市場，對市場中的n種不同類型的資產(chǎn)進行投資，經(jīng)過T個周期，即進行T(t=0,1,2,…,T)個階段的投資,投資者在這T個時段內(nèi)依次進行投資，在每個階段的初始時刻對市場中的n個資產(chǎn)進行買入或賣出，使資金在這n個資產(chǎn)中進行重新分配，以滿足投資者想要達到的最終條件。

1.收益率最大化模型

根據(jù)傳統(tǒng)的Markowitz均值—方差投資組合模型，結(jié)合國內(nèi)證券交易市場中的相關(guān)約束條件，建立一個在一定風險水平V下，投資組合收益率E最大化的模型，如下：

maxE=∑ri,t+1wi,t+1

(3)

s.t. ∑∑wi,t+1wj,t+1σij,t+1≤V

(4)

∑xi,t+1pi,t+∑gi,tpi,ty1+∑hi,tpi,ty2

+∑yi,t≤Xt

(5)

bt=Xt-∑xi,t+1pi,t-∑gi,tpi,ty1

-∑hi,tpi,ty2-∑yi,t

(6)

Xt+1=∑xi,t+1ri,t+1pi,t+bt

(7)

xi,t+1=xi,t+gi,t-hi,t

(8)

xi,0=0

(9)

其中，公式(4)為風險約束；公式(5)為t時刻交易前后總資金約束；公式(6)表示t時刻交易后剩余資金；公式(7)表示t+1時刻的總資金；公式(8)表示第t期內(nèi)所持有的的各個資產(chǎn)的手數(shù)；公式(9)表示初始時刻持有各個資產(chǎn)手數(shù)為0。

上述模型適用于我國證券交易市場中偏愛收益率的投資者，這類投資者能夠在接受一定的風險水平下追求更大的投資組合收益率。

2.風險最小化模型

對于風險厭惡者而言，他們更愿意接受低風險水平下的投資，為了降低風險而犧牲部分的收益率，結(jié)合Markowitz均值—方差投資組合模型，在相關(guān)約束條件下，建立一個在一定收益率E下，投資組合風險水平V最小化的模型，如下：

minV=∑∑wi,t+1wj,t+1σij,t+1

(10)

s.t. ∑ri,t+1wi,t+1≥E

(11)

∑xi,t+1pi,t+∑gi,tpi,ty1∑hi,tpi,ty2

+∑yi,t≤Xt

(12)

bt=Xt-∑xi,t+1pi,t-∑gi,tpi,ty1

-∑hi,tpi,ty2-∑yi,t

(13)

Xt+1=∑xi,t+1ri,t+1pi,t+bt

(14)

xi,t+1=xi,t+gi,t-hi,t

(15)

xi,0=0

(16)

其中，公式(11)為收益率約束；公式(12)為t時刻交易前后總資金約束；公式(13)表示t時刻交易后剩余資金；公式(14)表示t+1時刻的總資金；公式(15)表示第t期內(nèi)所持有的的各個資產(chǎn)的手數(shù)；公式(16)表示初始時刻持有各個資產(chǎn)手數(shù)為0。

上述模型適用于我國證券交易市場中追求低風險的投資者，即風險厭惡者，這類投資者希望在一定收益率下，投資的風險達到最小。

3.收益率與風險最優(yōu)規(guī)劃模型

在上述兩種模型的基礎(chǔ)上引入第三種模型，該模型同時考慮投資組合的收益率與風險，并進一步考慮投資者對于風險的厭惡程度，引入風險規(guī)避系數(shù)α，再結(jié)合中國市場約束條件，從而建立起的一個符合我國證券交易市場的、同時考慮投資收益率與風險的投資組合優(yōu)化模型，如下：

maxopt=(1-α)∑ri,t+1wi,t+1

-α∑∑wi,t+1wj,t+1σij,t+1

(17)

s.t.∑xi,t+1pi,t+∑gi,tpi,ty1

+∑hi,tpi,ty2+∑yi,t≤Xt

(18)

bt=Xt-∑xi,t+1pi,t-∑gi,tpi,ty1

-∑hi,tpi,ty2-∑yi,t

(19)

Xt+1=∑xi,t+1ri,t+1pi,t+bt

(20)

xi,t+1=xi,t+gi,t-hi,t

(21)

xi,0=0

(22)

xi,t,gi,t,hi,t≥0且hi,t為非負整數(shù)、X0已知

其中α∈[0,1]，α取值越大，表示投資者對風險的厭惡程度越高，對風險的規(guī)避程度也越高。α取0時，表示投資者只追求更高的收益率而不考慮投資組合的風險；α取1時，表示投資者為風險厭惡者，此類投資者追求風險最小化。

該模型中，公式(18)為t時刻交易前后總資金約束；公式(19)表示t時刻交易后剩余資金；公式(20)表示t+1時刻的總資金；公式(21)表示第t期內(nèi)所持有的的各個資產(chǎn)的手數(shù)；公式(22)表示初始時刻持有各個資產(chǎn)手數(shù)為0。

相較于前兩種模型，該模型同時考慮了投資組合的收益率與風險，是對前兩種模型的結(jié)合與延伸，通過改變風險規(guī)避系數(shù)來滿足不同投資者對風險的厭惡程度，以此達到最優(yōu)規(guī)劃的目的。

二、求解投資組合模型的粒子群算法

新模型為非線性規(guī)劃模型，不能直接運用傳統(tǒng)的規(guī)劃方法對模型進行求解，考慮到粒子群算法速度快、調(diào)節(jié)參數(shù)少、易實現(xiàn)等優(yōu)點，本文將采用粒子群算法對新模型進行分析求解。粒子群算法(PSO)是由Eberhart和Kennedy提出的一種進化計算技術(shù)，源于對鳥群捕食的行為研究，該算法通過隨機產(chǎn)生一群粒子，利用每個粒子的信息共享使整個粒子群體在解空間中產(chǎn)生從無序到有序的演化過程，從而使粒子的速度和位置不斷地更新，最終獲得最優(yōu)解。針對建立的投資組合新模型，傳統(tǒng)的粒子群算法求解難度較大，本文針對粒子群算法進行了改進，算法在求解新模型時計算速度更快，結(jié)果更準確。

(一)粒子群算法的改進

隨著參數(shù)的增加，文中所建立的模型將變得更為復(fù)雜，對粒子群算法的要求更高。結(jié)合所建立的模型，將從以下三方面對算法進行相關(guān)改進。

首先，對標準粒子群算法中的慣性權(quán)重ω以及學習因子c1與c2進行優(yōu)化，慣性權(quán)重和兩個學習因子的取值是影響算法結(jié)果的三個重要因素，在標準的粒子群算法中，這三個參數(shù)都取一個事先給定的值，這將會在一定程度上限制算法的性能，對這三個參數(shù)的調(diào)整將會使粒子群算法的性能得到顯著的提升。對于慣性權(quán)重ω，其取值的大小決定了粒子的歷史速度對當前速度的影響，其值越大，全局搜尋能力越強；值越小，局部搜尋能力越強。在運用算法求解模型的過程中，前期需要粒子能夠快速地對全局進行搜索，此時需要粒子有較大的速度，即ω的取值應(yīng)相對較大；而在后期，需要粒子有更強的局部搜索能力，此時ω的取值應(yīng)相對較小。對此，為了得到更為準確的結(jié)果，ω的取值應(yīng)隨著迭代次數(shù)的增加而減小，文中對于ω的取值將采用張健(2010)[17]所提出的慣性權(quán)重非線性遞減策略。而對于學習因子c1和c2，迭代初期為了粒子群體能夠更好地完成全局搜索，c1的取值應(yīng)較大，而隨著迭代次數(shù)的增大，為了使得粒子群能更好地貼近于全局最優(yōu)，c1的值應(yīng)逐漸降低，c2的值應(yīng)該逐漸增大，文中對于c1和c2的取值公式如下：

(23)

其次，在求解較為復(fù)雜的函數(shù)時，標準的粒子群算法還不夠成熟，具有很大的缺陷，在迭代過程中可能會過早地收斂于局部最優(yōu)值，而不能獲得全局最優(yōu)解。對此，將采用復(fù)形法(張敏輝,2012)[18]來對粒子群算法進行改進，使粒子具有更強的搜尋能力和搜索精度，以保證粒子在迭代中能夠不受局部最優(yōu)解的干擾，尋找全局最優(yōu)解。

最后，運用罰函數(shù)機制對粒子進行優(yōu)化。在所建立的模型中存在多個約束條件，在迭代過程中需要對粒子是否滿足這些約束條件進行判斷，對此，算法中將通過引入懲罰因子來對粒子進行判斷，對于不能滿足所有約束條件的粒子賦予一個懲罰值，然后在當前迭代結(jié)束后對其進行重新優(yōu)化至滿足所有的約束條件。

(二)改進后的算法求解模型的流程

改進后的算法步驟如下：

1.種群初始化，設(shè)置粒子個數(shù)、最大迭代次數(shù)以及相應(yīng)參數(shù)，并隨機生成各個初始粒子的位置和速度，確定速度與位置邊界。

2.根據(jù)構(gòu)造的函數(shù)計算每個粒子的適應(yīng)度值，得出初始粒子的個體最佳位置、群體最佳位置及群體最佳適應(yīng)度。

3.更新慣性權(quán)重ω和學習因子c1、c2，公式如下：

(24)

c1=0.5ω2+ω+0.5

(25)

c2=2.9889-c1

(26)

4.由速度更新公式和位置更新公式更新粒子的速度與位置。

速度更新公式：

vi(t+1)=ωvi(t)+c1r1(pbesti(t)-xi(t))

+c2r2(gbesti(t)-xi(t))

(27)

位置更新公式：

xi(t+1)=xi(t)+vi(t+1)

(28)

5.根據(jù)罰函數(shù)機制對粒子是否滿足約束條件進行判斷，將懲罰值賦給不滿足所有約束條件的粒子的適應(yīng)度值，并計算出新種群中所有粒子的適應(yīng)度值。

6.確定當前代的個體最佳適應(yīng)度pbesti(t)與個體最佳位置及群體最佳適應(yīng)度gbesti(t)與群體最佳位置。

當f(xi(t))≤f(pbesti(t-1))時:

pbesti(t)=pbesti(t-1)

(29)

當f(xi(t))>f(pbesti(t-1))時:

pbesti(t)=xi(t)

(30)

f(gbesti(t) )取f(gbest1(t) ),f(gbest2(t) )，f(gbest3(t) )，…，f(gbestm(t) )中的最大值。

7.對每個粒子的個體最優(yōu)值進行復(fù)形搜索，并由搜索結(jié)果對群體最優(yōu)值進行更新。

8.若滿足終止條件，則停止迭代并輸出最優(yōu)解，否則返回步驟三進行下一次迭代。

9.輸出最佳適應(yīng)度值與最佳位置。

三、實證分析

為驗證模型的有效性，需要結(jié)合實際市場的數(shù)據(jù)進行檢驗，考慮股票之間的相關(guān)性，如果股票之間相關(guān)性太高，則只選擇其中較優(yōu)的一只，不利于分析檢驗，故選擇滬A市場中10只不同行業(yè)的股票進行分析，以下表格中為這10只股票的相關(guān)數(shù)據(jù)。表1中包含了選取的10只股票的名稱、當前各股每手的市場價格、從2021年5月至2022年4月的月收益率以及平均月收益率。表2為由表1中數(shù)據(jù)計算得到的10只股票之間的方差-協(xié)方差矩陣。

表1 滬A市場10只股票相關(guān)信息

表2 10只股票間的方差-協(xié)方差矩陣

結(jié)合以上股票數(shù)據(jù)信息，對第三種模型進行實證分析，以驗證該模型在實際市場中是否具有實用性和有效性。

考慮投資者以初始資本10萬元對上述10只股票進行投資，以平均月收益率作為實際收益率，分別取α的值0、0.1、0.3、0.5、0.7、0.9、1，將數(shù)據(jù)代入收益率與風險最優(yōu)規(guī)劃模型中，再結(jié)合算法進行編程，可以得到下一期在不同風險規(guī)避系數(shù)下的最優(yōu)投資組合，結(jié)果如表3。

由表3數(shù)據(jù)可知，當風險規(guī)避系數(shù)取值越小時，對應(yīng)的收益率與風險將越大，投資者對風險的規(guī)避程度越高，即隨著風險規(guī)避系數(shù)的增大，投資組合的風險將降低，收益也會隨之減少。在不同的風險水平下，投資者選擇投資組合及獲得的收益不同，風險與收益呈正相關(guān)關(guān)系。當α取0時，投資者只考慮收益最大化而不考慮風險，此時投資者只需要考慮各只股票的收益率，那么最優(yōu)的投資策略即為把資金全都投資到收益率最大的股票，而當α取1時，投資者只考慮風險最小化而不考慮收益，此時的風險與收益都達最小。

表3 不同規(guī)避風險系數(shù)下的最優(yōu)投資組合

四、結(jié)論

交易費用在我國證券市場的資產(chǎn)交易中是必不可少的一個因素，交易費用的收取會影響投資者的資產(chǎn)分配，進而影響投資者的收益狀況。本文在傳統(tǒng)的Markowitz均值-方差模型下，結(jié)合中國不完全市場的實際約束條件，并考慮了國內(nèi)市場中的幾種主要交易費用，其中包含印花稅、傭金、交易規(guī)費及過戶費，建立了一個改進的均值-方差投資組合模型，并利用帶有罰函數(shù)機制的改進的粒子群算法對新建立的投資組合優(yōu)化模型進行了合理性分析。研究結(jié)論如下：

(1)交易費用的存在是影響投資者投資的一個重要因素。本文在國內(nèi)不完全市場的特定約束條件下，基于Markowitz投資組合理論，建立了一個符合國內(nèi)市場的具有多種交易費用的投資組合模型，為國內(nèi)投資者資產(chǎn)優(yōu)化提供了一種新的模型。

(2)傳統(tǒng)的粒子群算法在求解較為復(fù)雜的模型時難度較大，需要對算法進行優(yōu)化改進。本文基于建立的新的投資組合模型的復(fù)雜性，對粒子群算法的慣性權(quán)重、學習因子進行了優(yōu)化，并通過罰函數(shù)機制對粒子進行優(yōu)化，模型分析求解的計算速度更快，結(jié)果更準確。