尚 英

(山東省青島第九中學(xué))

完全非彈性碰撞是碰撞中很重要的一種,具有碰撞后共速,且損失動能最多的特點(diǎn),很多問題中均會涉及.那么損失的動能跟什么有關(guān)呢? 這類問題又存在什么規(guī)律呢? 在平時學(xué)習(xí)的過程中,如果我們多思考、多總結(jié),就會發(fā)現(xiàn)一些小的結(jié)論,可以用來快速解決問題,使復(fù)雜的問題簡單化.筆者對完全非彈性碰撞中動能的損失做了一些深入的思考,獲得了一些感悟,分享給讀者.

1 結(jié)論的推導(dǎo)

如圖1所示,質(zhì)量為mA的A球以速度vA向右運(yùn)動,質(zhì)量為mB的B球以速度vB向右運(yùn)動,兩個小球發(fā)生完全非彈性碰撞,碰后兩小球以共同的速度向右運(yùn)動,求系統(tǒng)損失的動能.

圖1

A、B兩球組成的系統(tǒng)在碰撞過程中,根據(jù)動量守恒定律可得

根據(jù)能量守恒定律有

聯(lián)立解得

將此結(jié)果代入式②中,解得

結(jié)論完全非彈性碰撞中損失的動能是按照被撞物體質(zhì)量占總質(zhì)量的份數(shù)進(jìn)行分配的,即

其中EkAB＝為A球相對于B球的動能.

若vB＝0,則即為一“動”撞一“靜”的情況,則根據(jù)上面兩個式子可得,碰撞后小球的速度大小

系統(tǒng)損失的動能為

這個結(jié)論是由動量守恒定律和能量守恒定律的聯(lián)立方程組解出來的.如果能夠熟練掌握此結(jié)論就會在很多題目中從解方程的煩瑣計算中解脫出來,起到快速準(zhǔn)確得到答案的目的,尤其對于選擇題更是方便快捷.

2 結(jié)論的應(yīng)用

例1如圖2所示,光滑水平直軌道上有三個滑塊A、B、C,質(zhì)量分別為mA＝m,mB＝2m,mC＝4m,開始時均靜止.先讓滑塊A以初速度v0與滑塊B發(fā)生碰撞并粘在一起,然后又一起與滑塊C發(fā)生碰撞并粘在一起,則前后兩次碰撞中損失的動能之比為( ).

圖2

A.1∶4 B.4∶1 C.7∶2 D.2∶7

解析

常規(guī)解法取向右方向?yàn)檎较?設(shè)A、B粘在一起后向右運(yùn)動的速度為v1,A、B、C粘在一起后向右運(yùn)動的速度為v2.第一次碰撞過程中,系統(tǒng)的動量守恒,則有mv0＝3mv1,解得

由能量守恒定律可得損失的動能

第二次碰撞過程中,系統(tǒng)的動量守恒,則有

損失的動能為

故前后兩次碰撞中損失的動能之比

結(jié)論法由結(jié)論可知

AB碰完以后剩余的動能為

所以第二次碰撞過程中動能的損失

故前后兩次碰撞中損失的動能之比

點(diǎn)評

對比兩種解法,第一種常規(guī)解法,雖然思路清晰,但是兩次碰撞,兩個動量守恒定律方程,兩個能量守恒定律方程,四個方程依次計算求得結(jié)果,計算量大,采用結(jié)論法直接代入公式很容易求出第一次碰撞損失的動能,剩余的動能等于總動能減去損失的動能,然后再次套入結(jié)論,就很快解出來了第二次損失的動能.對比之下,結(jié)論法更快捷.

例2如圖3所示,位于光滑水平桌面上的小滑塊P和Q都可視作質(zhì)點(diǎn),P的質(zhì)量為m,Q的質(zhì)量為3m,Q與輕質(zhì)彈簧相連.Q原來靜止,P以一定初動能E向Q運(yùn)動并與彈簧發(fā)生碰撞.在整個過程中,彈簧具有的最大彈性勢能等于( ).

圖3

解析

常規(guī)解法設(shè)P物體的初速度為v0,由已知可得與Q碰撞過程,兩物體速度相等時,彈簧壓縮量最大,此時彈性勢能最大,整個過程滿足動量守恒定律,設(shè)共同速度為v1,則

此時最大彈性勢能

結(jié)論法P、Q速度相同時,彈簧具有的彈性勢能最大,其中減少的動能轉(zhuǎn)化為彈簧具有的最大彈性勢能,則

點(diǎn)評

完全非彈性碰撞的動能損失的結(jié)論可以應(yīng)用到類完全非彈性碰撞中去,那么損失的動能就可能等于彈簧增加的彈性勢能.

例3如圖4 所示,質(zhì)量為m的滑環(huán)套在足夠長的光滑水平滑桿上,質(zhì)量為M＝3m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))通過長為L的輕質(zhì)細(xì)繩與滑環(huán)連接.將滑環(huán)固定時,給小球一個水平?jīng)_量,小球擺起后剛好碰到水平桿;若滑環(huán)不固定,仍給小球同樣的水平?jīng)_量,則小球擺起的最大高度為( ).

圖4

解析

滑環(huán)固定時,給小球一個水平?jīng)_量,小球擺起后剛好碰到水平桿,可知小球的初動能全部轉(zhuǎn)化為小球的重力勢能,即Ek0＝mgL;若滑環(huán)不固定,仍給小球同樣的水平?jīng)_量,小球擺起到最大高度的過程,類似完全非彈性碰撞.小球擺到最大高度時,系統(tǒng)損失的動能轉(zhuǎn)化為小球的重力勢能,即

完全非彈性碰撞中動能損失的公式,其實(shí)是完全非彈性碰撞的進(jìn)階學(xué)習(xí),熟練掌握此公式一方面可以避免雙守恒方程的聯(lián)立求解的麻煩——尤其是遇到一“動”碰一“動”的情境,解方程更為復(fù)雜——掌握此結(jié)論就顯得較為簡便了;另一方面也可以快速解決類完全非彈性碰撞中彈簧的最大彈性勢能、物體上升的最大高度、子彈進(jìn)入木塊的深度等問題.所以在平時的學(xué)習(xí)中要多思考、多總結(jié),這樣才能使解題更加快捷高效!

(完)