林文濤，賈玉博，張紫文，胡 忞，易朋興

(華中科技大學機械科學與工程學院，湖北武漢 430074)

0 引言

可變分數(shù)延遲(VFD)濾波器在數(shù)字信號處理中有著廣泛的應(yīng)用，例如任意采樣率轉(zhuǎn)換、分數(shù)階微分器設(shè)計、數(shù)字波束形成[1-2]?，F(xiàn)有的VFD FIR濾波器算法可分為2類:時域插值算法和頻域優(yōu)化算法。時域插值算法基于多項式插值，如Lagrange、b樣條、Hermite[3-4]等。時域插值雖然計算簡單，但在高頻下的響應(yīng)較差。相比之下，通常采用頻域優(yōu)化的方法來設(shè)計在大帶寬下具有足夠響應(yīng)的VFD FIR濾波器。常用的優(yōu)化準則包括最大平坦(MF)[5]、加權(quán)最小二乘(WLS)[6]和極大極小準則(MM)[7]。加權(quán)最小二乘法(WLS)通過求解線性方程得到濾波器系數(shù)，極小極大(minimax)方法過將傳輸特性與期望值間的最大幅度誤差最小化獲取濾波器系數(shù)。綜合考慮精度和運算復(fù)雜性，選擇加權(quán)最小二乘法來配置濾波器系數(shù)。

1 Farrow結(jié)構(gòu)分數(shù)延時濾波器原理

理想的可變分數(shù)濾波器的頻率響應(yīng)[8]為

HD(ω，p)=e-jωp=cos(ωp)-jsin(ωp)，

ω∈[-ωp,ωp]，p∈[-0.5,0.5]

(1)

式中：ω為歸一化角頻率；p為濾波器分數(shù)延時。

設(shè)計實際的濾波器則需找到一個傳遞函數(shù)來逼近理想的頻率響應(yīng)，這個傳遞函數(shù)可表示為[9]

(2)

式中：z為頻率響應(yīng)參數(shù)；p為分數(shù)延時參數(shù)；n為濾波器階數(shù)。

hn(p)可表示為p的M階多項式：

(3)

式中m為濾波器個數(shù)。

因此，實際傳遞函數(shù)可表示為：

(4)

(5)

其頻率響應(yīng)為

(6)

因此VFD濾波器的設(shè)計轉(zhuǎn)化為如圖1所示的M+1個濾波器系數(shù)求解問題。這便是Farrow結(jié)構(gòu)濾波器，其系數(shù)是由時延p的M階多項式構(gòu)成[10]。

圖1 基于Farrow結(jié)構(gòu)VFD濾波器

對于濾波器系數(shù)的配置，可以采用加權(quán)最小二乘法(WLS)實現(xiàn)，該過程中權(quán)重是關(guān)于ω和p的函數(shù)，通過絕對誤差，分別選擇對應(yīng)變量不同范圍內(nèi)的權(quán)重值，運算的復(fù)雜程度較高，得到不同頻率響應(yīng)誤差總能量最小。誤差函數(shù)權(quán)重與p的關(guān)聯(lián)的影響可暫時忽略，依然能獲得較好的特性曲線，即最小二乘法中權(quán)重是ω的非負權(quán)重函數(shù)W(ω)，且W(p)≡1，這樣便能簡化推導過程。此外，利用濾波器系數(shù)的對稱性和系數(shù)約束關(guān)系能夠縮小權(quán)重函數(shù)積分范圍，即ω∈[0,ωp]，p∈[0,0.5]，相關(guān)研究也證明這種推論是成立的[11]。

2 分數(shù)延時濾波器設(shè)計

2.1 濾波器系數(shù)求解

運用加權(quán)最小二乘法來求解濾波器系數(shù)實際上是理想濾波器與設(shè)計濾波器的加權(quán)平方誤差函數(shù)E(ω,p)求取最小值的過程[12]。

(7)

利用濾波器系數(shù)的對稱性：

a(-n,m)=(-1)m·a(n,m)

(8)

式(6)可轉(zhuǎn)化為2個子函數(shù)之和:

(9)

通過歐拉公式展開得：

(10)

當濾波器的群延時p取0代入式(1)及式(10),得:

HD(ω,0)=1

(11)

(12)

假設(shè)式(12)中，a(0,0)=1,a(n,0)cos(nω)=0,則

(13)

設(shè)計濾波器的頻率響應(yīng)進一步轉(zhuǎn)化為：

(14)

(15)

式中：

B=-2a(n,2m-1),1≤n≤N,1≤m≤K

(16)

將加權(quán)平方差函數(shù)E(ω,p)離散化表示：

(17)

式中：I、J為ω,p的離散化步長數(shù)。

ωi=i·ωp/I

pj=0.5j/J

將式(1)、式(15)代入式(17)得

(18)

為簡化計算，將式(18)轉(zhuǎn)換成矩陣形式:

E(A,B)=tr[(TE-CAPET)T(TE-CAPET)]+

tr[(TO-SBPOT)T(TO-SBPOT)]

(19)

式中tr[·]表示矩陣的跡，其各個矩陣表示為：

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

將式(19)對矩陣A與B分別求偏導，值為0便得到最小的平方誤差：

(26)

由式(26)可得

(27)

矩陣A與B的各元素代表偶數(shù)與奇數(shù)位置子濾波器CM(z)對應(yīng)位置的系a(n,m)。

2.2 加權(quán)系數(shù)迭代求解

解得濾波器系數(shù)之后便可計算其幅度響應(yīng)的絕對誤差：

e(ω,p)=|HD(ω,p)-H(ω,p)|

(28)

通過改變權(quán)重函數(shù)W(ωi)的值進而得到不同的濾波器系數(shù)，濾波器幅度響應(yīng)最大絕對誤差也隨之改變。為了進一步減小濾波器幅度響應(yīng)的最大絕對誤差，引入一種迭代判斷方法來調(diào)整權(quán)重函數(shù)。

具體實現(xiàn)流程如下：

(1)取初始權(quán)重函數(shù)W1(ωi)=1,0≤i≤I，解得第一代濾波器系數(shù)a1(n,m)，并計算幅度響應(yīng)絕對誤差e1(ωi,pj)；

(2)尋找到最大絕對誤差下的群延時pm，之后每次迭代都將使用該值作為尋找不同權(quán)重下最大絕對誤差；

δk(pm)=max{ek(ωi,pm)}

(29)

(3)取極小正數(shù)ε(例如ε=1×10-5)，將ek(ωi,pm)與ε進行比較。若ek(ωi,pm)≥ε，則

(30)

若ek(ωi,pm)<ε,則

Wk(ωi)=Wk-1(ωi)

(31)

(4)在新的權(quán)重函數(shù)下計算濾波器系數(shù)，計算得δk(pm)，并計算：

(32)

(5)若εp≤ε，則迭代停止，反之返回步驟(3)進行多次迭代。

3 濾波器仿真測試

為驗證上述濾波器設(shè)計的合理性，設(shè)定參數(shù)N=33、M=7、ωp=0.9π、I=40N、J=100、W(ω)=1。將以上參數(shù)代入上述公式中求解矩陣A、B得到濾波器系數(shù)，并計算其幅度響應(yīng)的最大絕對誤差來評判所設(shè)計濾波器的性能。

εm=max|HD(ω,p)-H(ω,p)|，0≤ω≤ωp,0≤p≤0.5

(33)

εH=20 lg εm

(34)

在第一次迭代中，發(fā)現(xiàn)pm=0.5，εm=3.154 9×10-5,εH=-90 dB。將pm代入式(30)重新計算權(quán)重函數(shù)值并進行多次迭代直至循環(huán)結(jié)束，εm=1×10-5，εH=-100 dB。圖2～圖3為初次迭代時實際濾波器與理想濾波器的幅值誤差，圖4～圖5為迭代結(jié)束實際濾波器與理想濾波器的幅值誤差。

圖2 初始可變分數(shù)延時絕對誤差

圖3 初始可變分數(shù)延時絕對幅度誤差

圖4 迭代后可變分數(shù)延時絕對誤差

圖5 迭代后可變分數(shù)延時幅度絕對誤差

如圖6所示，迭代20次之后趨于平穩(wěn)，最大幅度絕對誤差減小了10 dB。相較于參考文獻[12]，當p=0.22，ω=0.88π時其濾波器延時誤差為5.495 4×10-6,幅度誤差為-105.2 dB;本文所設(shè)計的濾波器延時誤差為1.578 6×10-6，幅度誤差為-116.0 dB，濾波器的性能有所提升。

圖6 相對誤差迭代軌跡

4 結(jié)束語

基于加權(quán)最小二乘法提出了一種Farrow結(jié)構(gòu)可變分延時濾波器的設(shè)計方案及相應(yīng)的加權(quán)函數(shù)系數(shù)迭代求解方法。將加權(quán)平方差函數(shù)離散化則不需進行數(shù)值積分或求解閉式公式，簡化濾波器系數(shù)的求解；通過迭代后的加權(quán)函數(shù)系數(shù)來優(yōu)化濾波器系數(shù)，使濾波器性能更加接近理想濾波器。經(jīng)過理論分析與仿真驗證，所設(shè)計的濾波器性能良好，迭代算法收斂迅速。