徐智

圖像分割作為計(jì)算機(jī)視覺(jué)的重要方向之一，在工業(yè)自動(dòng)化、圖像編碼、視頻檢驗(yàn)、遙感和生物醫(yī)學(xué)圖像分析等領(lǐng)域有著極其重要的作用［1?5］.圖像分割是將圖像分割為具有不同特征的幾個(gè)子區(qū)域.

閾值法［6?7］是最早提出的分割方法，主要通過(guò)將圖像中的像素點(diǎn)劃分為兩個(gè)或多個(gè)類(lèi)別，從而得到目標(biāo)區(qū)域邊緣.活動(dòng)輪廓模型［8］使用能量最小化方法可以準(zhǔn)確地分割圖像并得到一個(gè)閉光滑輪廓.早期的活動(dòng)輪廓模型在曲線演化過(guò)程中很容易受到初始輪廓、參數(shù)及圖像中的噪聲等因素的影響，造成能量泛函最終迭代至局部極小值點(diǎn)，不能準(zhǔn)確分割出圖像邊緣.水平集方法［9］的提出解決了早期活動(dòng)輪廓模型難以自適應(yīng)變化的問(wèn)題.之后水平集方法被大量地應(yīng)用于圖像分割中［10?11］.結(jié)合水平集方法，C?V 模型［12］提出用分片常數(shù)圖像逼近原圖像，使用圖像區(qū)域像素信息，通過(guò)能量泛函極小化進(jìn)行曲線演化，使得處理噪聲圖像取得了良好的效果.但是C?V 模型假設(shè)圖像灰度均勻的條件大大地限制了其使用范圍.

一般情況下，現(xiàn)實(shí)中的大多數(shù)圖像均為灰度不均勻圖像.近年來(lái)，灰度局部信息被融入水平集方法中，用以分割灰度不均圖像［13?14］.在C?V 模型的基礎(chǔ)上，LI 等［14］結(jié)合高斯核函數(shù)首次將圖像局部區(qū)域灰度特征應(yīng)用于活動(dòng)輪廓模型中，提出RSF 模型，使灰度不均勻的核磁共振醫(yī)學(xué)圖像取得了顯著的分割效果.但是該方法對(duì)于初始輪廓有很大程度的依賴性，且對(duì)于噪聲圖像效果不佳.

本文基于圖像局部特征，結(jié)合分片常數(shù)水平集函數(shù)來(lái)表示圖像不同區(qū)域，通過(guò)能量泛函最小化方法，對(duì)灰度不均勻圖像，尤其是對(duì)被噪聲強(qiáng)破壞性圖像進(jìn)行分割.

1 預(yù)備知識(shí)

給定被分割圖像u0:Ω→Rl，其中Ω?R2為圖像定義域.當(dāng)l=1時(shí)，為灰度圖像，當(dāng)l=3時(shí)，為彩色圖像.

定義非負(fù)高斯核函數(shù)［14］為：

其中：σ為正參數(shù).高斯核函數(shù)滿足以下性質(zhì)：

定義分片常數(shù)水平集函數(shù)［15?16］為：

函數(shù)?的間斷處即為圖像的邊緣處.圖1為一個(gè)三像集圖像與其對(duì)應(yīng)的分片常數(shù)水平集函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

圖1 三像集圖像與其對(duì)應(yīng)的分片常數(shù)水平集函數(shù)的關(guān)系

2 基于局部區(qū)域與水平集正則化的圖像分割方法

為了克服RSF 模型對(duì)一些類(lèi)型圖像輪廓初始化位置較為敏感的問(wèn)題，本文在RSF 模型的基礎(chǔ)上，引入了分片常數(shù)水平集函數(shù)（2）.

假設(shè)Ω由幾個(gè)互不相交的子區(qū)域構(gòu)成.在分割過(guò)程中最小化總能量泛函以求得最優(yōu)水平集函數(shù)（2）.特征函數(shù)ψi定義為：

如果不同區(qū)域Ωi的像素平均值很接近c(diǎn)i且分割輪廓C 位于目標(biāo)區(qū)域的真實(shí)邊緣時(shí)，那么式（4）可取得最小值.對(duì)于圖像中的所有點(diǎn)，得總能量泛函為：

式（5）第二項(xiàng)為使得水平集函數(shù)?保持區(qū)域內(nèi)部平滑的正則項(xiàng)，當(dāng)圖像是二像集時(shí)，此項(xiàng)為輪廓長(zhǎng)度.

為了保證u的唯一性，即使得函數(shù)?中一個(gè)常數(shù)對(duì)應(yīng)圖像的某一獨(dú)立區(qū)域，可加入約束條件

為了分割得到最優(yōu)輪廓，可將分割問(wèn)題表述為有約束的最小化問(wèn)題

使用增廣拉格朗日方法，將式（7）轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的最優(yōu)化問(wèn)題，則對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)為：

其中：λ和γ分別為拉格朗日乘子和正懲罰參數(shù).

針對(duì)式（8），可使用交替迭代法求解?和ci.首先，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)μ和γ，以及時(shí)間步長(zhǎng)△t，假設(shè)和λk?1不變，能量泛函L(ci,?,λ)關(guān)于?k的最小化問(wèn)題滿足梯度流

固定?k，最小化式（8）求解ci，使ci滿足Euler?Lagrange 方程

整理式（12），得：

選取迭代終止條件

或者迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)先給定的上限為止.

綜上所述，總結(jié)算法如下：

給定初始ci和水平集函數(shù)?0，i=1,2,…,

③更 新λk=λk?1+γG(?k)，判斷迭代終止條件式（14）是否滿足.假設(shè)不滿足，執(zhí)行k=k+1，重復(fù)以上步驟，直到滿足迭代終止條件.

一般情況下，如果存在比較理想的ci，在算法中可先計(jì)算?k，然后依次計(jì)算和λk.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了證明本方法的有效性，本文主要針對(duì)二像集的人工合成圖像和真實(shí)圖像進(jìn)行分割，并與經(jīng)典的RSF 模型對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果.本文所有實(shí)驗(yàn)均在Windows 10 系統(tǒng)，因特爾酷睿i5，3.40 GHz，8 GB RAM，matlab（R2012a）中運(yùn)行完成.所有實(shí)驗(yàn)中均使用固定步長(zhǎng)Δt=1e?5及γ=100.使用matlab 命令phi=rand（m，n），選取與原圖像同等規(guī)模的隨機(jī)矩陣為初始水平集函數(shù)?.

圖2 為兩種方法對(duì)于人工合成的紋理圖像的分割結(jié)果.從實(shí)驗(yàn)結(jié)果明顯看出，即使RSF模型的初始輪廓已經(jīng)很接近真實(shí)輪廓，但是其分割得到的邊緣仍然出現(xiàn)了不光滑的現(xiàn)象，導(dǎo)致分割輪廓不準(zhǔn)確，如圖2（e）、圖2（f）所示.本文方法選取參數(shù)σ=1，μ=5，分割的最終輪廓光滑性明顯要好很多，尤其是對(duì)于輪廓邊緣的處理效果，最終輪廓很準(zhǔn)確地分布于兩個(gè)不同區(qū)域之間.

圖2 本文方法與VRF 模型針對(duì)紋理圖像的對(duì)比結(jié)果

圖3 為四幅強(qiáng)破壞性噪聲圖像的分割對(duì)比結(jié)果，選取參數(shù)μ=4，針對(duì)不同的圖像σ選取為1～2 之間的某一個(gè)數(shù).圖3 第一列和第二列為原始圖像和本文分割法得到的輪廓邊緣，第三列和第四列分別為RSF 模型的初始輪廓和分割結(jié)果.顯然，RSF 模型并不能分割出圖像的邊緣，本文方法較準(zhǔn)確地分割出輪廓的邊緣.此外，本文分割法不依賴初始輪廓的定義，對(duì)于噪聲圖像具有很強(qiáng)的魯棒性.

圖3 本文方法與VRF 模型針對(duì)噪聲圖像的對(duì)比結(jié)果

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于局部灰度能量，以及分片常數(shù)水平集函數(shù)正則化的圖像分割方法.獨(dú)立水平集的使用避免了分割過(guò)程中不斷初始化輪廓的操作.對(duì)于灰度不均勻和噪聲圖像，該方法均有良好的分割效果.期望該算法在圖像分割及計(jì)算機(jī)視覺(jué)處理領(lǐng)域會(huì)有更廣泛的應(yīng)用.