閆夙，張馨月，周毅，劉書妍，王麗

惠斯登電橋測電阻是電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)中一個重要且典型的基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)［1?2］，作為一種測量中值電阻的普適方法，提高其測量精確度是非常重要的，所以電橋的靈敏度S是一個重要指標(biāo).S的大小與電源的電動勢、四個臂的搭配和橋路電阻的大小都有關(guān)系.例如王金輝等［3］討論了恒流源作為電源的惠斯登電橋的靈敏度，發(fā)現(xiàn)S與恒流源輸出電流成正比，并且橋臂電阻比例越小，S越大；同時(shí)，林麗梅等［4］通過對電壓法和電流法惠斯登電橋測電阻實(shí)驗(yàn)的研究發(fā)現(xiàn)，S的大小與橋臂電阻密切相關(guān)，并且提出了最佳橋臂電阻的計(jì)算公式，從而為電橋的精準(zhǔn)測量提供了方便，于華等［5］還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)固定比例臂的倍率時(shí)，兩個比例臂上的電阻值與待測電阻具有相同數(shù)量級時(shí)，電橋的靈敏度具有最大值.

此外，S的大小還與電路中檢流計(jì)的靈敏度Sg和內(nèi)阻Rg有關(guān).例如張學(xué)華等［6］推導(dǎo)了S的理論公式，并通過相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了S與Sg的正比關(guān)系，同時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Rg的大小等于電橋路端等效電阻時(shí)，S具有最大值.可見，在惠斯登電橋測電阻的實(shí)驗(yàn)中，Sg和Rg是兩個很重要的物理量.根據(jù)Sg和Rg的大小，可以更加合理地設(shè)計(jì)電路中各個比例臂上電阻的大小，從而提高電橋的靈敏度.但是，在實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)運(yùn)用檢流計(jì)說明書中的Sg和Rg計(jì)算出來的電橋靈敏度理論值與實(shí)驗(yàn)值有較大誤差，這應(yīng)該是由于檢流計(jì)使用時(shí)間過長使其Sg和Rg不準(zhǔn)確造成的，給實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)造成了極大的誤差.

在物理實(shí)驗(yàn)教材中，S定義為電橋平衡時(shí)，當(dāng)一臂的電阻為R，其改變一微小量ΔR后，引起檢流計(jì)偏轉(zhuǎn)Δn格，則S的大小為：

武松安等［7］提出采用交換測量法來減小S的測量誤差，但很少有人討論檢流計(jì)指針偏轉(zhuǎn)方向和偏轉(zhuǎn)格數(shù)對S的影響.本文利用Origin 軟件對1/S?Rx實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，從而求出了檢流計(jì)Sg和Rg的實(shí)際值，再通過具體實(shí)驗(yàn)討論檢流計(jì)指針偏轉(zhuǎn)方向和偏轉(zhuǎn)格數(shù)對S的影響.

1 理論

惠斯登電橋測電阻電路如圖1 所示.S的理論公式［8］為：

圖1 惠斯登電橋電路圖

其中：E為電源電動勢.令R0與R1比值為γ，即Rx=γ·R2，上式可寫成

對其取倒數(shù)，得

其中，系數(shù)A、B和C分別為：

令y=1和x=Rx，則式（4）寫為：

其中：f1(x)=Ax+C，f2(x)=.所以y=f(x)是由一個一次函數(shù)和一個反比例函數(shù)構(gòu)成的初等函數(shù)，即1/S是Rx的一個初等函數(shù).

從式（8）可以看出，當(dāng)x取值較小時(shí)，f2(x)會有明顯的影響；隨著Rx的增大，f2(x) 的影響將逐漸減小，當(dāng)Rx達(dá)到一定值時(shí)，1/S和Rx的關(guān)系接近為一次函數(shù).假設(shè)Rx的這個值為Rx的臨界值，用Rxc來表示，即當(dāng)Rx≥Rxc時(shí)，1/S近似為Rx的一次函數(shù)，而Rxc的大小應(yīng)該由實(shí)驗(yàn)條件來決定.

2 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

實(shí)驗(yàn)過程中，使用WYK?302 型直流穩(wěn)壓電源、AC5?1 型指針式直流檢流計(jì)和5 個電阻箱.主要有以下三個實(shí)驗(yàn)內(nèi)容.

2.1 利用Origin 軟件求檢流計(jì)Sg 和Rg

按圖1 連接電路，固定R0的大小，并取γ=1/10，當(dāng)待測電阻Rx取不同值時(shí)，測出電橋的S值.實(shí)驗(yàn)過程中，在電橋平衡的條件下，改變R2，使檢流計(jì)指針分別向左和向右偏轉(zhuǎn)5 小格，根據(jù)靈敏度定義，有

2.2 檢流計(jì)指針偏轉(zhuǎn)方向?qū) 的影響

取E=3 V，R0=200 Ω，R1=2 000 Ω，Rx=50 Ω，在電橋平衡的條件下，改變R2，使檢流計(jì)指針分別向左和向右偏轉(zhuǎn)5 個小格，求出S左、S右和S，并與S理論進(jìn)行比較.

2.3 檢流計(jì)指針偏轉(zhuǎn)格數(shù)對S 的影響

實(shí)驗(yàn)條件同2.2.當(dāng)電橋電路平衡的條件下，改變R2，使檢流計(jì)指針分別向左和向右偏轉(zhuǎn)3、5 和7 個小格，求出S的實(shí)驗(yàn)值，即S=≈（S左+S右）/2，并與S理論進(jìn)行比較.

3 結(jié)果與討論

圖2（a）給出了當(dāng)R0=50 Ω、100 Ω 和200 Ω時(shí)，1/S?Rx的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).從圖中可以看到，當(dāng)R0=50 Ω時(shí)，1/S?Rx接近線性關(guān)系，表明Rx在25～200 Ω 之間時(shí)取值均較大，即此時(shí)的Rxc≤25 Ω，從而使得1/S?Rx的關(guān)系接近為一次函數(shù)（見式（8））.當(dāng)R0=100 Ω時(shí)，隨著Rx的增大，1/S先減小后增大，當(dāng)Rx在25～50 Ω 之間時(shí)，1/S具有最小值.即當(dāng)Rx小于50 Ω時(shí)，1/S?Rx接近反比例關(guān)系，而當(dāng)Rx≥75 Ω時(shí)，1/S?Rx為一次函數(shù)，由此可以判斷此實(shí)驗(yàn)條件下Rxc≈50 Ω.而當(dāng)R0=200 Ω時(shí)，可以清晰地看出1/S和Rx的函數(shù)關(guān)系.當(dāng)Rx≥100 Ω時(shí)，1/S?Rx才近似為一次函數(shù)，所以此實(shí)驗(yàn)條件下Rxc≈100 Ω.由此可見，在E=3 V 和γ=1/10 的實(shí)驗(yàn)條件下，R0=50 Ω、100 Ω 和200 Ω時(shí)，Rxc的大小分別為25 Ω、50 Ω 和100 Ω，即Rxc隨著R0的增大而增大.此外，從圖2（a）還可以看到，當(dāng)Rx一定時(shí)，1/S隨著R0的增大而增大，即S隨著R0的增大而減小，這也驗(yàn)證了公式（3）的結(jié)論.

圖2 電橋靈敏度測試結(jié)果

對三組數(shù)據(jù)按照式（8）進(jìn)行擬合，得到的系數(shù)和R0、Sg和Rg的計(jì)算值見表1，從表中可以看到，當(dāng)R0=50 Ω 和100 Ω時(shí)，R0擬合的大小分別為67.97 Ω 和82.10 Ω，與實(shí)驗(yàn)的真實(shí)值（50 Ω 和100 Ω）明顯不相符合，所以相對應(yīng)的Sg和Rg值不 可取.而當(dāng)R0=200 Ω時(shí)，得到的R0擬合=196.44 Ω，與實(shí)驗(yàn)的真實(shí)值（200 Ω）十分接近，所以此時(shí)得到的Sg和Rg具有可信性，即實(shí)驗(yàn)中所用檢流計(jì)的靈敏度和內(nèi)阻分別為2.27×105div/A 和196.44 Ω.此外，擬合獲得的Rg=196.44 Ω 與萬用表測量出檢流計(jì)的內(nèi)阻（196.9 Ω）也基本一致，進(jìn)一步說明了R0=200 Ω 這組擬合數(shù)據(jù)的正確性.由此可見，在對1/S?Rx的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合求Sg和Rg的實(shí)驗(yàn)中，Rx和R0的取值不能是任意的，要根據(jù)R0的大小來設(shè)計(jì)Rx的取值范圍.由圖2（a）可見，當(dāng)Rx在25～200 Ω 之間時(shí)，只有R0=200 Ω的實(shí)驗(yàn)曲線反映出1/S?Rx的復(fù)合函數(shù)關(guān)系，所以其擬合得到的參數(shù)才是準(zhǔn)確的.而當(dāng)R0=100 Ω時(shí)，Rx應(yīng)該在較小值的范圍內(nèi)取值才會通過數(shù)據(jù)擬合得到準(zhǔn)確的數(shù)值.

表1 擬合曲線的主要參數(shù)和R0、Sg 和Rg 的計(jì)算值

圖2（b）給出了E=3 V、R0=200 Ω、R1=2 000 Ω 時(shí)S的理論值與實(shí)驗(yàn)值隨著Rx的變化曲線.其中，理論值為將Sg=2.27×105div/A、Rg=196.44 Ω 代入式（3）求得.可以看到，隨著Rx的增大，S先增大后減小，當(dāng)Rx=50 Ω時(shí)，S具有最大值，約為171.63.所以采用該實(shí)驗(yàn)條件下的惠斯登電橋去測量50 Ω 左右的待測電阻時(shí)，電橋才具有最高的靈敏度，實(shí)驗(yàn)誤差最小，測量值越接近真實(shí)值；而當(dāng)待測電阻較大（例如200 Ω）時(shí)，電橋的靈敏度會減小，從而增大實(shí)驗(yàn)誤差.所以在運(yùn)用惠斯登電橋測電阻值時(shí)，要根據(jù)待測電阻的大小合理地設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)條件.此外，電橋靈敏度的實(shí)驗(yàn)值與理論值符合得很好，說明由R0=200 Ω 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到的Sg和Rg較準(zhǔn)確.

表2 給出了E=3 V、R0=200 Ω、R1=2 000 Ω、Rx=50 Ω、n=5 div，檢流計(jì)左右偏轉(zhuǎn)時(shí)的電橋靈敏度的實(shí)驗(yàn)值，以及相對誤差Δ=（|S理?S|/S理）×100%.將此時(shí)的實(shí)驗(yàn)條件（E=3 V，R0=200 Ω，R1=2 000 Ω，Rx=50 Ω）和Sg=2.27×105div/A，Rg=196.44 Ω 帶入公式（3），得此實(shí)驗(yàn)條件下S理論=171.16.從表2 中可以看到，當(dāng)僅考慮左偏時(shí)，ΔR2左的平均值為14.3 Ω，由公式（9）得S左=174.57，相對誤差為1.92%；而當(dāng)僅考慮右偏時(shí)，ΔR2右的平均值為14.8 Ω，S右=168.56，相對誤差為1.52%.S左與S右并不相等，這應(yīng)該是由于檢流計(jì)的零點(diǎn)不準(zhǔn)造成系統(tǒng)誤差.在本實(shí)驗(yàn)中，S左總是大于S右，說明此檢流計(jì)的實(shí)際零點(diǎn)應(yīng)該在標(biāo)定零點(diǎn)的左邊.所以在測量惠斯登電橋靈敏度的實(shí)驗(yàn)中，可以通過考慮檢流計(jì)偏轉(zhuǎn)方向來消除檢流計(jì)的零點(diǎn)不準(zhǔn)造成的系統(tǒng)誤差.表2 第7 列便給出了考慮左右偏轉(zhuǎn)后，有S≈（S左+S右）/2=171.63，與理論值十分接近，相對誤差僅為0.27%.

表2 E=3 V，R0=200 Ω，R1=2 000 Ω，Rx=50 Ω，n=5 div時(shí)，檢流計(jì)左、右偏的S 和Δ

表3 給出了E=3 V，R0=200 Ω，R1=2 000 Ω，Rx=50 Ω，n=3 div、5 div 和7 div時(shí)，S的實(shí)驗(yàn)值和相應(yīng)Δ 大小.從表中可以看到，當(dāng)n=3 div、5 div 和7 div時(shí)，S先減小后增大，與理論值的相對誤差也是先減小后增大.當(dāng)n=5 div時(shí)，電橋靈敏度的實(shí)驗(yàn)值為171.54，與理論值相對誤差最小，約為0.22%.偏轉(zhuǎn)格數(shù)過小，實(shí)驗(yàn)誤差較大，這應(yīng)該是由于偏轉(zhuǎn)格數(shù)太少，實(shí)驗(yàn)操作不易控制造成的；而偏轉(zhuǎn)格數(shù)較大時(shí)，雖然實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象明顯，但會增加調(diào)節(jié)平衡的時(shí)間以及數(shù)據(jù)讀取的偶然性誤差，從而降低了穩(wěn)定性和重復(fù)性.

表3 E=3 V，R0=200 Ω，R1=2 000 Ω，Rx=50 Ω，n=3 div、5 div 和7 div 時(shí)的S 和Δ

4 結(jié)論

綜上所述，本文在利用Origin 軟件求出檢流計(jì)的Sg和Rg之后，研究了檢流計(jì)指針偏轉(zhuǎn)方向和偏轉(zhuǎn)格數(shù)對惠斯登電橋靈敏度測量的影響.結(jié)果發(fā)現(xiàn)，考慮檢流計(jì)指針偏轉(zhuǎn)方向后，可以有效地消除檢流計(jì)引起的系統(tǒng)誤差，從而使實(shí)驗(yàn)值與理論值更加符合.而檢流計(jì)指針的偏轉(zhuǎn)格數(shù)對電橋靈敏度的測量也具有一定的影響，當(dāng)偏轉(zhuǎn)格數(shù)增加時(shí)，實(shí)驗(yàn)誤差先減小后增大，當(dāng)n=5 div時(shí)，相對誤差最小.此外，在對1/S?Rx的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合時(shí)，要根據(jù)R0的大小來設(shè)計(jì)Rx的取值范圍.希望通過以上研究可以幫助學(xué)生更好地理解惠斯登電橋的電路特征，以及測量電橋靈敏度的實(shí)驗(yàn)方法.