李建俊，張慧明

(1.河北師范大學(xué) 附屬民族學(xué)院,河北 石家莊 050091；2.河北地質(zhì)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,河北 石家莊 050031)

1 主要結(jié)果

先介紹幾個引理：

引理1當(dāng)0≤x≤π/2時,有2x/π≤sinx≤x.

引理3[13]當(dāng)0≤y

引理4[14]當(dāng)03-2t.

接下來介紹本文主要結(jié)論：

定理1結(jié)點(diǎn)組取擴(kuò)展的Chebyshev結(jié)點(diǎn)，有下式成立：

|en(T*;x)|=||x|-rn(T*;x)|≤π/(2nlnn).

(1)

證明:由于rn(T*;x)和|x|都是偶函數(shù)，只考慮區(qū)間[0,1]即可.

2)當(dāng)x1=sin(π/(4n))/sin[(2n-1)π/(4n)]≤x≤x2=sin(3π/(4n))/sin[(2n-1)π/(4n)]時,有

sin[π/(4n)}]/{sin[(2k-1)π/(4n)]+sin[π/(4n)]}.

(2)

由引理3得

(3)

因此,

(4)

3)當(dāng)x2=sin(3π/(4n))/sin[(2n-1)π/(4n)]≤x≤xn=1時,取xj-1≤x≤xj(j=3,4,…,n)有

{sin[(2j-1)π/(4n)]/sin[(2n-1)π/(4n)]+sin[(2k-1)π/(4n)]/sin[(2n-1)π/(4n)]}

(5)

由引理3得

[(j-1)/j]·[(j-2)/(j+1)]·[(j-3)/(j+2)]·[(j-4)/(j+3)]…[5/(2j-6)]·

[4/(2j-5)]·[(3/(2j-4)]·[(2/(2j-3)]·[(1/(2j-2)]·[(j-2)/(j+1)]·

[(j-1)/(j+2)]·[j/(j+3)]…[(n-5)/(n-2)]·[(n-4)/(n-1)]·[(n-3)/n]·

[(n-2)/(n+1)]≤[(j-3)/(j+2)]·[(j-4)/(j+3)]…[(5/(2j-6)]·[(4/(2j-5)]·

[(3/(2j-4)]·[(2/(2j-3)]·[(1/(2j-2)]·[(j-2)/(j+1)]·[(j-1)/(j+2)]·

(6)

[j/(j+3)]…[(n-5)/(n-2)]·[(n-4)/(n-1)]·[(n-3)/n]·[(n-2)/(n+1)]≤

[(j-3)/4]·[(j-4)/5]…[(5/(j-4)]·[4/(j-3)]·[(3/(j-2)]·[2/(j-1)]·(1/j)·

以保護(hù)和可持續(xù)利用生態(tài)系統(tǒng)服務(wù)為目的，構(gòu)建社區(qū)補(bǔ)償機(jī)制，將社區(qū)利益納入保護(hù)體系，通過多樣化的補(bǔ)償方式促進(jìn)社區(qū)的全面發(fā)展。爭取國家的政策扶持和項目資金支持，建立生態(tài)補(bǔ)償?shù)拈L效機(jī)制，給予社區(qū)生態(tài)效益補(bǔ)償資金和自然資源保護(hù)地役權(quán)補(bǔ)償資金等，提升社區(qū)的整體素質(zhì)和社會福利。培養(yǎng)社區(qū)自我發(fā)展的能力。最后建立社區(qū)發(fā)展援助基金為社區(qū)的可持續(xù)發(fā)展提供根本保障10. 唐林芳，《國家公園理論與實踐》，中國林業(yè)出版社，2017年11月。。

[(j-2)/(j+1)]·[(j-1)/(j+2)]·[j/(j+3)]…[(n-5)/(n-2)]·

[(n-4)/(n-1)]·[(n-3)/n]·[(n-2)/(n+1)]=6/[(n-1)n(n+1)].

由式(6)得|en(T*;x)|≤2x|hn(T*;x)|/[1-|hn(T*;x)|]≤3|hn(T*;x)|≤18/(n3-n).

這個逼近階是不能改善的,有以下定理：

定理2當(dāng)n≥13時,取x*=1/(nlnn),有|en(T*;x)|>1/(50nlnn).

(7)

證明:當(dāng)n≥13時,有0

(8)

(9)

所以nlnn|en(T*;x*)|=2nlnn·x*hn(T*;x*)/[1+hn(T*;x*)]≥hn(T*;x*)>3-2[(ln n+2)/ln n]>1/50

定理得證.由定理1和定理2可得到確切逼近階為O(1/(nlnn)).

2 數(shù)值計算與分析

研究|x|在擴(kuò)展的Chebyshev結(jié)點(diǎn)的有理插值,得到逼近階為O(1/(nlogn)).這個結(jié)果和結(jié)點(diǎn)取Chebyshev結(jié)點(diǎn)[5]、第2類Chebyshev結(jié)點(diǎn)[10]、正切結(jié)點(diǎn)[11]和等距結(jié)點(diǎn)[4]得到的逼近階相同.以上證明表明:在區(qū)間[0,x1]逼近效果最差,僅為O(1/(nlnn));在[x1,x2]逼近效果好一些,為O(1/n2);在[x2,1]逼近效果好,可以達(dá)到O((1/n3)).

表1 |en(X;x)|在5個不同結(jié)點(diǎn)的有理插值誤差

5類結(jié)點(diǎn)組中,|x|在正切結(jié)點(diǎn)的有理插值誤差最小,正切結(jié)點(diǎn)是正切曲線(凸)上的點(diǎn).其次是等距結(jié)點(diǎn),等距結(jié)點(diǎn)是直線上的點(diǎn).然后是Chebyshev結(jié)點(diǎn)和擴(kuò)展的Chebyshev結(jié)點(diǎn),在第2類Chebyshev結(jié)點(diǎn)誤差最大.Chebyshev結(jié)點(diǎn)和第2類Chebyshev結(jié)點(diǎn)是正弦曲線(凹)上的點(diǎn),且Chebyshev結(jié)點(diǎn)比第2類Chebyshev結(jié)點(diǎn)靠近原點(diǎn).由于正切函數(shù)(凸曲線)上函數(shù)值tan[kπ/(4n)]小于正弦函數(shù)(凹曲線)上的函數(shù)值(2k-1)π/(4n)、sin[kπ/(2n)],3個值大小依次是tan[kπ/(4n)]

綜上數(shù)值計算和理論分析可得相同逼近階的誤差與結(jié)點(diǎn)的密集度及結(jié)點(diǎn)所在曲線的凹凸性有關(guān).