徐燕,李彩月

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北 保定 071002)

隨機(jī)微分方程作為一種動態(tài)模型,廣泛應(yīng)用于復(fù)雜的生物、物理、化學(xué)和工業(yè)等領(lǐng)域.在自然界和工程實(shí)踐中,由于隨機(jī)擾動的影響許多現(xiàn)象或過程具有多尺度特征.例如：在經(jīng)典的基因表達(dá)模型中,由于轉(zhuǎn)錄過程快于翻譯過程,所以可用雙時間尺度系統(tǒng)刻畫，另外,地理方面的大氣和海洋現(xiàn)象等許多物理現(xiàn)象也都具有空間或時空的多尺度特征，因此,用多尺度系統(tǒng)理論來描述或分析這些現(xiàn)象或過程是十分有必要的.對于多尺度的定性分析,平均法提供了極大幫助.多尺度的隨機(jī)微分方程的平均法就是在一定的條件下,將快變量過程視為隨機(jī)噪聲并將其消除從而得到一個極限過程,使得極限過程的解逼近原始方程中慢變量的解.

平均法廣泛應(yīng)用于力學(xué)、物理、控制等領(lǐng)域,是簡化動力系統(tǒng)從而得到微分方程近似解的有力工具.平均原理首先由Krylov等[1]提出,而后由Gikhman[2-3]推廣到非線性常微分方程.1968年,Kh?minskii[4]首次將平均法推廣到隨機(jī)微分方程.此后,隨機(jī)微分方程的平均法便引起學(xué)者們廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)[5-8]討論了在Lipschitz條件下的雙時間尺度隨機(jī)微分方程的平均法.Xu等[9]拓展文獻(xiàn)[5-8]中的結(jié)果,將平均法應(yīng)用到非-Lipschitz條件下的隨機(jī)微分方程.通過消除快變量建立了耦合系統(tǒng)平均方程存在定理,從而將系統(tǒng)簡化為單個隨機(jī)微分方程.結(jié)果表明,該慢變量強(qiáng)收斂于相應(yīng)的平均方程的解.

另一方面,某些過程在已知現(xiàn)在時刻所處的狀態(tài)條件下,其在將來時刻處的狀態(tài),只與過程在時刻所處的狀態(tài)有關(guān),而與過程在時刻以前所處的狀態(tài)無關(guān).當(dāng)在不確定性條件下的實(shí)際系統(tǒng)出現(xiàn)這樣的過程時,通常使用Markov模型.Yin等[10]收集了分散在其他關(guān)于Markov鏈文獻(xiàn)和奇異攝動的一些觀點(diǎn).但在處理不確定條件下的實(shí)際系統(tǒng)時,往往非常復(fù)雜.因此，希望將一個復(fù)雜的、大維度的系統(tǒng)劃分為許多更簡單、低緯度的子系統(tǒng)，否則,即使有強(qiáng)大的計算設(shè)備,也很難處理.同時,Markov鏈通常受制于頻繁的波動,為突出空間狀態(tài)中不同的波動速率,引入一個小參數(shù)ε>0,可以表明Markov鏈在單個狀態(tài)Wk中波動很快,但從狀態(tài)Wi跳躍到狀態(tài)Wj卻很慢(i≠j).因此,在Wk中的狀態(tài)可以聚合為一個狀態(tài)k.這樣通過分離-聚合的思想從而使?jié)撛诘膯栴}是可解決的.對于此類的Markov模型，Yin[11]推廣了一般的保險風(fēng)險模型,研究了由連續(xù)時間Markov鏈調(diào)制的雙時間尺度跳躍擴(kuò)散模型，其中,Markov鏈在文章中表示保險風(fēng)險模型在不同的社會環(huán)境中所處的狀態(tài).Yin等[12]利用平均法研究了具有隨機(jī)切換的隨機(jī)Liénard方程,對于系統(tǒng)中同時出現(xiàn)的連續(xù)變量(隨機(jī)Liénard方程的解)及離散變量(在很大但有限的狀態(tài)空間中的Markov鏈),結(jié)合分離聚合的思想、鞅問題公式,得到一個弱收斂結(jié)果.

隨機(jī)微分方程的平均法已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展,但對于隨機(jī)泛函微分方程的平均法的研究卻很少.Dupire[13]利用分段泛函導(dǎo)數(shù)建立了泛函It公式,量化了路徑在端點(diǎn)處的泛函變化.泛函It公式的建立改變了隨機(jī)泛函微分方程的發(fā)展格局,解決了許多由于長期缺乏工具而無法解決的問題,并為隨機(jī)泛函微分方程的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).Wu等[14]拓展泛函It公式到混合泛函微分方程的It公式,利用混合泛函It公式和鞅表示定理得到具有雙時間尺度的路徑相關(guān)泛函擴(kuò)散系統(tǒng)的漸進(jìn)性質(zhì).受此啟發(fā),本文將泛函It公式應(yīng)用到具有隨機(jī)切換的泛函Liénard方程,利用平均法得到隨機(jī)泛函Liénard方程的平均方程, 得到的極限過程可以用于逼近和計算分析原始方程, 以降低計算復(fù)雜度.

1 預(yù)備知識和符號假設(shè)

定義過程xt={x(σ∧t):0≤σ≤T}為[0,T]上的函數(shù),即有效信息始終在[0,T]內(nèi),其中xt表示對歷史的依賴;R2表示具有歐幾范數(shù)|·|的2-維歐幾里得空間;D([0,T];R2)表示在[0,T]內(nèi)右連左極且取值在R2內(nèi)的函數(shù)空間,其范數(shù)定義為最大范數(shù)‖·‖∞;C([0,t];R2)為從[0,T]到R2的連續(xù)函數(shù)族;對任意N>0,BN={x：|X|

首先,給出水平導(dǎo)和垂直導(dǎo)的相關(guān)概念.

定義1[15]設(shè)xt={x(σ∧t):0≤σ≤T},若非預(yù)期泛函F：[0,T]×D(0,T];Rn)→R的極限

存在,則非預(yù)期泛函F在(t,x)∈[0,T]×D([0,T];Rn)處水平可微,稱DF(t,x)為F在(t,x)處的水平導(dǎo)數(shù).

定義2[15]設(shè)xt={x(σ∧t)：0≤σ≤T},若泛函映射e→F(t,xt+e1[t,T])在0處可微,則非預(yù)期泛函F：[0,T]×D([0,T];Rn)→R在(t,x)∈[0,T]×D([0,T];Rn)處垂直可微,其在0處的梯度稱為F在(t,x)處的垂直導(dǎo)數(shù):

xtF(t,x)=(?1F(t,x),…，?nF(t,x)),

其中,

如果F對所有(t,x)∈[0,T]×D([0,T];Rn)垂直可微,則稱非預(yù)期泛函xtF為在(t,x)處的垂直導(dǎo)數(shù).

在完備的概率空間(Ω,F,P)中,研究以下系統(tǒng):

(1)

基于上述討論,給出以下相關(guān)假設(shè).

因此,系統(tǒng)(1)可以寫為

(2)

2 鞅問題方法

因此,相關(guān)算子為

(3)

利用隨機(jī)平均法,得到系統(tǒng)(2)平均后的方程

(4)

其中，

定義截斷函數(shù)為一個平穩(wěn)函數(shù)，使得

當(dāng)x在半徑為N的球內(nèi)時其截斷為1,在半徑為N+1的球外時其值為0,且是光滑連通的.因此可將方程(2)寫為

(5)

假設(shè)H1)說明了f(xt,l,t)在x處有界保持,且f(xt,l,t)在[0,T]上關(guān)于γε連續(xù)有界,印證了f(xt,l,t)∈Cb(R2;W,[0,T]),由此可得fN(xt,l,t)是有界的.同理可得對任何x∈D([0,T];BN),gN(xt,l,t)和hN(xt,l,t)是有界的.

(6)

為討論Xt的胎緊性,需要下面的定理.

如果存在一個隨機(jī)變量Φε(σ),對任意0≤s≤σ,t≤T使得

為得到本文主要結(jié)果,給出以下引理.

引理2在假設(shè)H2)的條件下,對于i=1,2，…,l,j=1,2，…，mi以及有界可測確定函數(shù)βij(·)，有

證明見文獻(xiàn)[10]引理7.18.

(7)

將系統(tǒng)(5)代入式(3),有

由引理2,可知

(8)

關(guān)于其余項(xiàng),應(yīng)用引理2以及dl的有界性可得

可得

(9)

結(jié)合式(8)和式(9)可得

(10)

同理,有

(11)

因此應(yīng)用相同的技巧,可得

(12)

同時，有

(13)